Страница 55 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

130 Используя схематический график, сравните значения выражений:

а) $5 \cdot (-17)^2$ и $5 \cdot (-7)^2$;

б) $-2 \cdot 91^2$ и $-2 \cdot 19^2$;

в) $-4 \cdot 1,5^2$ и $-4 \cdot (-1,5)^2$.

Для решения этой задачи мы будем использовать свойства квадратичной функции вида $y = ax^2$. Графиком такой функции является парабола с вершиной в начале координат (0,0), симметричная относительно оси ординат.

• Если коэффициент $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что чем дальше значение $x$ от нуля (то есть, чем больше $|x|$), тем больше значение функции $y$.
• Если коэффициент $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Это означает, что чем дальше значение $x$ от нуля (то есть, чем больше $|x|$), тем меньше значение функции $y$.
• Так как функция является четной ($f(x) = f(-x)$), то значения функции для противоположных аргументов равны.

а)

Требуется сравнить $5 \cdot (-17)^2$ и $5 \cdot (-7)^2$.
Эти выражения являются значениями функции $y = 5x^2$ при $x = -17$ и $x = -7$.
Коэффициент $a = 5 > 0$, значит, ветви параболы направлены вверх.
Сравним абсолютные значения аргументов: $|-17| = 17$ и $|-7| = 7$.
Поскольку $17 > 7$, точка $x = -17$ находится дальше от вершины параболы (в точке $x=0$), чем точка $x = -7$. Так как ветви параболы направлены вверх, большему по модулю аргументу соответствует большее значение функции.
Следовательно, $5 \cdot (-17)^2 > 5 \cdot (-7)^2$.
Ответ: $5 \cdot (-17)^2 > 5 \cdot (-7)^2$.

б)

Требуется сравнить $-2 \cdot 91^2$ и $-2 \cdot 19^2$.
Эти выражения являются значениями функции $y = -2x^2$ при $x = 91$ и $x = 19$.
Коэффициент $a = -2 < 0$, значит, ветви параболы направлены вниз.
Сравним абсолютные значения аргументов: $|91| = 91$ и $|19| = 19$.
Поскольку $91 > 19$, точка $x = 91$ находится дальше от вершины параболы, чем точка $x = 19$. Так как ветви параболы направлены вниз, большему по модулю аргументу соответствует меньшее значение функции.
Следовательно, $-2 \cdot 91^2 < -2 \cdot 19^2$.
Ответ: $-2 \cdot 91^2 < -2 \cdot 19^2$.

в)

Требуется сравнить $-4 \cdot 1,5^2$ и $-4 \cdot (-1,5)^2$.
Эти выражения являются значениями функции $y = -4x^2$ при $x = 1,5$ и $x = -1,5$.
Функция $y = ax^2$ является четной, то есть ее значения для противоположных аргументов равны, так как $x^2 = (-x)^2$.
В нашем случае аргументы $1,5$ и $-1,5$ являются противоположными числами.
Следовательно, значения выражений равны.
Ответ: $-4 \cdot 1,5^2 = -4 \cdot (-1,5)^2$.

131 Укажите координаты какой-либо точки графика функции $y = 20x^2$, расположенной:

а) выше прямой $y = 1000$;

б) ниже прямой $y = 800$;

в) выше прямой $y = 1200$ и ниже прямой $y = 1500$.

а) Чтобы точка графика функции $y = 20x^2$ была расположена выше прямой $y = 1000$, ее координата $y$ должна удовлетворять неравенству $y > 1000$. Подставим в это неравенство выражение для $y$ из формулы функции:
$20x^2 > 1000$
Разделим обе части неравенства на 20:
$x^2 > \frac{1000}{20}$
$x^2 > 50$
Нам нужно выбрать любое значение $x$, квадрат которого больше 50. Например, возьмем $x = 10$, так как $10^2 = 100$, и $100 > 50$.
Теперь найдем соответствующую координату $y$:
$y = 20 \cdot 10^2 = 20 \cdot 100 = 2000$.
Точка $(10, 2000)$ удовлетворяет условию, так как $2000 > 1000$.
Ответ: $(10, 2000)$.

