Номер 133, страница 55 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.2 График и свойства функции у=аx². Глава 2. Квадратичная функция - номер 133, страница 55.

133 Постройте график функции:

a) $y = \begin{cases} x^2, \text{ если } x \le 0 \\ -x^2, \text{ если } x > 0 \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} -2x^2, \text{ если } x < 0 \\ 2x^2, \text{ если } x \ge 0 \end{cases}$

в) $y = \begin{cases} 2x^2, \text{ если } x \le 0 \\ -0.5x^2, \text{ если } x > 0 \end{cases}$

Для каждой функции определите, является ли она возрастающей или убывающей.

а) $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \le 0 \\ -x^2, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

Построение графика:
График данной функции является кусочным и состоит из двух частей, которые стыкуются в точке $x=0$.
1. На промежутке $(-\infty, 0]$ функция имеет вид $y = x^2$. Это левая ветвь стандартной параболы, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке (0, 0). Построим ее по точкам:
При $x=0$, $y=0^2=0$. Точка (0, 0).
При $x=-1$, $y=(-1)^2=1$. Точка (-1, 1).
При $x=-2$, $y=(-2)^2=4$. Точка (-2, 4).
2. На промежутке $(0, +\infty)$ функция имеет вид $y = -x^2$. Это правая ветвь параболы, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы также находится в точке (0, 0). Построим ее по точкам:
При $x=1$, $y=-(1)^2=-1$. Точка (1, -1).
При $x=2$, $y=-(2)^2=-4$. Точка (2, -4).
В точке $x=0$ значение левой части $y(0)=0$ и предел правой части $\lim_{x\to 0^+} (-x^2)=0$ совпадают, значит функция непрерывна. График представляет собой плавную кривую, проходящую через начало координат.

Определение монотонности:
Чтобы определить, является ли функция возрастающей или убывающей, проанализируем ее поведение на всей области определения $(-\infty, +\infty)$.
Функция является убывающей, если большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$.
Рассмотрим произвольные $x_1$ и $x_2$ такие, что $x_1 < x_2$.
1. Если $x_1, x_2 \in (-\infty, 0]$, то $y(x_1)=x_1^2$ и $y(x_2)=x_2^2$. Для отрицательных аргументов, чем больше число (ближе к нулю), тем меньше его квадрат. Следовательно, $y(x_1) > y(x_2)$. На этом участке функция убывает.
2. Если $x_1, x_2 \in (0, +\infty)$, то $y(x_1)=-x_1^2$ и $y(x_2)=-x_2^2$. Для положительных аргументов, чем больше число, тем больше его квадрат, а число с противоположным знаком $-x^2$ будет меньше. Следовательно, $y(x_1) > y(x_2)$. На этом участке функция также убывает.
3. Если $x_1 \le 0$ и $x_2 > 0$, то $y(x_1)=x_1^2 \ge 0$, а $y(x_2)=-x_2^2 < 0$. Очевидно, что $y(x_1) > y(x_2)$.
Таким образом, для любых $x_1 < x_2$ из области определения выполняется $y(x_1) > y(x_2)$. Это означает, что функция является убывающей на всей своей области определения.

Ответ: функция является убывающей.

б) $y = \begin{cases} -2x^2, & \text{если } x < 0 \\ 2x^2, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Построение графика:
График этой функции также состоит из двух частей, стыкующихся в начале координат.
1. При $x < 0$ функция задается формулой $y = -2x^2$. Это левая ветвь параболы, ветви которой направлены вниз и растянуты в 2 раза по вертикали по сравнению со стандартной параболой. Вершина в (0, 0).
Несколько точек для построения:
При $x=-1$, $y=-2(-1)^2=-2$. Точка (-1, -2).
При $x=-2$, $y=-2(-2)^2=-8$. Точка (-2, -8).
2. При $x \ge 0$ функция задается формулой $y = 2x^2$. Это правая ветвь параболы, ветви которой направлены вверх и растянуты в 2 раза по вертикали. Вершина в (0, 0).
Несколько точек для построения:
При $x=0$, $y=2(0)^2=0$. Точка (0, 0).
При $x=1$, $y=2(1)^2=2$. Точка (1, 2).
При $x=2$, $y=2(2)^2=8$. Точка (2, 8).
Функция непрерывна в точке $x=0$.

