Номер 135, страница 55 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.2 График и свойства функции у=аx². Глава 2. Квадратичная функция - номер 135, страница 55.

135 Постройте график функции:

a) $y = \begin{cases} x + 3, \text{ если } x \le 0 \\ 3x^2, \text{ если } x > 0; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} -2x^2, \text{ если } x < 0 \\ -x + 2, \text{ если } x \ge 0. \end{cases}$

Для каждой функции ответьте на вопрос: имеет ли функция наименьшее значение? наибольшее значение?

а)

Дана кусочно-заданная функция: $ y = \begin{cases} x + 3, & \text{если } x \le 0 \\ 3x^2, & \text{если } x > 0 \end{cases} $

1. Построение графика.

График состоит из двух частей.

Первая часть — график функции $y = x + 3$ на промежутке $(-\infty, 0]$. Это луч. Для его построения найдем две точки:

• При $x = 0$, $y = 0 + 3 = 3$. Точка $(0, 3)$ принадлежит графику.
• При $x = -3$, $y = -3 + 3 = 0$. Точка $(-3, 0)$ принадлежит графику.

Вторая часть — график функции $y = 3x^2$ на промежутке $(0, +\infty)$. Это правая ветвь параболы, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$, но эта точка не принадлежит графику, так как неравенство строгое ($x > 0$). На графике эта точка будет "выколотой". Найдем еще несколько точек:

• При $x = 1$, $y = 3 \cdot 1^2 = 3$. Точка $(1, 3)$ принадлежит графику.
• При $x = 2$, $y = 3 \cdot 2^2 = 12$. Точка $(2, 12)$ принадлежит графику.

Итоговый график представляет собой луч, идущий из левой нижней четверти и заканчивающийся в точке $(0, 3)$, и правую ветвь параболы, начинающуюся из выколотой точки $(0, 0)$ и уходящую вверх вправо.

2. Наименьшее и наибольшее значения.

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения, проанализируем область значений функции.

• Наименьшее значение: При $x \to -\infty$, значения функции $y = x + 3$ также стремятся к $-\infty$. Следовательно, функция не ограничена снизу, и наименьшего значения у нее нет.
• Наибольшее значение: При $x \to +\infty$, значения функции $y = 3x^2$ стремятся к $+\infty$. Следовательно, функция не ограничена сверху, и наибольшего значения у нее нет.

Ответ: функция не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значения.

---

б)

Дана кусочно-заданная функция: $ y = \begin{cases} -2x^2, & \text{если } x < 0 \\ -x + 2, & \text{если } x \ge 0 \end{cases} $

1. Построение графика.

График состоит из двух частей.

Первая часть — график функции $y = -2x^2$ на промежутке $(-\infty, 0)$. Это левая ветвь параболы, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$, но эта точка не принадлежит графику (выколотая). Найдем контрольные точки:

• При $x = -1$, $y = -2(-1)^2 = -2$. Точка $(-1, -2)$ принадлежит графику.
• При $x = -2$, $y = -2(-2)^2 = -8$. Точка $(-2, -8)$ принадлежит графику.

Вторая часть — график функции $y = -x + 2$ на промежутке $[0, +\infty)$. Это луч. Найдем две точки для его построения:

• При $x = 0$, $y = -0 + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$ принадлежит графику.
• При $x = 2$, $y = -2 + 2 = 0$. Точка $(2, 0)$ принадлежит графику.

Итоговый график представляет собой левую ветвь параболы, идущую из левой нижней четверти и приближающуюся к выколотой точке $(0, 0)$, и луч, начинающийся в точке $(0, 2)$ и идущий вправо и вниз.

2. Наименьшее и наибольшее значения.

Проанализируем область значений функции.

• Наименьшее значение: Обе части функции уходят в $-\infty$. При $x \to -\infty$, $y = -2x^2 \to -\infty$. При $x \to +\infty$, $y = -x + 2 \to -\infty$. Таким образом, функция не ограничена снизу, и наименьшего значения у нее нет.
• Наибольшее значение: Рассмотрим значения функции на каждом участке. На промежутке $(-\infty, 0)$, значения $y = -2x^2$ отрицательны, то есть принадлежат интервалу $(-\infty, 0)$. На промежутке $[0, +\infty)$, функция $y = -x + 2$ убывает, и ее максимальное значение достигается в точке $x = 0$ и равно $y(0) = 2$. Область значений на этом участке — $(-\infty, 2]$. Объединяя области значений обоих участков, $(-\infty, 0) \cup (-\infty, 2]$, получаем общую область значений $(-\infty, 2]$. Наибольшее значение в этом множестве равно 2.

Ответ: функция не имеет наименьшего значения; наибольшее значение функции равно 2.