б) Чтобы точка графика функции $y = 20x^2$ была расположена ниже прямой $y = 800$, ее координата $y$ должна быть меньше 800, то есть $y < 800$.
Подставим в неравенство выражение для $y$:
$20x^2 < 800$
Разделим обе части неравенства на 20:
$x^2 < \frac{800}{20}$
$x^2 < 40$
Выберем любое значение $x$, квадрат которого меньше 40. Например, возьмем $x = 5$, так как $5^2 = 25$, и $25 < 40$.
Найдем соответствующую координату $y$:
$y = 20 \cdot 5^2 = 20 \cdot 25 = 500$.
Точка $(5, 500)$ удовлетворяет условию, так как $500 < 800$.
Ответ: $(5, 500)$.

в) Точка графика должна быть расположена выше прямой $y = 1200$ и ниже прямой $y = 1500$. Это означает, что ее координата $y$ должна удовлетворять двойному неравенству $1200 < y < 1500$.
Подставим $y = 20x^2$:
$1200 < 20x^2 < 1500$
Разделим все части неравенства на 20:
$\frac{1200}{20} < x^2 < \frac{1500}{20}$
$60 < x^2 < 75$
Нам нужно найти такое значение $x$, квадрат которого находится между 60 и 75. Рассмотрим квадраты целых чисел: $7^2 = 49$ (не подходит), $8^2 = 64$ (подходит, так как $60 < 64 < 75$), $9^2 = 81$ (не подходит).
Выберем $x=8$. Теперь найдем соответствующую координату $y$:
$y = 20 \cdot 8^2 = 20 \cdot 64 = 1280$.
Проверим, выполняется ли условие: $1200 < 1280 < 1500$. Условие выполняется, значит, точка $(8, 1280)$ является подходящим ответом.
Ответ: $(8, 1280)$.

132. В одной системе координат постройте графики функций и найдите координаты их точек пересечения:

а) $y = \frac{1}{2}x^2$ и $y = \frac{1}{2}x + 1$;

б) $y = 2x^2$ и $y = -2x + 4$;

в) $y = -2x^2$ и $y = -\frac{2}{x}$.

a) Даны функции $y = \frac{1}{2}x^2$ и $y = \frac{1}{2}x + 1$.

График функции $y = \frac{1}{2}x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$, ветви которой направлены вверх.

График функции $y = \frac{1}{2}x + 1$ — это прямая линия. Для ее построения найдем две точки: при $x=0$, $y=1$; при $x=2$, $y = \frac{1}{2}(2) + 1 = 2$. То есть прямая проходит через точки $(0, 1)$ и $(2, 2)$.

Чтобы найти координаты точек пересечения графиков, необходимо решить систему уравнений. Для этого приравняем правые части выражений для $y$:

$\frac{1}{2}x^2 = \frac{1}{2}x + 1$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:

$x^2 = x + 2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$, подставив их в любое из исходных уравнений. Удобнее использовать уравнение прямой $y = \frac{1}{2}x + 1$.

Для $x_1 = 2$:

$y_1 = \frac{1}{2}(2) + 1 = 1 + 1 = 2$

Первая точка пересечения имеет координаты $(2, 2)$.

Для $x_2 = -1$:

$y_2 = \frac{1}{2}(-1) + 1 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$

Вторая точка пересечения имеет координаты $(-1, \frac{1}{2})$.

Ответ: $(2, 2)$, $(-1, \frac{1}{2})$.

б) Даны функции $y = 2x^2$ и $y = -2x + 4$.

График функции $y = 2x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вверх.

График функции $y = -2x + 4$ — это прямая линия. Для построения найдем две точки: при $x=0$, $y=4$; при $x=2$, $y = -2(2)+4=0$. То есть прямая проходит через точки $(0, 4)$ и $(2, 0)$.

Для нахождения координат точек пересечения приравняем правые части уравнений:

$2x^2 = -2x + 4$

Перенесем все члены в левую часть:

$2x^2 + 2x - 4 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:

$x^2 + x - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные значения $x$ в уравнение $y = 2x^2$.

Для $x_1 = 1$:

$y_1 = 2(1)^2 = 2$

Первая точка пересечения: $(1, 2)$.

Для $x_2 = -2$:

$y_2 = 2(-2)^2 = 2 \cdot 4 = 8$

Вторая точка пересечения: $(-2, 8)$.

Ответ: $(1, 2)$, $(-2, 8)$.

в) Даны функции $y = -2x^2$ и $y = -\frac{2}{x}$.

График функции $y = -2x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вниз.

График функции $y = -\frac{2}{x}$ — это гипербола, расположенная во второй ($x<0, y>0$) и четвертой ($x>0, y<0$) координатных четвертях. Прямая $x=0$ (ось ординат) является вертикальной асимптотой для гиперболы.

