Номер 113, страница 50 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.1 Квадратичная функция и её график. Глава 2. Квадратичная функция - номер 113, страница 50.

113 На рисунке 2.6 изображена часть параболы (графика некоторой квадратичной функции) и её ось симметрии. Запишите уравнение оси симметрии. Перенесите рисунок в тетрадь и достройте параболу. Укажите направление ветвей параболы.

Ответьте на вопросы:

1) Каковы координаты вершины параболы?

2) Чему равно значение $y$ при значении $x$, равном $-4; 1; 3$?

3) При каких значениях $x$ значение $y$ равно $0; 3; -3$?

Рис. 2.6

Для решения задачи сначала определим уравнение параболы. На графике можно выделить несколько точек с целочисленными координатами, через которые проходит парабола: $(-3, 8)$, $(-4, 7)$, $(-5, 4)$. Общий вид уравнения квадратичной функции: $y = ax^2 + bx + c$. Подставив координаты точек, можно составить и решить систему уравнений, которая даст нам коэффициенты $a=-1$, $b=-6$, $c=-1$.

Таким образом, уравнение параболы: $y = -x^2 - 6x - 1$.

Так как коэффициент $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Ось симметрии параболы проходит через её вершину. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -b/(2a)$.

$x_v = \frac{-(-6)}{2 \cdot (-1)} = \frac{6}{-2} = -3$.

Уравнение оси симметрии: $x = -3$. Достроить параболу можно, отобразив её левую часть симметрично относительно этой оси.

1) Каковы координаты вершины параболы?

Абсцисса вершины параболы $x_v = -3$. Для нахождения ординаты вершины $y_v$ подставим значение $x_v$ в уравнение параболы:

$y_v = -(-3)^2 - 6(-3) - 1 = -9 + 18 - 1 = 8$.

Координаты вершины параболы: $(-3, 8)$.

Ответ: $(-3, 8)$.

2) Чему равно значение y при значении x, равном -4; 1; 3?

Подставим данные значения $x$ в уравнение параболы $y = -x^2 - 6x - 1$:

• При $x = -4$: $y = -(-4)^2 - 6(-4) - 1 = -16 + 24 - 1 = 7$.
• При $x = 1$: $y = -(1)^2 - 6(1) - 1 = -1 - 6 - 1 = -8$.
• При $x = 3$: $y = -(3)^2 - 6(3) - 1 = -9 - 18 - 1 = -28$.

Ответ: при $x=-4$ значение $y=7$; при $x=1$ значение $y=-8$; при $x=3$ значение $y=-28$.

3) При каких значениях x значение y равно 0; 3; -3?

Для каждого значения $y$ необходимо решить соответствующее квадратное уравнение:

• При $y = 0$:
  $0 = -x^2 - 6x - 1$
  $x^2 + 6x + 1 = 0$
  Используем формулу корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:
  $x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{-6 \pm 4\sqrt{2}}{2} = -3 \pm 2\sqrt{2}$.
• При $y = 3$:
  $3 = -x^2 - 6x - 1$
  $x^2 + 6x + 4 = 0$
  $x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -3 \pm \sqrt{5}$.
• При $y = -3$:
  $-3 = -x^2 - 6x - 1$
  $x^2 + 6x - 2 = 0$
  $x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{44}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{11}}{2} = -3 \pm \sqrt{11}$.

Ответ: $y=0$ при $x = -3 \pm 2\sqrt{2}$; $y=3$ при $x = -3 \pm \sqrt{5}$; $y=-3$ при $x = -3 \pm \sqrt{11}$.