Страница 43 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Выберите из чисел 0,34; $-\frac{2}{3}$; $2\pi$; $-\sqrt{5}$; 12; $2 + \sqrt{3}$; $\frac{3}{7}$; -8:

а) целые числа;

б) иррациональные числа;

в) положительные рациональные числа;

г) отрицательные действительные числа.

Для выполнения задания проанализируем каждое число из предложенного списка: $0,34; -\frac{2}{3}; 2\pi; -\sqrt{5}; 12; 2 + \sqrt{3}; \frac{3}{7}; -8$.

а) целые числа;

Целые числа — это числа без дробной части (натуральные числа, им противоположные и ноль). Из данного списка к целым числам относятся $12$ и $-8$.

Ответ: $12; -8$.

б) иррациональные числа;

Иррациональные числа — это действительные числа, которые нельзя представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$. Как правило, это бесконечные непериодические десятичные дроби. К ним относятся числа, содержащие $\pi$ или корень из числа, не являющегося точным квадратом. В нашем списке это $2\pi$, $-\sqrt{5}$ и $2 + \sqrt{3}$.

Ответ: $2\pi; -\sqrt{5}; 2 + \sqrt{3}$.

в) положительные рациональные числа;

Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби (обыкновенной или конечной десятичной). Положительные рациональные числа — это рациональные числа, которые больше нуля. В данном списке это $0,34$ (так как $0,34 = \frac{34}{100}$), $12$ (так как $12 = \frac{12}{1}$) и $\frac{3}{7}$.

Ответ: $0,34; 12; \frac{3}{7}$.

г) отрицательные действительные числа.

Действительные числа включают в себя все рациональные и иррациональные числа. Отрицательные действительные числа — это все числа из списка, которые меньше нуля. Из заданного набора отрицательными являются: $-\frac{2}{3}$, $-\sqrt{5}$ и $-8$.

Ответ: $-\frac{2}{3}; -\sqrt{5}; -8$.

2 Сравните числа:

а) $1\frac{3}{7}$ и $1,429$

б) $6,2$ и $2\pi$

а) Для того чтобы сравнить смешанную дробь $1\frac{3}{7}$ и десятичную дробь $1,429$, приведем оба числа к одному виду. Удобнее всего перевести смешанную дробь в десятичную.

Сначала переведем правильную дробь $\frac{3}{7}$ в десятичную, выполнив деление числителя на знаменатель:

$3 \div 7 = 0,428571...$

Это бесконечная периодическая десятичная дробь. Теперь добавим целую часть:

$1\frac{3}{7} = 1 + \frac{3}{7} = 1 + 0,428571... = 1,428571...$

Теперь сравним полученное число с $1,429$. Будем сравнивать их поразрядно, слева направо.

Сравниваем $1,428571...$ и $1,429$.

Целые части равны: $1 = 1$.

Цифры в разряде десятых равны: $4 = 4$.

Цифры в разряде сотых равны: $2 = 2$.

Цифры в разряде тысячных различаются: $8$ у первого числа и $9$ у второго. Так как $8 < 9$, то и первое число меньше второго.

$1,428571... < 1,429$, следовательно, $1\frac{3}{7} < 1,429$.

Ответ: $1\frac{3}{7} < 1,429$.

б) Для сравнения чисел $6,2$ и $2\pi$ нужно использовать приближенное значение числа $\pi$.

Число $\pi$ (пи) — это математическая константа, иррациональное число, которое приблизительно равно $3,14159...$

Найдем приближенное значение выражения $2\pi$:

$2\pi = 2 \times \pi \approx 2 \times 3,14159... = 6,28318...$

Теперь сравним число $6,2$ с полученным значением $6,28318...$

Сравниваем $6,2$ и $6,28318...$ поразрядно.

Целые части равны: $6 = 6$.

Цифры в разряде десятых равны: $2 = 2$.

Цифра в разряде сотых у числа $6,2$ равна $0$ (поскольку $6,2 = 6,20$), а у числа $6,28318...$ она равна $8$.

Так как $0 < 8$, то $6,2 < 6,28318...$

Следовательно, $6,2 < 2\pi$.

Ответ: $6,2 < 2\pi$.

3 Расположите в порядке возрастания числа: $7/6$; $1.16$; $1.1601$.

Чтобы расположить числа в порядке возрастания, необходимо привести их к одному виду. Удобнее всего преобразовать все числа в десятичные дроби.

Даны числа: $\frac{7}{6}$, $1,16$ и $1,1601$.

Первым шагом преобразуем обыкновенную дробь $\frac{7}{6}$ в десятичную. Для этого разделим числитель на знаменатель: $7 \div 6 = 1,1666...$, что является периодической дробью $1,1(6)$.