Найдем координаты точек пересечения, приравняв правые части уравнений. Важно учесть, что $x \neq 0$, так как функция $y = -\frac{2}{x}$ не определена в этой точке.

$-2x^2 = -\frac{2}{x}$

Умножим обе части на $-1$:

$2x^2 = \frac{2}{x}$

Умножим обе части на $x$ (это возможно, так как $x \neq 0$):

$2x^3 = 2$

Разделим обе части на 2:

$x^3 = 1$

Единственным действительным решением этого кубического уравнения является $x=1$.

Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=1$ в любое из исходных уравнений, например, в $y = -2x^2$:

$y = -2(1)^2 = -2$

Следовательно, графики функций имеют только одну точку пересечения.

Ответ: $(1, -2)$.

133 Постройте график функции:

a) $y = \begin{cases} x^2, \text{ если } x \le 0 \\ -x^2, \text{ если } x > 0 \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} -2x^2, \text{ если } x < 0 \\ 2x^2, \text{ если } x \ge 0 \end{cases}$

в) $y = \begin{cases} 2x^2, \text{ если } x \le 0 \\ -0.5x^2, \text{ если } x > 0 \end{cases}$

Для каждой функции определите, является ли она возрастающей или убывающей.

а) $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \le 0 \\ -x^2, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

Построение графика:
График данной функции является кусочным и состоит из двух частей, которые стыкуются в точке $x=0$.
1. На промежутке $(-\infty, 0]$ функция имеет вид $y = x^2$. Это левая ветвь стандартной параболы, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке (0, 0). Построим ее по точкам:
При $x=0$, $y=0^2=0$. Точка (0, 0).
При $x=-1$, $y=(-1)^2=1$. Точка (-1, 1).
При $x=-2$, $y=(-2)^2=4$. Точка (-2, 4).
2. На промежутке $(0, +\infty)$ функция имеет вид $y = -x^2$. Это правая ветвь параболы, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы также находится в точке (0, 0). Построим ее по точкам:
При $x=1$, $y=-(1)^2=-1$. Точка (1, -1).
При $x=2$, $y=-(2)^2=-4$. Точка (2, -4).
В точке $x=0$ значение левой части $y(0)=0$ и предел правой части $\lim_{x\to 0^+} (-x^2)=0$ совпадают, значит функция непрерывна. График представляет собой плавную кривую, проходящую через начало координат.

Определение монотонности:
Чтобы определить, является ли функция возрастающей или убывающей, проанализируем ее поведение на всей области определения $(-\infty, +\infty)$.
Функция является убывающей, если большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$.
Рассмотрим произвольные $x_1$ и $x_2$ такие, что $x_1 < x_2$.
1. Если $x_1, x_2 \in (-\infty, 0]$, то $y(x_1)=x_1^2$ и $y(x_2)=x_2^2$. Для отрицательных аргументов, чем больше число (ближе к нулю), тем меньше его квадрат. Следовательно, $y(x_1) > y(x_2)$. На этом участке функция убывает.
2. Если $x_1, x_2 \in (0, +\infty)$, то $y(x_1)=-x_1^2$ и $y(x_2)=-x_2^2$. Для положительных аргументов, чем больше число, тем больше его квадрат, а число с противоположным знаком $-x^2$ будет меньше. Следовательно, $y(x_1) > y(x_2)$. На этом участке функция также убывает.
3. Если $x_1 \le 0$ и $x_2 > 0$, то $y(x_1)=x_1^2 \ge 0$, а $y(x_2)=-x_2^2 < 0$. Очевидно, что $y(x_1) > y(x_2)$.
Таким образом, для любых $x_1 < x_2$ из области определения выполняется $y(x_1) > y(x_2)$. Это означает, что функция является убывающей на всей своей области определения.

Ответ: функция является убывающей.

б) $y = \begin{cases} -2x^2, & \text{если } x < 0 \\ 2x^2, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Построение графика:
График этой функции также состоит из двух частей, стыкующихся в начале координат.
1. При $x < 0$ функция задается формулой $y = -2x^2$. Это левая ветвь параболы, ветви которой направлены вниз и растянуты в 2 раза по вертикали по сравнению со стандартной параболой. Вершина в (0, 0).
Несколько точек для построения:
При $x=-1$, $y=-2(-1)^2=-2$. Точка (-1, -2).
При $x=-2$, $y=-2(-2)^2=-8$. Точка (-2, -8).
2. При $x \ge 0$ функция задается формулой $y = 2x^2$. Это правая ветвь параболы, ветви которой направлены вверх и растянуты в 2 раза по вертикали. Вершина в (0, 0).
Несколько точек для построения:
При $x=0$, $y=2(0)^2=0$. Точка (0, 0).
При $x=1$, $y=2(1)^2=2$. Точка (1, 2).
При $x=2$, $y=2(2)^2=8$. Точка (2, 8).
Функция непрерывна в точке $x=0$.

