Номер 132, страница 55 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.2 График и свойства функции у=аx². Глава 2. Квадратичная функция - номер 132, страница 55.

132. В одной системе координат постройте графики функций и найдите координаты их точек пересечения:

а) $y = \frac{1}{2}x^2$ и $y = \frac{1}{2}x + 1$;

б) $y = 2x^2$ и $y = -2x + 4$;

в) $y = -2x^2$ и $y = -\frac{2}{x}$.

a) Даны функции $y = \frac{1}{2}x^2$ и $y = \frac{1}{2}x + 1$.

График функции $y = \frac{1}{2}x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$, ветви которой направлены вверх.

График функции $y = \frac{1}{2}x + 1$ — это прямая линия. Для ее построения найдем две точки: при $x=0$, $y=1$; при $x=2$, $y = \frac{1}{2}(2) + 1 = 2$. То есть прямая проходит через точки $(0, 1)$ и $(2, 2)$.

Чтобы найти координаты точек пересечения графиков, необходимо решить систему уравнений. Для этого приравняем правые части выражений для $y$:

$\frac{1}{2}x^2 = \frac{1}{2}x + 1$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:

$x^2 = x + 2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$, подставив их в любое из исходных уравнений. Удобнее использовать уравнение прямой $y = \frac{1}{2}x + 1$.

Для $x_1 = 2$:

$y_1 = \frac{1}{2}(2) + 1 = 1 + 1 = 2$

Первая точка пересечения имеет координаты $(2, 2)$.

Для $x_2 = -1$:

$y_2 = \frac{1}{2}(-1) + 1 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$

Вторая точка пересечения имеет координаты $(-1, \frac{1}{2})$.

Ответ: $(2, 2)$, $(-1, \frac{1}{2})$.

б) Даны функции $y = 2x^2$ и $y = -2x + 4$.

График функции $y = 2x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вверх.

График функции $y = -2x + 4$ — это прямая линия. Для построения найдем две точки: при $x=0$, $y=4$; при $x=2$, $y = -2(2)+4=0$. То есть прямая проходит через точки $(0, 4)$ и $(2, 0)$.

Для нахождения координат точек пересечения приравняем правые части уравнений:

$2x^2 = -2x + 4$

Перенесем все члены в левую часть:

$2x^2 + 2x - 4 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:

$x^2 + x - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные значения $x$ в уравнение $y = 2x^2$.

Для $x_1 = 1$:

$y_1 = 2(1)^2 = 2$

Первая точка пересечения: $(1, 2)$.

Для $x_2 = -2$:

$y_2 = 2(-2)^2 = 2 \cdot 4 = 8$

Вторая точка пересечения: $(-2, 8)$.

Ответ: $(1, 2)$, $(-2, 8)$.

в) Даны функции $y = -2x^2$ и $y = -\frac{2}{x}$.

График функции $y = -2x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вниз.

График функции $y = -\frac{2}{x}$ — это гипербола, расположенная во второй ($x<0, y>0$) и четвертой ($x>0, y<0$) координатных четвертях. Прямая $x=0$ (ось ординат) является вертикальной асимптотой для гиперболы.

Найдем координаты точек пересечения, приравняв правые части уравнений. Важно учесть, что $x \neq 0$, так как функция $y = -\frac{2}{x}$ не определена в этой точке.

$-2x^2 = -\frac{2}{x}$

Умножим обе части на $-1$:

$2x^2 = \frac{2}{x}$

Умножим обе части на $x$ (это возможно, так как $x \neq 0$):

$2x^3 = 2$

Разделим обе части на 2:

$x^3 = 1$

Единственным действительным решением этого кубического уравнения является $x=1$.

Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=1$ в любое из исходных уравнений, например, в $y = -2x^2$:

$y = -2(1)^2 = -2$

Следовательно, графики функций имеют только одну точку пересечения.

Ответ: $(1, -2)$.