Номер 123, страница 51 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.1 Квадратичная функция и её график. Глава 2. Квадратичная функция - номер 123, страница 51.

123 Задайте формулой какую-нибудь квадратичную функцию, нулями которой являются числа -1 и 3, и постройте её график по плану, предложенному в упражнении 116.

Задание формулой квадратичной функции, нулями которой являются числа -1 и 3

Квадратичная функция, имеющая нули (корни) $x_1$ и $x_2$, может быть задана формулой $y = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $a$ — любой коэффициент, не равный нулю.

По условию, нулями функции являются числа $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$. Подставим эти значения в формулу:$y = a(x - (-1))(x - 3) = a(x + 1)(x - 3)$.

Так как в задаче требуется задать "какую-нибудь" квадратичную функцию, мы можем выбрать любое значение для коэффициента $a \neq 0$. Для простоты выберем $a=1$.Тогда функция примет вид:$y = (x + 1)(x - 3)$.

Раскроем скобки, чтобы получить стандартный вид квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$:$y = x^2 - 3x + x - 3 = x^2 - 2x - 3$.

Ответ: $y = x^2 - 2x - 3$.

Построение графика функции по плану

Построим график найденной функции $y = x^2 - 2x - 3$. Графиком является парабола. Построение выполним по следующему плану:

1. Определение направления ветвей параболы.
   Старший коэффициент функции $a=1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
2. Нахождение координат вершины параболы.
   Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Для нашей функции $b=-2$ и $a=1$: $x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.
   Ордината вершины находится подстановкой $x_0$ в уравнение функции: $y_0 = (1)^2 - 2(1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.
   Координаты вершины: $(1, -4)$.
3. Определение оси симметрии.
   Осью симметрии является вертикальная прямая, проходящая через вершину: $x = 1$.
4. Нахождение точек пересечения с осями координат.
   С осью Ox (нули функции): эти точки даны в условии, их абсциссы $x=-1$ и $x=3$. Координаты точек: $(-1, 0)$ и $(3, 0)$.
   С осью Oy: для этого нужно найти значение функции при $x=0$: $y = 0^2 - 2(0) - 3 = -3$.
   Координаты точки пересечения: $(0, -3)$.
5. Нахождение дополнительных точек и построение графика.
   Для более точного построения найдем несколько дополнительных точек, используя симметрию относительно оси $x=1$. Точка $(0, -3)$ симметрична точке $(2, -3)$. Найдем значение функции при $x=4$: $y(4) = 4^2 - 2(4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5$. Получили точку $(4, 5)$. Симметричная ей точка относительно оси $x=1$ имеет абсциссу $1 - (4-1) = -2$. Это точка $(-2, 5)$.
   Отметив все найденные точки на координатной плоскости — $(-2, 5), (-1, 0), (0, -3), (1, -4), (2, -3), (3, 0), (4, 5)$ — и соединив их плавной кривой, получим график функции.

Ответ: График функции $y = x^2 - 2x - 3$ — это парабола с вершиной в точке $(1, -4)$, ветви которой направлены вверх, ось симметрии — прямая $x = 1$. Парабола пересекает ось абсцисс в точках $(-1, 0)$ и $(3, 0)$, а ось ординат — в точке $(0, -3)$.