Определение монотонности:
Функция является возрастающей, если большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$.
Рассмотрим произвольные $x_1$ и $x_2$ такие, что $x_1 < x_2$.
1. Если $x_1, x_2 \in (-\infty, 0)$, то $y(x_1)=-2x_1^2$ и $y(x_2)=-2x_2^2$. На этом промежутке с ростом $x$ (приближением к 0) значение $x^2$ уменьшается, а $-2x^2$ увеличивается. Следовательно, $y(x_1) < y(x_2)$. Функция возрастает.
2. Если $x_1, x_2 \in [0, +\infty)$, то $y(x_1)=2x_1^2$ и $y(x_2)=2x_2^2$. На этом промежутке с ростом $x$ значение $2x^2$ также увеличивается. Следовательно, $y(x_1) < y(x_2)$. Функция возрастает.
3. Если $x_1 < 0$ и $x_2 \ge 0$, то $y(x_1) = -2x_1^2 < 0$, а $y(x_2) = 2x_2^2 \ge 0$. Очевидно, что $y(x_1) < y(x_2)$.
Во всех случаях для $x_1 < x_2$ выполняется $y(x_1) < y(x_2)$, следовательно, функция является возрастающей на всей области определения.

Ответ: функция является возрастающей.

в) $y = \begin{cases} 2x^2, & \text{если } x \le 0 \\ -0,5x^2, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

Построение графика:
График состоит из двух ветвей парабол.
1. При $x \le 0$ функция задается формулой $y = 2x^2$. Это левая ветвь параболы, ветви которой направлены вверх и растянуты в 2 раза по вертикали. Вершина в (0, 0).
Несколько точек для построения:
При $x=0$, $y=2(0)^2=0$. Точка (0, 0).
При $x=-1$, $y=2(-1)^2=2$. Точка (-1, 2).
При $x=-2$, $y=2(-2)^2=8$. Точка (-2, 8).
2. При $x > 0$ функция задается формулой $y = -0,5x^2$. Это правая ветвь параболы, ветви которой направлены вниз и сжаты в 2 раза по вертикали ($0,5 = 1/2$). Вершина в (0, 0).
Несколько точек для построения:
При $x=1$, $y=-0,5(1)^2=-0,5$. Точка (1, -0,5).
При $x=2$, $y=-0,5(2)^2=-2$. Точка (2, -2).
Функция непрерывна в точке $x=0$.

Определение монотонности:
Проверим, является ли функция убывающей.
Рассмотрим произвольные $x_1$ и $x_2$ такие, что $x_1 < x_2$.
1. Если $x_1, x_2 \in (-\infty, 0]$, то $y(x_1)=2x_1^2$ и $y(x_2)=2x_2^2$. На этом промежутке с ростом $x$ (приближением к 0) значение $2x^2$ уменьшается. Следовательно, $y(x_1) > y(x_2)$. Функция убывает.
2. Если $x_1, x_2 \in (0, +\infty)$, то $y(x_1)=-0,5x_1^2$ и $y(x_2)=-0,5x_2^2$. На этом промежутке с ростом $x$ значение $x^2$ растет, а $-0,5x^2$ уменьшается. Следовательно, $y(x_1) > y(x_2)$. Функция убывает.
3. Если $x_1 \le 0$ и $x_2 > 0$, то $y(x_1) = 2x_1^2 \ge 0$, а $y(x_2) = -0,5x_2^2 < 0$. Очевидно, что $y(x_1) > y(x_2)$.
Во всех случаях для $x_1 < x_2$ выполняется $y(x_1) > y(x_2)$, следовательно, функция является убывающей на всей области определения.

Ответ: функция является убывающей.

134 Постройте график функции $y = \begin{cases} -x^2, \text{ если } x \le 1 \\ x, \text{ если } x > 1. \end{cases}$

Указание. График состоит из двух частей. Подумайте, какой части принадлежит точка с абсциссой, равной 1, и исключите «лишнюю» точку, показав её стрелкой.