Определение монотонности:
Функция является возрастающей, если большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$.
Рассмотрим произвольные $x_1$ и $x_2$ такие, что $x_1 < x_2$.
1. Если $x_1, x_2 \in (-\infty, 0)$, то $y(x_1)=-2x_1^2$ и $y(x_2)=-2x_2^2$. На этом промежутке с ростом $x$ (приближением к 0) значение $x^2$ уменьшается, а $-2x^2$ увеличивается. Следовательно, $y(x_1) < y(x_2)$. Функция возрастает.
2. Если $x_1, x_2 \in [0, +\infty)$, то $y(x_1)=2x_1^2$ и $y(x_2)=2x_2^2$. На этом промежутке с ростом $x$ значение $2x^2$ также увеличивается. Следовательно, $y(x_1) < y(x_2)$. Функция возрастает.
3. Если $x_1 < 0$ и $x_2 \ge 0$, то $y(x_1) = -2x_1^2 < 0$, а $y(x_2) = 2x_2^2 \ge 0$. Очевидно, что $y(x_1) < y(x_2)$.
Во всех случаях для $x_1 < x_2$ выполняется $y(x_1) < y(x_2)$, следовательно, функция является возрастающей на всей области определения.

Ответ: функция является возрастающей.

в) $y = \begin{cases} 2x^2, & \text{если } x \le 0 \\ -0,5x^2, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

Построение графика:
График состоит из двух ветвей парабол.
1. При $x \le 0$ функция задается формулой $y = 2x^2$. Это левая ветвь параболы, ветви которой направлены вверх и растянуты в 2 раза по вертикали. Вершина в (0, 0).
Несколько точек для построения:
При $x=0$, $y=2(0)^2=0$. Точка (0, 0).
При $x=-1$, $y=2(-1)^2=2$. Точка (-1, 2).
При $x=-2$, $y=2(-2)^2=8$. Точка (-2, 8).
2. При $x > 0$ функция задается формулой $y = -0,5x^2$. Это правая ветвь параболы, ветви которой направлены вниз и сжаты в 2 раза по вертикали ($0,5 = 1/2$). Вершина в (0, 0).
Несколько точек для построения:
При $x=1$, $y=-0,5(1)^2=-0,5$. Точка (1, -0,5).
При $x=2$, $y=-0,5(2)^2=-2$. Точка (2, -2).
Функция непрерывна в точке $x=0$.

Определение монотонности:
Проверим, является ли функция убывающей.
Рассмотрим произвольные $x_1$ и $x_2$ такие, что $x_1 < x_2$.
1. Если $x_1, x_2 \in (-\infty, 0]$, то $y(x_1)=2x_1^2$ и $y(x_2)=2x_2^2$. На этом промежутке с ростом $x$ (приближением к 0) значение $2x^2$ уменьшается. Следовательно, $y(x_1) > y(x_2)$. Функция убывает.
2. Если $x_1, x_2 \in (0, +\infty)$, то $y(x_1)=-0,5x_1^2$ и $y(x_2)=-0,5x_2^2$. На этом промежутке с ростом $x$ значение $x^2$ растет, а $-0,5x^2$ уменьшается. Следовательно, $y(x_1) > y(x_2)$. Функция убывает.
3. Если $x_1 \le 0$ и $x_2 > 0$, то $y(x_1) = 2x_1^2 \ge 0$, а $y(x_2) = -0,5x_2^2 < 0$. Очевидно, что $y(x_1) > y(x_2)$.
Во всех случаях для $x_1 < x_2$ выполняется $y(x_1) > y(x_2)$, следовательно, функция является убывающей на всей области определения.

Ответ: функция является убывающей.