Номер 125, страница 54 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.2 График и свойства функции у=аx². Глава 2. Квадратичная функция - номер 125, страница 54.

125 1) В одной системе координат постройте график функции $f(x) = \frac{1}{4}x^2$ и график функции $g(x) = -\frac{1}{4}x^2$.

2) Вычислите значение выражения $f(10)$. Чему равно значение выражения $g(10)$?

3) График какой из функций $f(x) = \frac{1}{4}x^2$ или $g(x) = -\frac{1}{4}x^2$ пересекает прямую $y = 100$? $y = -100$? Укажите координаты точек пересечения.

4) На промежутке [-4; 2] укажите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \frac{1}{4}x^2$; наибольшее и наименьшее значения функции $g(x) = -\frac{1}{4}x^2$.

1) Для построения графиков функций $f(x) = \frac{1}{4}x^2$ и $g(x) = -\frac{1}{4}x^2$ определим их свойства и найдем координаты нескольких точек.

Функция $f(x) = \frac{1}{4}x^2$ — это парабола, вершина которой находится в точке (0, 0), а ветви направлены вверх. Коэффициент $\frac{1}{4}$ делает параболу шире, чем стандартная парабола $y=x^2$.

Функция $g(x) = -\frac{1}{4}x^2$ — это парабола, вершина которой также находится в точке (0, 0), но ее ветви направлены вниз. Эта парабола симметрична графику функции $f(x)$ относительно оси Ox.

Составим таблицу значений для нескольких точек:

Для $f(x) = \frac{1}{4}x^2$:

• при $x = 0, y = \frac{1}{4} \cdot 0^2 = 0$ → (0, 0)
• при $x = 2, y = \frac{1}{4} \cdot 2^2 = 1$ → (2, 1)
• при $x = -2, y = \frac{1}{4} \cdot (-2)^2 = 1$ → (-2, 1)
• при $x = 4, y = \frac{1}{4} \cdot 4^2 = 4$ → (4, 4)
• при $x = -4, y = \frac{1}{4} \cdot (-4)^2 = 4$ → (-4, 4)

Для $g(x) = -\frac{1}{4}x^2$:

• при $x = 0, y = -\frac{1}{4} \cdot 0^2 = 0$ → (0, 0)
• при $x = 2, y = -\frac{1}{4} \cdot 2^2 = -1$ → (2, -1)
• при $x = -2, y = -\frac{1}{4} \cdot (-2)^2 = -1$ → (-2, -1)
• при $x = 4, y = -\frac{1}{4} \cdot 4^2 = -4$ → (4, -4)
• при $x = -4, y = -\frac{1}{4} \cdot (-4)^2 = -4$ → (-4, -4)

Ответ: График $f(x)$ — парабола с вершиной в (0,0), ветвями вверх. График $g(x)$ — парабола с вершиной в (0,0), ветвями вниз, симметричная $f(x)$ относительно оси Ox.

2) Вычислим значения функций при $x=10$.

Для функции $f(x) = \frac{1}{4}x^2$:

$f(10) = \frac{1}{4} \cdot 10^2 = \frac{1}{4} \cdot 100 = 25$.

Для функции $g(x) = -\frac{1}{4}x^2$:

$g(10) = -\frac{1}{4} \cdot 10^2 = -\frac{1}{4} \cdot 100 = -25$.

Ответ: $f(10) = 25$, $g(10) = -25$.

3) Найдем точки пересечения графиков с прямыми $y = 100$ и $y = -100$.

Пересечение с прямой $y = 100$:

Для $f(x)$: $\frac{1}{4}x^2 = 100 \implies x^2 = 400 \implies x = \pm 20$. Точки пересечения: $(-20, 100)$ и $(20, 100)$.

Для $g(x)$: $-\frac{1}{4}x^2 = 100 \implies x^2 = -400$. Уравнение не имеет действительных корней, значит, пересечения нет.

Пересечение с прямой $y = -100$:

Для $f(x)$: $\frac{1}{4}x^2 = -100 \implies x^2 = -400$. Уравнение не имеет действительных корней, пересечения нет.

Для $g(x)$: $-\frac{1}{4}x^2 = -100 \implies x^2 = 400 \implies x = \pm 20$. Точки пересечения: $(-20, -100)$ и $(20, -100)$.

Ответ: Прямую $y=100$ пересекает график функции $f(x)$ в точках $(-20, 100)$ и $(20, 100)$. Прямую $y=-100$ пересекает график функции $g(x)$ в точках $(-20, -100)$ и $(20, -100)$.

4) Найдем наибольшее и наименьшее значения функций на промежутке $[-4; 2]$.

Для функции $f(x) = \frac{1}{4}x^2$:

Это парабола с ветвями вверх, вершина которой (точка минимума) находится в $x=0$. Поскольку $0 \in [-4; 2]$, наименьшее значение функции на этом промежутке достигается в вершине:

$f_{наим} = f(0) = 0$.

Наибольшее значение будет на одном из концов промежутка. Сравним значения функции в точках $x=-4$ и $x=2$:

$f(-4) = \frac{1}{4}(-4)^2 = \frac{16}{4} = 4$.

$f(2) = \frac{1}{4}(2)^2 = \frac{4}{4} = 1$.

Наибольшее значение равно 4.

$f_{наиб} = 4$.

Для функции $g(x) = -\frac{1}{4}x^2$:

Это парабола с ветвями вниз, вершина которой (точка максимума) находится в $x=0$. Поскольку $0 \in [-4; 2]$, наибольшее значение функции на этом промежутке достигается в вершине:

$g_{наиб} = g(0) = 0$.

Наименьшее значение будет на одном из концов промежутка. Сравним значения функции в точках $x=-4$ и $x=2$:

$g(-4) = -\frac{1}{4}(-4)^2 = -\frac{16}{4} = -4$.

$g(2) = -\frac{1}{4}(2)^2 = -\frac{4}{4} = -1$.

Наименьшее значение равно -4.

$g_{наим} = -4$.

Ответ: Для функции $f(x)$ на промежутке $[-4; 2]$: наибольшее значение равно 4, наименьшее значение равно 0. Для функции $g(x)$ на промежутке $[-4; 2]$: наибольшее значение равно 0, наименьшее значение равно -4.