Для построения графика кусочно-заданной функции $ y = \begin{cases} -x^2, & \text{если } x \le 1 \\ x, & \text{если } x > 1 \end{cases} $ необходимо построить два графика на одной координатной плоскости, каждый на своем промежутке.

Эта часть графика является частью параболы $y = -x^2$. Ветви этой параболы направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 0)$. Мы строим эту параболу для всех значений $x$, которые меньше или равны 1.

Составим таблицу значений для нескольких точек на этом промежутке:

• При $x=1$, $y = -(1)^2 = -1$. Точка $(1, -1)$. Так как условие $x \le 1$ (нестрогое неравенство), эта точка принадлежит графику и на чертеже отмечается закрашенным кружком.
• При $x=0$, $y = -(0)^2 = 0$. Точка $(0, 0)$.
• При $x=-1$, $y = -(-1)^2 = -1$. Точка $(-1, -1)$.
• При $x=-2$, $y = -(-2)^2 = -4$. Точка $(-2, -4)$.

Таким образом, мы чертим левую ветвь и часть правой ветви параболы до точки $(1, -1)$ включительно.

Эта часть графика является частью прямой $y = x$. Это прямая, которая является биссектрисой первого и третьего координатных углов. Мы строим эту прямую для всех значений $x$, которые строго больше 1.

Найдем координаты точек для построения этой части графика:

• Рассмотрим граничную точку при $x=1$. Для функции $y=x$, в этой точке $y=1$. Получаем точку $(1, 1)$. Однако, поскольку условие $x > 1$ строгое, сама эта точка не принадлежит графику. На чертеже она отмечается пустым (выколотым) кружком. Это и есть «лишняя» точка, о которой говорится в указании.
• При $x=2$, $y=2$. Точка $(2, 2)$.
• При $x=3$, $y=3$. Точка $(3, 3)$.

Таким образом, мы чертим луч, выходящий из выколотой точки $(1, 1)$ и проходящий через точку $(2, 2)$ вправо и вверх.

Объединяем построенные части на одной координатной плоскости. График функции будет состоять из двух не соединенных между собой частей:

• Часть параболы $y = -x^2$ на промежутке $(-\infty, 1]$, заканчивающаяся закрашенной точкой $(1, -1)$.
• Луч прямой $y=x$ на промежутке $(1, +\infty)$, начинающийся с выколотой точки $(1, 1)$.

В точке $x=1$ функция имеет разрыв. Значение функции в этой точке равно $y(1) = -1$.

Ответ: График функции состоит из двух частей. Первая часть — это ветви параболы $y=-x^2$, расположенные в третьем и четвертом координатных квадрантах, ограниченные справа точкой $(1, -1)$, которая включена в график. Вторая часть — это луч, выходящий из точки $(1, 1)$ и идущий вправо-вверх под углом 45 градусов к оси абсцисс; сама точка $(1, 1)$ в график не входит (является выколотой). В точке $x=1$ происходит разрыв функции.

135 Постройте график функции:

a) $y = \begin{cases} x + 3, \text{ если } x \le 0 \\ 3x^2, \text{ если } x > 0; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} -2x^2, \text{ если } x < 0 \\ -x + 2, \text{ если } x \ge 0. \end{cases}$

Для каждой функции ответьте на вопрос: имеет ли функция наименьшее значение? наибольшее значение?

а)

Дана кусочно-заданная функция: $ y = \begin{cases} x + 3, & \text{если } x \le 0 \\ 3x^2, & \text{если } x > 0 \end{cases} $

1. Построение графика.

График состоит из двух частей.

Первая часть — график функции $y = x + 3$ на промежутке $(-\infty, 0]$. Это луч. Для его построения найдем две точки:

• При $x = 0$, $y = 0 + 3 = 3$. Точка $(0, 3)$ принадлежит графику.
• При $x = -3$, $y = -3 + 3 = 0$. Точка $(-3, 0)$ принадлежит графику.

Вторая часть — график функции $y = 3x^2$ на промежутке $(0, +\infty)$. Это правая ветвь параболы, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$, но эта точка не принадлежит графику, так как неравенство строгое ($x > 0$). На графике эта точка будет "выколотой". Найдем еще несколько точек:

• При $x = 1$, $y = 3 \cdot 1^2 = 3$. Точка $(1, 3)$ принадлежит графику.
• При $x = 2$, $y = 3 \cdot 2^2 = 12$. Точка $(2, 12)$ принадлежит графику.

