Страница 50 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

112 Для каждой параболы (рис. 2.2) укажите: направление ветвей, уравнение оси симметрии, координаты вершины. Покажите на графике точку его пересечения с осью y и симметричную ей точку. Запишите координаты отмеченных точек. Укажите на графике ещё одну пару симметричных точек и запишите их координаты.

Рис. 2.2

(1)

$y = \frac{1}{4}x^2 + 2x + 4$

(2)

$y = \frac{1}{2}x^2 + 3$

(3)

$y = -\frac{1}{3}x^2 - 4x - 15$

(4)

$y = -2x^2 + 8x - 6$

Парабола 1 (фиолетовая)

Уравнение: $y = \frac{1}{4}x^2 + 2x + 4$

• Направление ветвей:

  Коэффициент при $x^2$ равен $a = \frac{1}{4}$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

• Уравнение оси симметрии:

  Абсцисса вершины параболы и уравнение ее оси симметрии находятся по формуле $x = -\frac{b}{2a}$.

  $x = -\frac{2}{2 \cdot \frac{1}{4}} = -\frac{2}{\frac{1}{2}} = -4$.

  Уравнение оси симметрии: $x = -4$.

• Координаты вершины:

  Абсцисса вершины $x_v = -4$. Подставим это значение в уравнение параболы, чтобы найти ординату $y_v$.

  $y_v = \frac{1}{4}(-4)^2 + 2(-4) + 4 = \frac{1}{4}(16) - 8 + 4 = 4 - 8 + 4 = 0$.

  Координаты вершины: $(-4, 0)$.

• Точка пересечения с осью y и симметричная ей точка:

  Для нахождения точки пересечения с осью $y$, подставим $x = 0$ в уравнение параболы.

  $y = \frac{1}{4}(0)^2 + 2(0) + 4 = 4$.

  Точка пересечения с осью $y$: $(0, 4)$.

  Симметричная ей точка будет иметь ту же ординату, а ее абсцисса будет симметрична $x=0$ относительно оси симметрии $x=-4$. Абсцисса симметричной точки: $x_s = 2 \cdot (-4) - 0 = -8$.

  Координаты симметричной точки: $(-8, 4)$.

• Еще одна пара симметричных точек:

  Возьмем произвольную точку на параболе, например, при $x = -2$.

  $y = \frac{1}{4}(-2)^2 + 2(-2) + 4 = \frac{1}{4}(4) - 4 + 4 = 1$.

  Точка на параболе: $(-2, 1)$.

  Абсцисса симметричной ей точки: $x_s = 2 \cdot (-4) - (-2) = -8 + 2 = -6$.

  Пара симметричных точек: $(-2, 1)$ и $(-6, 1)$.

Ответ: Ветви параболы направлены вверх; уравнение оси симметрии $x = -4$; координаты вершины $(-4, 0)$; точка пересечения с осью $y$ имеет координаты $(0, 4)$, а симметричная ей точка — $(-8, 4)$; пример еще одной пары симметричных точек: $(-2, 1)$ и $(-6, 1)$.

Парабола 2 (красная)

Уравнение: $y = \frac{1}{2}x^2 + 3$

• Направление ветвей:

  Коэффициент при $x^2$ равен $a = \frac{1}{2}$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

• Уравнение оси симметрии:

  В данном уравнении $b=0$, поэтому ось симметрии $x = -\frac{0}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 0$.

  Уравнение оси симметрии: $x = 0$ (ось $y$).

• Координаты вершины:

  Абсцисса вершины $x_v = 0$. Подставим это значение в уравнение параболы:

  $y_v = \frac{1}{2}(0)^2 + 3 = 3$.

  Координаты вершины: $(0, 3)$.

• Точка пересечения с осью y и симметричная ей точка:

  При $x = 0$, $y = 3$. Точка пересечения с осью $y$: $(0, 3)$.

  Так как эта точка является вершиной и лежит на оси симметрии, она симметрична самой себе.

• Еще одна пара симметричных точек:

  Возьмем точку при $x = 2$.

  $y = \frac{1}{2}(2)^2 + 3 = \frac{1}{2}(4) + 3 = 2 + 3 = 5$.

  Точка на параболе: $(2, 5)$.

  Так как ось симметрии $x=0$, абсцисса симметричной точки будет $x_s = -2$.

  Пара симметричных точек: $(2, 5)$ и $(-2, 5)$.