Теперь сравним три числа в десятичном представлении: $1,16$; $1,1601$; $1,1666...$.

Сравнение десятичных дробей производится поразрядно слева направо.

1. Целые части у всех чисел одинаковы и равны 1.

2. Первые два знака после запятой (разряды десятых и сотых) также совпадают: $1,16...$.

3. Сравним третий знак после запятой (разряд тысячных). У числа $1,16$ (которое можно записать как $1,1600$) третья цифра — 0. У числа $1,1601$ третья цифра — 0. У числа $1,1666...$ третья цифра — 6. Так как $0 < 6$, число $1,1666...$ (то есть $\frac{7}{6}$) является самым большим из трех.

4. Теперь сравним оставшиеся два числа: $1,16$ и $1,1601$. Их первые три знака после запятой совпадают ($1,160$). Сравним четвертый знак (разряд десятитысячных). У числа $1,1600$ четвертая цифра — 0. У числа $1,1601$ четвертая цифра — 1. Так как $0 < 1$, то $1,16 < 1,1601$.

Таким образом, расположив числа от наименьшего к наибольшему, получаем следующий порядок: $1,16$, затем $1,1601$ и, наконец, $\frac{7}{6}$.

Ответ: $1,16$; $1,1601$; $\frac{7}{6}$.

4 Соотнесите числа $2\sqrt{5}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt{0,5}$ и 3,5 с точками координатной прямой.

Неравенства и системы неравенств

Уравнения/неравенства, у которых множества решений совпадают, называют равносильными.

Неравенство, равносильное данному, получается, если:

- перенести член неравенства из одной части в другую с противоположным знаком;

- умножить обе части неравенства на положительное число;

- умножить обе части неравенства на отрицательное число и поменять знак неравенства на противоположный.

1) Решим неравенство $2 - 5x < 7$.

$-5x < 7 - 2$;

$-5x < 5$;

$x > -1$.

2) Решим систему неравенств

$\begin{cases} 5 - x \ge 3, \\ 2x \le 6. \end{cases}$

$\begin{cases} -x \ge -2, \\ x \le 3; \end{cases}$

$\begin{cases} x \le 2, \\ x \le 3. \end{cases}$

Ответ: $(-\infty; 2]$.

Для того чтобы соотнести числа с точками на координатной прямой, необходимо сравнить их значения. Поскольку все предложенные числа ($2\sqrt{5}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt{0.5}$ и $3.5$) положительны, их можно сравнить, сравнивая их квадраты: чем больше квадрат числа, тем больше само число.

Найдем квадраты каждого из чисел:

• $(\sqrt{0.5})^2 = 0.5$
• $(\sqrt{7})^2 = 7$
• $3.5^2 = 12.25$
• $(2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$

Теперь расположим полученные квадраты в порядке возрастания:

$0.5 < 7 < 12.25 < 20$

Это означает, что и исходные числа в порядке возрастания располагаются следующим образом:

$\sqrt{0.5} < \sqrt{7} < 3.5 < 2\sqrt{5}$

На координатной прямой точки A, B, C, D также расположены в порядке возрастания их координат. Соотнесем числа с точками:

• A: Самая левая точка соответствует наименьшему числу, то есть $\sqrt{0.5}$. (Проверка: $0 < \sqrt{0.5} < 1$, что соответствует положению точки А).
• B: Следующая точка соответствует второму по величине числу, то есть $\sqrt{7}$. (Проверка: $2^2=4$ и $3^2=9$, значит $2 < \sqrt{7} < 3$, что соответствует положению точки B).
• C: Третья точка соответствует числу $3.5$. (Проверка: $3 < 3.5 < 4$, что соответствует положению точки C).
• D: Самая правая точка соответствует наибольшему числу, то есть $2\sqrt{5}$. (Проверка: $4^2=16$ и $5^2=25$, значит $4 < \sqrt{20} < 5$, что соответствует положению точки D).

Ответ: A - $\sqrt{0.5}$; B - $\sqrt{7}$; C - $3.5$; D - $2\sqrt{5}$.

5 Запишите с помощью букв и сформулируйте свойства неравенств.

Основные свойства числовых неравенств позволяют производить с ними различные преобразования. Ниже представлены ключевые свойства, записанные с помощью букв и в виде словесных формулировок. Для примера используется знак "больше" ($>$), но свойства справедливы и для других знаков неравенств ($<, \ge, \le$) с соответствующими оговорками.

Свойство 1

Это свойство утверждает, что прибавление или вычитание одного и того же числа из обеих частей неравенства не меняет его знак. Это позволяет переносить слагаемые из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, как и в уравнениях.