Итоговый график представляет собой луч, идущий из левой нижней четверти и заканчивающийся в точке $(0, 3)$, и правую ветвь параболы, начинающуюся из выколотой точки $(0, 0)$ и уходящую вверх вправо.

2. Наименьшее и наибольшее значения.

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения, проанализируем область значений функции.

• Наименьшее значение: При $x \to -\infty$, значения функции $y = x + 3$ также стремятся к $-\infty$. Следовательно, функция не ограничена снизу, и наименьшего значения у нее нет.
• Наибольшее значение: При $x \to +\infty$, значения функции $y = 3x^2$ стремятся к $+\infty$. Следовательно, функция не ограничена сверху, и наибольшего значения у нее нет.

Ответ: функция не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значения.

б)

Дана кусочно-заданная функция: $ y = \begin{cases} -2x^2, & \text{если } x < 0 \\ -x + 2, & \text{если } x \ge 0 \end{cases} $

1. Построение графика.

График состоит из двух частей.

Первая часть — график функции $y = -2x^2$ на промежутке $(-\infty, 0)$. Это левая ветвь параболы, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$, но эта точка не принадлежит графику (выколотая). Найдем контрольные точки:

• При $x = -1$, $y = -2(-1)^2 = -2$. Точка $(-1, -2)$ принадлежит графику.
• При $x = -2$, $y = -2(-2)^2 = -8$. Точка $(-2, -8)$ принадлежит графику.

Вторая часть — график функции $y = -x + 2$ на промежутке $[0, +\infty)$. Это луч. Найдем две точки для его построения:

• При $x = 0$, $y = -0 + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$ принадлежит графику.
• При $x = 2$, $y = -2 + 2 = 0$. Точка $(2, 0)$ принадлежит графику.

Итоговый график представляет собой левую ветвь параболы, идущую из левой нижней четверти и приближающуюся к выколотой точке $(0, 0)$, и луч, начинающийся в точке $(0, 2)$ и идущий вправо и вниз.

2. Наименьшее и наибольшее значения.

Проанализируем область значений функции.

• Наименьшее значение: Обе части функции уходят в $-\infty$. При $x \to -\infty$, $y = -2x^2 \to -\infty$. При $x \to +\infty$, $y = -x + 2 \to -\infty$. Таким образом, функция не ограничена снизу, и наименьшего значения у нее нет.
• Наибольшее значение: Рассмотрим значения функции на каждом участке. На промежутке $(-\infty, 0)$, значения $y = -2x^2$ отрицательны, то есть принадлежат интервалу $(-\infty, 0)$. На промежутке $[0, +\infty)$, функция $y = -x + 2$ убывает, и ее максимальное значение достигается в точке $x = 0$ и равно $y(0) = 2$. Область значений на этом участке — $(-\infty, 2]$. Объединяя области значений обоих участков, $(-\infty, 0) \cup (-\infty, 2]$, получаем общую область значений $(-\infty, 2]$. Наибольшее значение в этом множестве равно 2.

Ответ: функция не имеет наименьшего значения; наибольшее значение функции равно 2.

136 В одной системе координат постройте графики функций:

a) $y = |x|$ и $y = -|x|$;

б) $y = \sqrt{x}$ и $y = -\sqrt{x}$;

в) $y = x^3$ и $y = -x^3$;

г) $y = \frac{2}{x}$ и $y = -\frac{2}{x}$.

Для построения графиков воспользуемся общим правилом: график функции $y = -f(x)$ симметричен графику функции $y = f(x)$ относительно оси абсцисс (оси Ox). Для каждой пары функций мы сначала построим базовый график $y = f(x)$, а затем отразим его относительно оси Ox, чтобы получить график $y = -f(x)$.

а)

1. Строим график функции $y = |x|$. Это функция модуля, ее график состоит из двух лучей, выходящих из начала координат.
При $x \ge 0$, функция имеет вид $y = x$ (биссектриса первого координатного угла).
При $x < 0$, функция имеет вид $y = -x$ (биссектриса второго координатного угла).
Ключевые точки: $(-2, 2)$, $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 2)$. График выглядит как "галочка" (буква V) с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вверх.

2. Строим график функции $y = -|x|$. Этот график симметричен графику $y = |x|$ относительно оси Ox.
При $x \ge 0$, функция имеет вид $y = -x$.
При $x < 0$, функция имеет вид $y = -(-x) = x$.
Ключевые точки: $(-2, -2)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, -1)$, $(2, -2)$. График выглядит как перевернутая "галочка" с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вниз.

