Номер 122, страница 51 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.1 Квадратичная функция и её график. Глава 2. Квадратичная функция - номер 122, страница 51.

122 Найдите нули функции $y = f(x)$ или покажите, что их нет:

а) $f(x) = x^2 - 7x + 10;$

б) $f(x) = -x^2 + 5x - 7;$

в) $f(x) = 2x^2 - 8x - 8;$

г) $f(x) = 6x^2 - 5x + 1.$

В каждом случае опишите полученный результат на геометрическом языке.

Для нахождения нулей функции $y = f(x)$ необходимо решить уравнение $f(x) = 0$. Геометрически нули функции — это абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ox.

а) $f(x) = x^2 - 7x + 10$

Приравняем функцию к нулю: $x^2 - 7x + 10 = 0$.

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=-7$, $c=10$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 3}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 3}{2} = 2$

На геометрическом языке это означает, что график функции, который является параболой с ветвями вверх (так как $a=1>0$), пересекает ось абсцисс в двух точках.

Ответ: нули функции — 2 и 5. График функции пересекает ось Ox в точках с абсциссами 2 и 5.

б) $f(x) = -x^2 + 5x - 7$

Приравняем функцию к нулю: $-x^2 + 5x - 7 = 0$.

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=-1$, $b=5$, $c=-7$.

Найдем дискриминант $D$:

$D = 5^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-7) = 25 - 28 = -3$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, следовательно, у функции нет нулей.

На геометрическом языке это означает, что график функции, который является параболой с ветвями вниз (так как $a=-1<0$), не пересекает ось абсцисс и целиком расположен под ней.

Ответ: нулей нет. График функции не пересекает ось Ox.

в) $f(x) = 2x^2 - 8x - 8$

Приравняем функцию к нулю: $2x^2 - 8x - 8 = 0$.

Разделим все члены уравнения на 2 для упрощения: $x^2 - 4x - 4 = 0$.

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=-4$, $c=-4$.

Найдем дискриминант $D$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 16 + 16 = 32$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем корни: $x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{2}$.

На геометрическом языке это означает, что график функции, который является параболой с ветвями вверх (так как $a=2>0$), пересекает ось абсцисс в двух точках.

Ответ: нули функции — $2 - 2\sqrt{2}$ и $2 + 2\sqrt{2}$. График функции пересекает ось Ox в точках с абсциссами $2 - 2\sqrt{2}$ и $2 + 2\sqrt{2}$.

г) $f(x) = 6x^2 - 5x + 1$

Приравняем функцию к нулю: $6x^2 - 5x + 1 = 0$.

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=6$, $b=-5$, $c=1$.

Найдем дискриминант $D$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем корни: $x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{5 \pm 1}{12}$.

$x_1 = \frac{5 + 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{5 - 1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

На геометрическом языке это означает, что график функции, который является параболой с ветвями вверх (так как $a=6>0$), пересекает ось абсцисс в двух точках.

Ответ: нули функции — $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$. График функции пересекает ось Ox в точках с абсциссами $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$.