Ответ: Ветви параболы направлены вверх; уравнение оси симметрии $x = 0$; координаты вершины $(0, 3)$; точка пересечения с осью $y$ имеет координаты $(0, 3)$ и симметрична сама себе; пример еще одной пары симметричных точек: $(2, 5)$ и $(-2, 5)$.

Парабола 3 (оранжевая)

Уравнение: $y = -\frac{1}{3}x^2 - 4x - 15$

• Направление ветвей:

  Коэффициент при $x^2$ равен $a = -\frac{1}{3}$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

• Уравнение оси симметрии:

  $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot (-\frac{1}{3})} = \frac{4}{-\frac{2}{3}} = -6$.

  Уравнение оси симметрии: $x = -6$.

• Координаты вершины:

  Абсцисса вершины $x_v = -6$.

  $y_v = -\frac{1}{3}(-6)^2 - 4(-6) - 15 = -\frac{1}{3}(36) + 24 - 15 = -12 + 24 - 15 = -3$.

  Координаты вершины: $(-6, -3)$.

• Точка пересечения с осью y и симметричная ей точка:

  При $x = 0$, $y = -15$. Точка пересечения: $(0, -15)$.

  Абсцисса симметричной точки: $x_s = 2 \cdot (-6) - 0 = -12$.

  Координаты симметричной точки: $(-12, -15)$.

• Еще одна пара симметричных точек:

  Возьмем точку при $x = -3$.

  $y = -\frac{1}{3}(-3)^2 - 4(-3) - 15 = -\frac{1}{3}(9) + 12 - 15 = -3 + 12 - 15 = -6$.

  Точка на параболе: $(-3, -6)$.

  Абсцисса симметричной ей точки: $x_s = 2 \cdot (-6) - (-3) = -12 + 3 = -9$.

  Пара симметричных точек: $(-3, -6)$ и $(-9, -6)$.

Ответ: Ветви параболы направлены вниз; уравнение оси симметрии $x = -6$; координаты вершины $(-6, -3)$; точка пересечения с осью $y$ имеет координаты $(0, -15)$, а симметричная ей точка — $(-12, -15)$; пример еще одной пары симметричных точек: $(-3, -6)$ и $(-9, -6)$.

Парабола 4 (зеленая)

Уравнение: $y = -2x^2 + 8x - 6$

• Направление ветвей:

  Коэффициент при $x^2$ равен $a = -2$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

• Уравнение оси симметрии:

  $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2$.

  Уравнение оси симметрии: $x = 2$.

• Координаты вершины:

  Абсцисса вершины $x_v = 2$.

  $y_v = -2(2)^2 + 8(2) - 6 = -2(4) + 16 - 6 = -8 + 16 - 6 = 2$.

  Координаты вершины: $(2, 2)$.

• Точка пересечения с осью y и симметричная ей точка:

  При $x = 0$, $y = -6$. Точка пересечения: $(0, -6)$.

  Абсцисса симметричной точки: $x_s = 2 \cdot 2 - 0 = 4$.

  Координаты симметричной точки: $(4, -6)$.

• Еще одна пара симметричных точек:

  Возьмем точку, где парабола пересекает ось $x$. Например, при $x = 1$.

  $y = -2(1)^2 + 8(1) - 6 = -2 + 8 - 6 = 0$.

  Точка на параболе: $(1, 0)$.

  Абсцисса симметричной ей точки: $x_s = 2 \cdot 2 - 1 = 3$.

  Пара симметричных точек: $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

Ответ: Ветви параболы направлены вниз; уравнение оси симметрии $x = 2$; координаты вершины $(2, 2)$; точка пересечения с осью $y$ имеет координаты $(0, -6)$, а симметричная ей точка — $(4, -6)$; пример еще одной пары симметричных точек: $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

113 На рисунке 2.6 изображена часть параболы (графика некоторой квадратичной функции) и её ось симметрии. Запишите уравнение оси симметрии. Перенесите рисунок в тетрадь и достройте параболу. Укажите направление ветвей параболы.

Ответьте на вопросы:

1) Каковы координаты вершины параболы?

2) Чему равно значение $y$ при значении $x$, равном $-4; 1; 3$?

3) При каких значениях $x$ значение $y$ равно $0; 3; -3$?

Рис. 2.6

Для решения задачи сначала определим уравнение параболы. На графике можно выделить несколько точек с целочисленными координатами, через которые проходит парабола: $(-3, 8)$, $(-4, 7)$, $(-5, 4)$. Общий вид уравнения квадратичной функции: $y = ax^2 + bx + c$. Подставив координаты точек, можно составить и решить систему уравнений, которая даст нам коэффициенты $a=-1$, $b=-6$, $c=-1$.

