Номер 141, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.3 Сдвиг графика функции у=аx² вдоль осей координат. Глава 2. Квадратичная функция - номер 141, страница 60.

141 Постройте график функции на заданной области определения и укажите её наименьшее и наибольшее значения:

а) $y = x^2 - 3$, где $-2 \le x \le 3$;

б) $y = 4 - \frac{1}{4}x^2$, где $-4 \le x \le 2$.

а)

Дана функция $y = x^2 - 3$ на области определения $-2 \le x \le 3$.

1. Построение графика.
График функции $y = x^2 - 3$ — это парабола, полученная сдвигом графика функции $y = x^2$ на 3 единицы вниз вдоль оси Oy. Ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы. Для функции вида $y = ax^2 + bx + c$ абсцисса вершины находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a=1, b=0$, поэтому $x_v = 0$. Ордината вершины $y_v = 0^2 - 3 = -3$. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0, -3)$.

Для построения графика на заданном отрезке $[-2, 3]$ найдем значения функции в нескольких ключевых точках: на концах отрезка и в вершине.

• При $x = -2$ (левый конец отрезка): $y = (-2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$. Точка $(-2, 1)$.
• При $x = 0$ (вершина): $y = 0^2 - 3 = -3$. Точка $(0, -3)$.
• При $x = 3$ (правый конец отрезка): $y = 3^2 - 3 = 9 - 3 = 6$. Точка $(3, 6)$.

Соединив эти точки плавной кривой (частью параболы), получим график функции на заданном отрезке.

2. Нахождение наименьшего и наибольшего значений.
Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения квадратичной функции на отрезке, нужно вычислить значения функции в вершине (если она попадает в отрезок) и на концах отрезка, а затем выбрать из них наименьшее и наибольшее.

Абсцисса вершины $x_v = 0$ принадлежит отрезку $[-2, 3]$. Так как ветви параболы направлены вверх, то в вершине функция достигает своего наименьшего значения: $y_{наим} = y(0) = -3$.

Наибольшее значение будет достигаться на одном из концов отрезка. Сравним значения функции в точках $x=-2$ и $x=3$:
$y(-2) = 1$
$y(3) = 6$
Наибольшее из этих значений равно 6. Следовательно, $y_{наиб} = 6$.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{наим} = -3$, наибольшее значение функции $y_{наиб} = 6$.

б)

Дана функция $y = 4 - \frac{1}{4}x^2$ на области определения $-4 \le x \le 2$.

1. Построение графика.
График функции $y = -\frac{1}{4}x^2 + 4$ — это парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($a = -\frac{1}{4}$), ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-1/4)} = 0$. Ордината вершины $y_v = 4 - \frac{1}{4}(0)^2 = 4$. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0, 4)$.

Для построения графика на заданном отрезке $[-4, 2]$ найдем значения функции в ключевых точках:

• При $x = -4$ (левый конец отрезка): $y = 4 - \frac{1}{4}(-4)^2 = 4 - \frac{16}{4} = 4 - 4 = 0$. Точка $(-4, 0)$.
• При $x = 0$ (вершина): $y = 4 - \frac{1}{4}(0)^2 = 4$. Точка $(0, 4)$.
• При $x = 2$ (правый конец отрезка): $y = 4 - \frac{1}{4}(2)^2 = 4 - \frac{4}{4} = 4 - 1 = 3$. Точка $(2, 3)$.

Соединив эти точки плавной кривой (частью параболы), получим график функции на заданном отрезке.

2. Нахождение наименьшего и наибольшего значений.
Абсцисса вершины $x_v = 0$ принадлежит отрезку $[-4, 2]$. Так как ветви параболы направлены вниз, то в вершине функция достигает своего наибольшего значения: $y_{наиб} = y(0) = 4$.

Наименьшее значение будет достигаться на одном из концов отрезка. Сравним значения функции в точках $x=-4$ и $x=2$:
$y(-4) = 0$
$y(2) = 3$
Наименьшее из этих значений равно 0. Следовательно, $y_{наим} = 0$.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{наим} = 0$, наибольшее значение функции $y_{наиб} = 4$.