Ответ: График $y = |x|$ представляет собой две линии, исходящие из начала координат и расположенные в верхней полуплоскости (биссектрисы I и II квадрантов). График $y = -|x|$ симметричен ему относительно оси Ox и расположен в нижней полуплоскости.

б)

1. Строим график функции $y = \sqrt{x}$. Область определения этой функции $x \ge 0$. График представляет собой ветвь параболы, выходящую из начала координат и расположенную в первой координатной четверти.
Ключевые точки: $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(4, 2)$, $(9, 3)$.

2. Строим график функции $y = -\sqrt{x}$. Этот график симметричен графику $y = \sqrt{x}$ относительно оси Ox. Область определения также $x \ge 0$. График представляет собой ветвь параболы, расположенную в четвертой координатной четверти.
Ключевые точки: $(0, 0)$, $(1, -1)$, $(4, -2)$, $(9, -3)$.

Ответ: График $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы в первой четверти. График $y = -\sqrt{x}$ — симметричная ей относительно оси Ox ветвь параболы в четвертой четверти. Вместе они образуют параболу $x = y^2$, "лежащую на боку".

в)

1. Строим график функции $y = x^3$. Это кубическая парабола. График проходит через начало координат и расположен в первой и третьей координатных четвертях. Он симметричен относительно начала координат.
Ключевые точки: $(-2, -8)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 8)$.

2. Строим график функции $y = -x^3$. Этот график симметричен графику $y = x^3$ относительно оси Ox. Он также проходит через начало координат, но расположен во второй и четвертой координатных четвертях.
Ключевые точки: $(-2, 8)$, $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, -1)$, $(2, -8)$.

Ответ: График $y = x^3$ — кубическая парабола, расположенная в I и III четвертях. График $y = -x^3$ — кубическая парабола, симметричная первой относительно оси Ox и расположенная во II и IV четвертях.

г)

1. Строим график функции $y = \frac{2}{x}$. Это гипербола. График состоит из двух ветвей, расположенных в первой и третьей координатных четвертях. Оси координат (линии $x=0$ и $y=0$) являются асимптотами графика.
Ключевые точки для первой ветви: $(1, 2)$, $(2, 1)$, $(4, 0.5)$.
Ключевые точки для третьей ветви: $(-1, -2)$, $(-2, -1)$, $(-4, -0.5)$.

2. Строим график функции $y = -\frac{2}{x}$. Этот график также является гиперболой и симметричен графику $y = \frac{2}{x}$ относительно оси Ox. Его ветви расположены во второй и четвертой координатных четвертях. Оси координат также являются асимптотами.
Ключевые точки для второй ветви: $(-1, 2)$, $(-2, 1)$, $(-4, 0.5)$.
Ключевые точки для четвертой ветви: $(1, -2)$, $(2, -1)$, $(4, -0.5)$.

Ответ: График $y = \frac{2}{x}$ — гипербола с ветвями в I и III четвертях. График $y = -\frac{2}{x}$ — гипербола с ветвями во II и IV четвертях, симметричная первой относительно оси абсцисс.

ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ

1) Постройте параболу $y = \frac{1}{4}x^2$.

2) В этой же системе координат проведите прямую $d$, уравнение которой $y = -1$, и отметьте точку $F (0; 1)$.

3) Отметьте на параболе несколько точек с целыми координатами и для каждой из них вычислите расстояния до точки $F$ и до прямой $d$.

4) Докажите, что любая точка параболы $y = \frac{1}{4}x^2$ находится на одинаковом расстоянии от точки $F$ и от прямой $d$.

Подсказка. Возьмите произвольную точку параболы $(x; \frac{1}{4}x^2)$. Составьте выражения для нахождения расстояний от этой точки до точки $F$ и до прямой $d$.

1)

Чтобы построить параболу $y = \frac{1}{4}x^2$, найдем координаты нескольких точек, принадлежащих этой параболе. Это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат, точке (0; 0).

• При $x = 0$, $y = \frac{1}{4} \cdot 0^2 = 0$. Точка (0; 0).
• При $x = 2$, $y = \frac{1}{4} \cdot 2^2 = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1$. Точка (2; 1).
• При $x = -2$, $y = \frac{1}{4} \cdot (-2)^2 = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1$. Точка (-2; 1).
• При $x = 4$, $y = \frac{1}{4} \cdot 4^2 = \frac{1}{4} \cdot 16 = 4$. Точка (4; 4).
• При $x = -4$, $y = \frac{1}{4} \cdot (-4)^2 = \frac{1}{4} \cdot 16 = 4$. Точка (-4; 4).