Таким образом, уравнение параболы: $y = -x^2 - 6x - 1$.

Так как коэффициент $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Ось симметрии параболы проходит через её вершину. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -b/(2a)$.

$x_v = \frac{-(-6)}{2 \cdot (-1)} = \frac{6}{-2} = -3$.

Уравнение оси симметрии: $x = -3$. Достроить параболу можно, отобразив её левую часть симметрично относительно этой оси.

1) Каковы координаты вершины параболы?

Абсцисса вершины параболы $x_v = -3$. Для нахождения ординаты вершины $y_v$ подставим значение $x_v$ в уравнение параболы:

$y_v = -(-3)^2 - 6(-3) - 1 = -9 + 18 - 1 = 8$.

Координаты вершины параболы: $(-3, 8)$.

Ответ: $(-3, 8)$.

2) Чему равно значение y при значении x, равном -4; 1; 3?

Подставим данные значения $x$ в уравнение параболы $y = -x^2 - 6x - 1$:

• При $x = -4$: $y = -(-4)^2 - 6(-4) - 1 = -16 + 24 - 1 = 7$.
• При $x = 1$: $y = -(1)^2 - 6(1) - 1 = -1 - 6 - 1 = -8$.
• При $x = 3$: $y = -(3)^2 - 6(3) - 1 = -9 - 18 - 1 = -28$.

Ответ: при $x=-4$ значение $y=7$; при $x=1$ значение $y=-8$; при $x=3$ значение $y=-28$.

3) При каких значениях x значение y равно 0; 3; -3?

Для каждого значения $y$ необходимо решить соответствующее квадратное уравнение:

• При $y = 0$:
  $0 = -x^2 - 6x - 1$
  $x^2 + 6x + 1 = 0$
  Используем формулу корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:
  $x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{-6 \pm 4\sqrt{2}}{2} = -3 \pm 2\sqrt{2}$.
• При $y = 3$:
  $3 = -x^2 - 6x - 1$
  $x^2 + 6x + 4 = 0$
  $x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -3 \pm \sqrt{5}$.
• При $y = -3$:
  $-3 = -x^2 - 6x - 1$
  $x^2 + 6x - 2 = 0$
  $x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{44}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{11}}{2} = -3 \pm \sqrt{11}$.

Ответ: $y=0$ при $x = -3 \pm 2\sqrt{2}$; $y=3$ при $x = -3 \pm \sqrt{5}$; $y=-3$ при $x = -3 \pm \sqrt{11}$.

114 Составьте таблицу значений функции и постройте график (проследите за тем, чтобы на графике была вершина и было видно направление ветвей):

а) $y = x^2 - 5x + 4;$

б) $y = -x^2 + 2x + 3;$

в) $y = x^2 - 6x + 5;$

г) $y = -0,5x^2 + 2x.$

В каждом случае ответьте на вопросы:

1) Имеет ли функция наименьшее или наибольшее значение и чему оно равно? При каком $x$ функция принимает это значение?

2) Пересекает ли график функции прямую $y = 10$? $y = -10$?

а) $y = x^2 - 5x + 4$

Графиком функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины: $x_v = -b / (2a) = -(-5) / (2 \cdot 1) = 2.5$.

Ордината вершины: $y_v = (2.5)^2 - 5(2.5) + 4 = 6.25 - 12.5 + 4 = -2.25$.

Вершина параболы находится в точке $(2.5; -2.25)$.

Составим таблицу значений функции:

1) Имеет ли функция наименьшее или наибольшее значение и чему оно равно? При каком x функция принимает это значение?

Так как ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение в вершине. Наименьшее значение функции $y_{min} = -2.25$ при $x = 2.5$.

2) Пересекает ли график функции прямую y = 10? y = -10?

Прямую $y=10$: Поскольку наименьшее значение функции равно $-2.25$ и ветви направлены вверх, то график пересекает прямую $y=10$. Решим уравнение $x^2 - 5x + 4 = 10$, или $x^2 - 5x - 6 = 0$. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4(1)(-6) = 25 + 24 = 49 > 0$, уравнение имеет два корня, значит, есть две точки пересечения.

Прямую $y=-10$: Поскольку наименьшее значение функции равно $-2.25$, график не может пересечь прямую $y=-10$, так как все его значения больше или равны $-2.25$.

Ответ: 1) Функция имеет наименьшее значение $y_{min} = -2.25$ при $x=2.5$. 2) График пересекает прямую $y=10$, но не пересекает прямую $y=-10$.

