Номер 137, страница 55 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.2 График и свойства функции у=аx². Глава 2. Квадратичная функция - номер 137, страница 55.

ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ

1) Постройте параболу $y = \frac{1}{4}x^2$.

2) В этой же системе координат проведите прямую $d$, уравнение которой $y = -1$, и отметьте точку $F (0; 1)$.

3) Отметьте на параболе несколько точек с целыми координатами и для каждой из них вычислите расстояния до точки $F$ и до прямой $d$.

4) Докажите, что любая точка параболы $y = \frac{1}{4}x^2$ находится на одинаковом расстоянии от точки $F$ и от прямой $d$.

Подсказка. Возьмите произвольную точку параболы $(x; \frac{1}{4}x^2)$. Составьте выражения для нахождения расстояний от этой точки до точки $F$ и до прямой $d$.

1)

Чтобы построить параболу $y = \frac{1}{4}x^2$, найдем координаты нескольких точек, принадлежащих этой параболе. Это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат, точке (0; 0).

• При $x = 0$, $y = \frac{1}{4} \cdot 0^2 = 0$. Точка (0; 0).
• При $x = 2$, $y = \frac{1}{4} \cdot 2^2 = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1$. Точка (2; 1).
• При $x = -2$, $y = \frac{1}{4} \cdot (-2)^2 = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1$. Точка (-2; 1).
• При $x = 4$, $y = \frac{1}{4} \cdot 4^2 = \frac{1}{4} \cdot 16 = 4$. Точка (4; 4).
• При $x = -4$, $y = \frac{1}{4} \cdot (-4)^2 = \frac{1}{4} \cdot 16 = 4$. Точка (-4; 4).

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией, получив график параболы.

Ответ: Построена парабола, проходящая через точки (0; 0), (2; 1), (-2; 1), (4; 4), (-4; 4), с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх.

2)

В той же системе координат, где построена парабола:

• Проводим прямую $d$, заданную уравнением $y = -1$. Это горизонтальная прямая, параллельная оси Ox и проходящая через точку (0; -1) на оси Oy.
• Отмечаем точку $F$ с координатами (0; 1). Эта точка лежит на оси Oy.

Ответ: Построена горизонтальная прямая $y=-1$ и отмечена точка $F(0; 1)$.

3)

Возьмем несколько точек с целыми координатами с параболы, найденных в пункте 1, и вычислим для них расстояние до точки $F(0; 1)$ и до прямой $d: y = -1$.

Формула расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $D = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.

Формула расстояния от точки $(x_0, y_0)$ до горизонтальной прямой $y=c$: $d = |y_0 - c|$.

• Точка A(0; 0):
  • Расстояние до точки F: $AF = \sqrt{(0-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1$.
  • Расстояние до прямой d: $|0 - (-1)| = |1| = 1$.
• Точка B(2; 1):
  • Расстояние до точки F: $BF = \sqrt{(0-2)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$.
  • Расстояние до прямой d: $|1 - (-1)| = |2| = 2$.
• Точка C(4; 4):
  • Расстояние до точки F: $CF = \sqrt{(0-4)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
  • Расстояние до прямой d: $|4 - (-1)| = |5| = 5$.

Для всех выбранных точек расстояние до точки F равно расстоянию до прямой d.

Ответ: Для точки А(0; 0) оба расстояния равны 1. Для точки B(2; 1) оба расстояния равны 2. Для точки C(4; 4) оба расстояния равны 5.

4)

Для доказательства возьмем произвольную точку $M$ на параболе $y = \frac{1}{4}x^2$. Координаты этой точки будут $M(x; \frac{1}{4}x^2)$. Точка $F$ имеет координаты (0; 1), а прямая $d$ задана уравнением $y = -1$.

Найдем квадрат расстояния от точки $M$ до точки $F$ (обозначим его $MF^2$):

$MF^2 = (x_M - x_F)^2 + (y_M - y_F)^2 = (x - 0)^2 + (\frac{1}{4}x^2 - 1)^2 = x^2 + (\frac{1}{4}x^2)^2 - 2 \cdot \frac{1}{4}x^2 \cdot 1 + 1^2$

$MF^2 = x^2 + \frac{1}{16}x^4 - \frac{1}{2}x^2 + 1 = \frac{1}{16}x^4 + \frac{1}{2}x^2 + 1$

Заметим, что полученное выражение является полным квадратом: $\frac{1}{16}x^4 + \frac{1}{2}x^2 + 1 = (\frac{1}{4}x^2 + 1)^2$.

Следовательно, $MF = \sqrt{(\frac{1}{4}x^2 + 1)^2}$. Так как $x^2 \ge 0$, выражение $\frac{1}{4}x^2 + 1$ всегда положительно, поэтому $MF = \frac{1}{4}x^2 + 1$.

Теперь найдем расстояние от точки $M(x; \frac{1}{4}x^2)$ до прямой $d: y = -1$ (обозначим его $d(M,d)$):

$d(M,d) = |y_M - (-1)| = |\frac{1}{4}x^2 + 1|$.

Так как выражение $\frac{1}{4}x^2 + 1$ всегда положительно, модуль можно опустить: $d(M,d) = \frac{1}{4}x^2 + 1$.

Сравнивая полученные выражения для расстояний, видим, что они равны: $MF = d(M,d) = \frac{1}{4}x^2 + 1$.

Это доказывает, что любая точка параболы $y = \frac{1}{4}x^2$ находится на одинаковом расстоянии от точки $F(0; 1)$ и от прямой $d: y = -1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Для произвольной точки $M(x; \frac{1}{4}x^2)$ на параболе было показано, что расстояние до точки $F(0; 1)$ равно $\frac{1}{4}x^2 + 1$ и расстояние до прямой $d: y=-1$ также равно $\frac{1}{4}x^2 + 1$. Равенство этих расстояний доказывает утверждение задачи.