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией, получив график параболы.

Ответ: Построена парабола, проходящая через точки (0; 0), (2; 1), (-2; 1), (4; 4), (-4; 4), с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх.

2)

В той же системе координат, где построена парабола:

• Проводим прямую $d$, заданную уравнением $y = -1$. Это горизонтальная прямая, параллельная оси Ox и проходящая через точку (0; -1) на оси Oy.
• Отмечаем точку $F$ с координатами (0; 1). Эта точка лежит на оси Oy.

Ответ: Построена горизонтальная прямая $y=-1$ и отмечена точка $F(0; 1)$.

3)

Возьмем несколько точек с целыми координатами с параболы, найденных в пункте 1, и вычислим для них расстояние до точки $F(0; 1)$ и до прямой $d: y = -1$.

Формула расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $D = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.

Формула расстояния от точки $(x_0, y_0)$ до горизонтальной прямой $y=c$: $d = |y_0 - c|$.

• Точка A(0; 0):
  • Расстояние до точки F: $AF = \sqrt{(0-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1$.
  • Расстояние до прямой d: $|0 - (-1)| = |1| = 1$.
• Точка B(2; 1):
  • Расстояние до точки F: $BF = \sqrt{(0-2)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$.
  • Расстояние до прямой d: $|1 - (-1)| = |2| = 2$.
• Точка C(4; 4):
  • Расстояние до точки F: $CF = \sqrt{(0-4)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
  • Расстояние до прямой d: $|4 - (-1)| = |5| = 5$.

Для всех выбранных точек расстояние до точки F равно расстоянию до прямой d.

Ответ: Для точки А(0; 0) оба расстояния равны 1. Для точки B(2; 1) оба расстояния равны 2. Для точки C(4; 4) оба расстояния равны 5.

4)

Для доказательства возьмем произвольную точку $M$ на параболе $y = \frac{1}{4}x^2$. Координаты этой точки будут $M(x; \frac{1}{4}x^2)$. Точка $F$ имеет координаты (0; 1), а прямая $d$ задана уравнением $y = -1$.

Найдем квадрат расстояния от точки $M$ до точки $F$ (обозначим его $MF^2$):

$MF^2 = (x_M - x_F)^2 + (y_M - y_F)^2 = (x - 0)^2 + (\frac{1}{4}x^2 - 1)^2 = x^2 + (\frac{1}{4}x^2)^2 - 2 \cdot \frac{1}{4}x^2 \cdot 1 + 1^2$

$MF^2 = x^2 + \frac{1}{16}x^4 - \frac{1}{2}x^2 + 1 = \frac{1}{16}x^4 + \frac{1}{2}x^2 + 1$

Заметим, что полученное выражение является полным квадратом: $\frac{1}{16}x^4 + \frac{1}{2}x^2 + 1 = (\frac{1}{4}x^2 + 1)^2$.

Следовательно, $MF = \sqrt{(\frac{1}{4}x^2 + 1)^2}$. Так как $x^2 \ge 0$, выражение $\frac{1}{4}x^2 + 1$ всегда положительно, поэтому $MF = \frac{1}{4}x^2 + 1$.

Теперь найдем расстояние от точки $M(x; \frac{1}{4}x^2)$ до прямой $d: y = -1$ (обозначим его $d(M,d)$):

$d(M,d) = |y_M - (-1)| = |\frac{1}{4}x^2 + 1|$.

Так как выражение $\frac{1}{4}x^2 + 1$ всегда положительно, модуль можно опустить: $d(M,d) = \frac{1}{4}x^2 + 1$.

Сравнивая полученные выражения для расстояний, видим, что они равны: $MF = d(M,d) = \frac{1}{4}x^2 + 1$.

Это доказывает, что любая точка параболы $y = \frac{1}{4}x^2$ находится на одинаковом расстоянии от точки $F(0; 1)$ и от прямой $d: y = -1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Для произвольной точки $M(x; \frac{1}{4}x^2)$ на параболе было показано, что расстояние до точки $F(0; 1)$ равно $\frac{1}{4}x^2 + 1$ и расстояние до прямой $d: y=-1$ также равно $\frac{1}{4}x^2 + 1$. Равенство этих расстояний доказывает утверждение задачи.