Номер 119, страница 51 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.1 Квадратичная функция и её график. Глава 2. Квадратичная функция - номер 119, страница 51.

119. Квадратичная функция задана формулой $f(x) = 2x^2 - x - 15$.

1) Найдите $f(3)$, $f(0)$, $f(-3)$, $f(-2.5)$.

2) Найдите значения аргумента, при которых $f(x) = 0$, $f(x) = -5$.

3) Существуют ли значения $x$, при которых $f(x) = -20$?

Дана квадратичная функция $f(x) = 2x^2 - x - 15$.

1) Найдите f(3), f(0), f(-3), f(-2,5).

Чтобы найти значения функции при заданных значениях аргумента, необходимо подставить эти значения в формулу функции $f(x) = 2x^2 - x - 15$.
При $x = 3$:
$f(3) = 2 \cdot 3^2 - 3 - 15 = 2 \cdot 9 - 3 - 15 = 18 - 3 - 15 = 0$

При $x = 0$:
$f(0) = 2 \cdot 0^2 - 0 - 15 = 0 - 0 - 15 = -15$

При $x = -3$:
$f(-3) = 2 \cdot (-3)^2 - (-3) - 15 = 2 \cdot 9 + 3 - 15 = 18 + 3 - 15 = 6$

При $x = -2,5$:
$f(-2,5) = 2 \cdot (-2,5)^2 - (-2,5) - 15 = 2 \cdot 6,25 + 2,5 - 15 = 12,5 + 2,5 - 15 = 0$
Ответ: $f(3)=0, f(0)=-15, f(-3)=6, f(-2,5)=0$.

2) Найдите значения аргумента, при которых f(x) = 0, f(x) = -5.

Для нахождения значений аргумента $x$, при которых функция принимает заданные значения, нужно решить соответствующие квадратные уравнения.

Найдём $x$, при которых $f(x) = 0$:
$2x^2 - x - 15 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=2, b=-1, c=-15$. Для его решения вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121$
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$.
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) + 11}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 11}{4} = \frac{12}{4} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) - 11}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 11}{4} = \frac{-10}{4} = -2,5$

Найдём $x$, при которых $f(x) = -5$:
$2x^2 - x - 15 = -5$
Приведём уравнение к стандартному виду:
$2x^2 - x - 15 + 5 = 0$
$2x^2 - x - 10 = 0$
Коэффициенты: $a=2, b=-1, c=-10$. Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81$
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$.
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) + 9}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 9}{4} = \frac{10}{4} = 2,5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) - 9}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 9}{4} = \frac{-8}{4} = -2$
Ответ: при $f(x)=0$ значения аргумента $x=3$ и $x=-2,5$; при $f(x)=-5$ значения аргумента $x=2,5$ и $x=-2$.

3) Существуют ли значения x, при которых f(x) = -20?

Чтобы определить, существуют ли такие значения $x$, составим и проанализируем уравнение $f(x) = -20$.
$2x^2 - x - 15 = -20$
Приведём уравнение к стандартному виду:
$2x^2 - x - 15 + 20 = 0$
$2x^2 - x + 5 = 0$
Для анализа наличия действительных корней у этого квадратного уравнения вычислим его дискриминант $D$. Коэффициенты: $a=2, b=-1, c=5$.
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 1 - 40 = -39$
Так как дискриминант $D = -39 < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что не существует таких действительных значений $x$, при которых значение функции было бы равно -20.
Ответ: нет, таких значений $x$ не существует.