Номер 118, страница 51 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.1 Квадратичная функция и её график. Глава 2. Квадратичная функция - номер 118, страница 51.

118 Постройте график функции: а) $y = x^2 + 4x + 7$; б) $y = -2x^2 + 4x - 4$.

При построении воспользуйтесь следующим планом:

1) найдите пару симметричных точек параболы, взяв, например, в качестве одной из них точку пересечения с осью $y$;

2) далее действуйте по плану, приведённому в упр. 116, начиная с пункта 2. Как вы думаете, почему в данном случае пункт 1 был заменён? Предложите ещё какой-нибудь способ нахождения координат симметричных точек параболы.

а) Построим график функции $y = x^2 + 4x + 7$.

1. Найдем пару симметричных точек параболы. Для этого сначала найдем точку пересечения графика с осью $y$. Это происходит при $x = 0$.
$y(0) = 0^2 + 4 \cdot 0 + 7 = 7$.
Таким образом, одна из точек — $(0, 7)$.

Все точки параболы симметричны относительно ее оси. Уравнение оси симметрии параболы $y = ax^2 + bx + c$ имеет вид $x = x_0 = -\frac{b}{2a}$.
В нашем случае $a=1, b=4$. Ось симметрии: $x = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.

Точка, симметричная точке $(0, 7)$ относительно прямой $x = -2$, будет иметь ту же ординату $y=7$. Ее абсциссу $x_s$ найдем из условия, что $x=-2$ является серединой отрезка между $x=0$ и $x=x_s$:
$-2 = \frac{0 + x_s}{2} \implies x_s = -4$.
Значит, вторая симметричная точка — $(-4, 7)$.
Проверим: $y(-4) = (-4)^2 + 4(-4) + 7 = 16 - 16 + 7 = 7$. Верно.
Итак, мы нашли пару симметричных точек: $(0, 7)$ и $(-4, 7)$.

2. Далее действуем по плану, начиная с пункта 2 (предполагая, что он заключается в нахождении вершины).
Абсцисса вершины параболы совпадает с осью симметрии: $x_0 = -2$.
Найдем ординату вершины, подставив $x_0 = -2$ в уравнение функции:
$y_0 = (-2)^2 + 4(-2) + 7 = 4 - 8 + 7 = 3$.
Координаты вершины параболы — $(-2, 3)$.

Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Для построения графика мы имеем три ключевые точки: вершину $(-2, 3)$ и две симметричные точки $(0, 7)$ и $(-4, 7)$. Соединив их плавной линией, получим искомый график.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(-2, 3)$, ветви которой направлены вверх. Парабола проходит через точки $(0, 7)$ и $(-4, 7)$.

б) Построим график функции $y = -2x^2 + 4x - 4$.

1. Найдем точку пересечения с осью $y$, подставив $x=0$:
$y(0) = -2 \cdot 0^2 + 4 \cdot 0 - 4 = -4$.
Одна из точек — $(0, -4)$.

Найдем ось симметрии. Здесь $a = -2, b = 4$.
$x = x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-2)} = -\frac{4}{-4} = 1$.
Ось симметрии — прямая $x=1$.

Найдем точку, симметричную точке $(0, -4)$ относительно прямой $x=1$. Ордината будет той же, $y=-4$. Абсциссу $x_s$ найдем из условия:
$1 = \frac{0 + x_s}{2} \implies x_s = 2$.
Вторая симметричная точка — $(2, -4)$.
Проверим: $y(2) = -2 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 - 4 = -2 \cdot 4 + 8 - 4 = -8 + 8 - 4 = -4$. Верно.
Пара симметричных точек: $(0, -4)$ и $(2, -4)$.

2. Найдем координаты вершины параболы.
Абсцисса вершины: $x_0 = 1$.
Ордината вершины: $y_0 = -2 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 - 4 = -2 + 4 - 4 = -2$.
Координаты вершины — $(1, -2)$.

Коэффициент при $x^2$ равен $a = -2 < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз.

Для построения графика мы имеем вершину $(1, -2)$ и две симметричные точки $(0, -4)$ и $(2, -4)$.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(1, -2)$, ветви которой направлены вниз. Парабола проходит через точки $(0, -4)$ и $(2, -4)$.

Как вы думаете, почему в данном случае пункт 1 был заменён?

Стандартный план построения параболы часто включает в себя нахождение точек пересечения с осью абсцисс (осью $x$), то есть нахождение корней уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Эти точки, если они существуют, симметричны относительно оси параболы, и их удобно использовать для нахождения вершины. Однако, этот шаг выполним только в том случае, если у квадратного уравнения есть действительные корни. Проверим это для данных функций с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.
Для $y = x^2 + 4x + 7$: $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = -12$. Так как $D < 0$, у уравнения нет действительных корней, и парабола не пересекает ось $x$.
Для $y = -2x^2 + 4x - 4$: $D = 4^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-4) = 16 - 32 = -16$. Так как $D < 0$, эта парабола также не пересекает ось $x$.
Таким образом, пункт 1 (предположительно, нахождение точек пересечения с осью $x$) был заменён, потому что для данных функций он невыполним. Предложенный метод (использование точки пересечения с осью $y$ и симметричной ей точки) является универсальным и работает для любой параболы, независимо от наличия у нее точек пересечения с осью абсцисс.

Предложите ещё какой-нибудь способ нахождения координат симметричных точек параболы.

Другой способ нахождения симметричных точек заключается в следующем:
1. Найти ось симметрии параболы $x = x_0$.
2. Выбрать произвольное расстояние $d$ от оси симметрии (где $d \neq 0$).
3. Рассмотреть две точки с абсциссами, равноудаленными от оси симметрии: $x_1 = x_0 - d$ и $x_2 = x_0 + d$.
4. Вычислить ординаты для этих точек: $y_1 = y(x_1)$ и $y_2 = y(x_2)$. В силу симметрии параболы, эти ординаты будут равны ($y_1 = y_2$).
В результате мы получим пару симметричных точек $(x_0 - d, y_1)$ и $(x_0 + d, y_1)$.
Например, для параболы $y = x^2 + 4x + 7$ ось симметрии $x = -2$. Возьмем $d=1$. Тогда $x_1 = -2 - 1 = -3$ и $x_2 = -2 + 1 = -1$.
$y(-3) = (-3)^2 + 4(-3) + 7 = 9 - 12 + 7 = 4$.
$y(-1) = (-1)^2 + 4(-1) + 7 = 1 - 4 + 7 = 4$.
Таким образом, точки $(-3, 4)$ и $(-1, 4)$ являются симметричными.