б) $y = -x^2 + 2x + 3$

Графиком функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины: $x_v = -b / (2a) = -2 / (2 \cdot (-1)) = 1$.

Ордината вершины: $y_v = -(1)^2 + 2(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$.

Вершина параболы находится в точке $(1; 4)$.

Составим таблицу значений функции:

1) Имеет ли функция наименьшее или наибольшее значение и чему оно равно? При каком x функция принимает это значение?

Так как ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее значение в вершине. Наибольшее значение функции $y_{max} = 4$ при $x = 1$.

2) Пересекает ли график функции прямую y = 10? y = -10?

Прямую $y=10$: Поскольку наибольшее значение функции равно $4$, график не может пересечь прямую $y=10$, так как все его значения меньше или равны $4$.

Прямую $y=-10$: Поскольку наибольшее значение функции равно $4$ и ветви направлены вниз, то график пересекает прямую $y=-10$. Решим уравнение $-x^2 + 2x + 3 = -10$, или $x^2 - 2x - 13 = 0$. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4(1)(-13) = 4 + 52 = 56 > 0$, уравнение имеет два корня, значит, есть две точки пересечения.

Ответ: 1) Функция имеет наибольшее значение $y_{max} = 4$ при $x=1$. 2) График не пересекает прямую $y=10$, но пересекает прямую $y=-10$.

в) $y = x^2 - 6x + 5$

Графиком функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины: $x_v = -b / (2a) = -(-6) / (2 \cdot 1) = 3$.

Ордината вершины: $y_v = (3)^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$.

Вершина параболы находится в точке $(3; -4)$.

Составим таблицу значений функции:

1) Имеет ли функция наименьшее или наибольшее значение и чему оно равно? При каком x функция принимает это значение?

Так как ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение в вершине. Наименьшее значение функции $y_{min} = -4$ при $x = 3$.

2) Пересекает ли график функции прямую y = 10? y = -10?

Прямую $y=10$: Поскольку наименьшее значение функции равно $-4$ и ветви направлены вверх, то график пересекает прямую $y=10$.

Прямую $y=-10$: Поскольку наименьшее значение функции равно $-4$, график не может пересечь прямую $y=-10$.

Ответ: 1) Функция имеет наименьшее значение $y_{min} = -4$ при $x=3$. 2) График пересекает прямую $y=10$, но не пересекает прямую $y=-10$.

г) $y = -0.5x^2 + 2x$

Графиком функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $-0.5 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины: $x_v = -b / (2a) = -2 / (2 \cdot (-0.5)) = 2$.

Ордината вершины: $y_v = -0.5(2)^2 + 2(2) = -0.5 \cdot 4 + 4 = -2 + 4 = 2$.

Вершина параболы находится в точке $(2; 2)$.

Составим таблицу значений функции:

1) Имеет ли функция наименьшее или наибольшее значение и чему оно равно? При каком x функция принимает это значение?

Так как ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее значение в вершине. Наибольшее значение функции $y_{max} = 2$ при $x = 2$.

2) Пересекает ли график функции прямую y = 10? y = -10?

Прямую $y=10$: Поскольку наибольшее значение функции равно $2$, график не может пересечь прямую $y=10$.

Прямую $y=-10$: Поскольку наибольшее значение функции равно $2$ и ветви направлены вниз, то график пересекает прямую $y=-10$.

Ответ: 1) Функция имеет наибольшее значение $y_{max} = 2$ при $x=2$. 2) График не пересекает прямую $y=10$, но пересекает прямую $y=-10$.

115 МАТЕМАТИКА ВОКРУГ НАС

С двухметровой высоты под углом к горизонту выпущена сигнальная ракета. Изменение высоты её полёта $h$ (м) в зависимости от времени движения $t$ (с) описывается формулой $h = 2 + 21t - 5t^2$. График функции $h = f(t)$ изображён на рисунке 2.7. Используя график, ответьте на вопросы:

1) В какое время ракета поднимется на высоту 20 м и в какое время она окажется на той же высоте при спуске?

2) На какой высоте ракета будет через 3,5 с полёта? Через сколько секунд после начала полёта ракета уже была на той же высоте?

3) Укажите наибольшую высоту подъёма ракеты. Сколько времени потребовалось ракете, чтобы подняться на максимальную высоту?