Ответ: С помощью букв: если $a > b$, то для любого числа $c$ верно, что $a + c > b + c$. Формулировка: если к обеим частям верного неравенства прибавить (или из них вычесть) одно и то же число, то получится верное неравенство.

Свойство 2

Это свойство позволяет умножать или делить обе части неравенства на одно и то же положительное число, сохраняя при этом знак неравенства.

Ответ: С помощью букв: если $a > b$ и $c > 0$, то $ac > bc$ и $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$. Формулировка: если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.

Свойство 3

При умножении или делении неравенства на отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный. Это одно из самых важных отличий в преобразовании неравенств по сравнению с уравнениями.

Ответ: С помощью букв: если $a > b$ и $c < 0$, то $ac < bc$ и $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$. Формулировка: если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и при этом изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.

Свойство 4 (Транзитивность)

Это свойство позволяет сравнивать числа или выражения, связанные цепочкой неравенств.

Ответ: С помощью букв: если $a > b$ и $b > c$, то $a > c$. Формулировка: если одно число больше второго, а второе число больше третьего, то первое число больше третьего.

Свойство 5 (Почленное сложение неравенств)

Неравенства, имеющие одинаковый знак, можно складывать друг с другом. Левая часть складывается с левой, правая — с правой.

Ответ: С помощью букв: если $a > b$ и $c > d$, то $a + c > b + d$. Формулировка: при почленном сложении верных неравенств одного знака получается верное неравенство того же знака.

Свойство 6 (Почленное умножение неравенств)

Неравенства одного знака можно перемножать, но только при условии, что все их части являются положительными числами.

Ответ: С помощью букв: если $a > b > 0$ и $c > d > 0$, то $ac > bd$. Формулировка: при почленном перемножении верных неравенств одного знака, у которых все части положительны, получается верное неравенство того же знака.

6 О числах $a$ и $c$ известно, что $a < c$. Какие из следующих неравенств не следуют из этого условия?

1) $a - 0,7 < c - 0,7$;

2) $-10a < -10c$;

3) $\frac{1}{3}a < \frac{1}{3}c$;

4) $2a + 1 < 2c + 1$;

5) $1 - a < 1 - c$.

Для решения задачи проанализируем каждое неравенство, используя основное свойство неравенств, заданное условием $a < c$.

1) $a - 0.7 < c - 0.7$

Начнем с исходного неравенства $a < c$. Согласно свойству числовых неравенств, если из обеих частей верного неравенства вычесть одно и то же число, то знак неравенства не изменится. Вычтем из обеих частей число 0,7:

$a - 0.7 < c - 0.7$

Полученное неравенство полностью совпадает с предложенным в пункте 1. Следовательно, это неравенство является верным следствием из условия $a < c$.

Ответ: следует.

2) $-10a < -10c$

Начнем с исходного неравенства $a < c$. По свойству числовых неравенств, если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства необходимо изменить на противоположный. Умножим обе части на -10. Так как $-10$ является отрицательным числом, знак «<» меняется на «>»:

$a \cdot (-10) > c \cdot (-10)$

$-10a > -10c$

Предложенное в пункте 2 неравенство $-10a < -10c$ имеет противоположный знак, следовательно, оно неверно и не следует из начального условия.

Ответ: не следует.

3) $\frac{1}{3}a < \frac{1}{3}c$

Начнем с исходного неравенства $a < c$. Согласно свойству числовых неравенств, если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Умножим обе части на положительное число $\frac{1}{3}$:

$a \cdot \frac{1}{3} < c \cdot \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3}a < \frac{1}{3}c$

Полученное неравенство совпадает с предложенным в пункте 3. Таким образом, это неравенство следует из начального условия.

Ответ: следует.

4) $2a + 1 < 2c + 1$

Начнем с исходного неравенства $a < c$. Выполним преобразования в два шага. Сначала умножим обе части на положительное число 2. Знак неравенства при этом не изменится:

$2a < 2c$

Теперь прибавим к обеим частям полученного неравенства число 1. Знак неравенства также не изменится:

$2a + 1 < 2c + 1$

Полученное неравенство совпадает с предложенным в пункте 4. Следовательно, оно следует из начального условия.

Ответ: следует.

5) $1 - a < 1 - c$

Начнем с исходного неравенства $a < c$. Сначала умножим обе части на -1. Так как мы умножаем на отрицательное число, знак неравенства изменится на противоположный:

$-a > -c$

Теперь прибавим к обеим частям число 1. Знак неравенства при этом не изменится:

$1 - a > 1 - c$

Предложенное в пункте 5 неравенство $1 - a < 1 - c$ имеет противоположный знак, следовательно, оно неверно и не следует из начального условия.

Ответ: не следует.