Номер 117, страница 51 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.1 Квадратичная функция и её график. Глава 2. Квадратичная функция - номер 117, страница 51.

117 Постройте график функции, воспользовавшись планом, предложенным в пре-дыдущем упражнении:

а) $y = 2x^2 - 2x - 12;$

б) $y = -2x^2 + 6x.$

а) Построим график функции $y = 2x^2 - 2x - 12$.

Это квадратичная функция, её график — парабола. Для построения воспользуемся стандартным планом исследования функции.

1. Определение направления ветвей параболы.
   Коэффициент при $x^2$ равен $a = 2$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Нахождение координат вершины параболы.
   Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.
   $x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5$.
   Ордината вершины $y_v$ находится подстановкой $x_v$ в уравнение функции:
   $y_v = 2(0.5)^2 - 2(0.5) - 12 = 2 \cdot 0.25 - 1 - 12 = 0.5 - 13 = -12.5$.
   Координаты вершины: $(0.5, -12.5)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = 0.5$.

3. Нахождение точек пересечения с осями координат.
   С осью OY: для этого нужно подставить $x = 0$.
   $y(0) = 2 \cdot 0^2 - 2 \cdot 0 - 12 = -12$.
   Точка пересечения с осью OY: $(0, -12)$.
   С осью OX: для этого нужно решить уравнение $y = 0$.
   $2x^2 - 2x - 12 = 0$.
   Разделим уравнение на 2 для упрощения: $x^2 - x - 6 = 0$.
   Используя формулу для корней квадратного уравнения или по теореме Виета, находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.
   Точки пересечения с осью OX: $(-2, 0)$ и $(3, 0)$.

4. Нахождение дополнительных точек для точности построения.
   Мы уже имеем следующие ключевые точки: вершина $(0.5, -12.5)$ и точки пересечения с осями $(-2, 0)$, $(3, 0)$, $(0, -12)$.
   Найдем точку, симметричную точке $(0, -12)$ относительно оси симметрии $x=0.5$. Ее абсцисса будет $x = 0.5 + (0.5 - 0) = 1$. Ордината та же: $y = -12$. Получаем точку $(1, -12)$.
   Проверка: $y(1) = 2(1)^2 - 2(1) - 12 = 2 - 2 - 12 = -12$. Верно.
   Для большей точности можно найти еще пару симметричных точек, например, при $x=2$ и $x=-1$.
   $y(2) = 2(2)^2 - 2(2) - 12 = 8 - 4 - 12 = -8$. Точка $(2, -8)$.
   $y(-1) = 2(-1)^2 - 2(-1) - 12 = 2 + 2 - 12 = -8$. Точка $(-1, -8)$.

5. Построение графика.
   Отмечаем на координатной плоскости найденные точки: $(-2, 0)$, $(-1, -8)$, $(0, -12)$, вершину $(0.5, -12.5)$, $(1, -12)$, $(2, -8)$ и $(3, 0)$. Соединяем их плавной кривой.

Ответ: График функции $y = 2x^2 - 2x - 12$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0.5, -12.5)$. График пересекает ось ординат в точке $(0, -12)$ и ось абсцисс в точках $(-2, 0)$ и $(3, 0)$.

---

б) Построим график функции $y = -2x^2 + 6x$.

Это также квадратичная функция, её график — парабола. Действуем по тому же плану.

1. Определение направления ветвей параболы.
   Коэффициент при $x^2$ равен $a = -2$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Нахождение координат вершины параболы.
   Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-2)} = -\frac{6}{-4} = 1.5$.
   Ордината вершины: $y_v = -2(1.5)^2 + 6(1.5) = -2 \cdot 2.25 + 9 = -4.5 + 9 = 4.5$.
   Координаты вершины: $(1.5, 4.5)$. Ось симметрии — прямая $x = 1.5$.

3. Нахождение точек пересечения с осями координат.
   С осью OY: подставляем $x = 0$.
   $y(0) = -2 \cdot 0^2 + 6 \cdot 0 = 0$.
   Точка пересечения с осью OY: $(0, 0)$ (начало координат).
   С осью OX: решаем уравнение $y = 0$.
   $-2x^2 + 6x = 0$.
   Вынесем общий множитель $-2x$ за скобки: $-2x(x - 3) = 0$.
   Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.
   Точки пересечения с осью OX: $(0, 0)$ и $(3, 0)$.

4. Нахождение дополнительных точек.
   Основные точки: вершина $(1.5, 4.5)$, точки пересечения с осями $(0, 0)$ и $(3, 0)$.
   Найдем пару симметричных точек, например, при $x=1$ и $x=2$.
   $y(1) = -2(1)^2 + 6(1) = -2 + 6 = 4$. Точка $(1, 4)$.
   $y(2) = -2(2)^2 + 6(2) = -8 + 12 = 4$. Точка $(2, 4)$.
   Эти точки симметричны относительно оси $x=1.5$.

5. Построение графика.
   Отмечаем на координатной плоскости найденные точки: $(0, 0)$, $(1, 4)$, вершину $(1.5, 4.5)$, $(2, 4)$ и $(3, 0)$. Соединяем их плавной кривой.

Ответ: График функции $y = -2x^2 + 6x$ — это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(1.5, 4.5)$. График проходит через начало координат $(0, 0)$ и пересекает ось абсцисс также в точке $(3, 0)$.