4) Как вы думаете, почему график не доведён до пересечения с осью $x$?

h, M

Рис. 2.7

t, c

1) В какое время ракета поднимется на высоту 20 м и в какое время она окажется на той же высоте при спуске?
Для ответа на этот вопрос можно использовать как график, так и формулу. Найдем точное значение с помощью формулы. Нам нужно найти время $t$, при котором высота $h$ равна 20 м.
Подставим $h = 20$ в заданную формулу $h = 2 + 21t - 5t^2$:
$20 = 2 + 21t - 5t^2$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$5t^2 - 21t + 20 - 2 = 0$
$5t^2 - 21t + 18 = 0$
Решим это уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):
$D = (-21)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 18 = 441 - 360 = 81$
Найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{21 - \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{21 - 9}{10} = \frac{12}{10} = 1.2$ с.
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{21 + \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{21 + 9}{10} = \frac{30}{10} = 3$ с.
Первое значение ($t=1.2$ с) соответствует моменту, когда ракета достигает высоты 20 м во время подъема. Второе значение ($t=3$ с) — когда ракета находится на той же высоте во время спуска. Это также хорошо видно на графике.
Ответ: Ракета поднимется на высоту 20 м через 1,2 секунды, а окажется на той же высоте при спуске через 3 секунды.

2) На какой высоте ракета будет через 3,5 с полёта? Через сколько секунд после начала полёта ракета уже была на той же высоте?
Сначала найдем высоту ракеты в момент времени $t = 3.5$ с, подставив это значение в формулу:
$h(3.5) = 2 + 21(3.5) - 5(3.5)^2 = 2 + 73.5 - 5(12.25) = 75.5 - 61.25 = 14.25$ м.
Теперь нам нужно найти второй момент времени, когда ракета была на этой же высоте ($h = 14.25$ м). График функции является параболой, симметричной относительно вертикальной оси, проходящей через ее вершину. Найдем время подъема на максимальную высоту (координата $t$ вершины параболы):
$t_{вершины} = \frac{-b}{2a} = \frac{-21}{2(-5)} = 2.1$ с.
Два момента времени $t_1$ и $t_2$, для которых высота одинакова, симметричны относительно $t_{вершины}$. Следовательно, их среднее арифметическое равно $t_{вершины}$:
$\frac{t_1 + t_2}{2} = t_{вершины}$
Мы знаем $t_2 = 3.5$ с и $t_{вершины} = 2.1$ с. Найдем $t_1$:
$\frac{t_1 + 3.5}{2} = 2.1$
$t_1 + 3.5 = 4.2$
$t_1 = 4.2 - 3.5 = 0.7$ с.
Ответ: Через 3,5 с ракета будет на высоте 14,25 м. На этой же высоте она уже была через 0,7 с после начала полёта.

3) Укажите наибольшую высоту подъёма ракеты. Сколько времени потребовалось ракете, чтобы подняться на максимальную высоту?
Наибольшая высота подъема соответствует вершине параболы. Время, необходимое для достижения этой высоты, мы уже нашли в предыдущем пункте:
$t_{вершины} = \frac{-b}{2a} = \frac{-21}{2(-5)} = 2.1$ с.
Чтобы найти наибольшую высоту, подставим это значение времени в формулу для высоты:
$h_{max} = h(2.1) = 2 + 21(2.1) - 5(2.1)^2 = 2 + 44.1 - 5(4.41) = 46.1 - 22.05 = 24.05$ м.
Эти значения также подтверждаются графиком: вершина параболы находится в точке с координатами примерно $(2.1, 24)$.
Ответ: Наибольшая высота подъёма ракеты составляет 24,05 м. Для этого ракете потребовалась 2,1 секунды.

4) Как вы думаете, почему график не доведён до пересечения с осью x?
Ось $x$ (в данном случае ось $t$) соответствует времени, а ось $y$ (ось $h$) — высоте. Пересечение графика с осью $x$ (осью времени) означало бы, что высота ракеты стала равна нулю ($h=0$), то есть ракета упала на землю.
Проблема описывает полёт сигнальной ракеты. Основное назначение такой ракеты — подать видимый сигнал на высоте. Её полёт как полезного объекта заканчивается задолго до падения на землю (например, она сгорает в воздухе или её заряд взрывается). Поэтому график обрывается, показывая только ту часть траектории, которая имеет физический смысл в контексте задачи. Модель полёта могла бы описать и падение, но для сигнальной ракеты это не является существенной частью её функционирования.
Ответ: График не доведён до пересечения с осью $x$, так как точка пересечения соответствует падению ракеты на землю ($h=0$), а жизненный цикл сигнальной ракеты (её горение или работа) обычно завершается в воздухе, до момента падения.