Номер 115, страница 50 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.1 Квадратичная функция и её график. Глава 2. Квадратичная функция - номер 115, страница 50.

115 МАТЕМАТИКА ВОКРУГ НАС

С двухметровой высоты под углом к горизонту выпущена сигнальная ракета. Изменение высоты её полёта $h$ (м) в зависимости от времени движения $t$ (с) описывается формулой $h = 2 + 21t - 5t^2$. График функции $h = f(t)$ изображён на рисунке 2.7. Используя график, ответьте на вопросы:

1) В какое время ракета поднимется на высоту 20 м и в какое время она окажется на той же высоте при спуске?

2) На какой высоте ракета будет через 3,5 с полёта? Через сколько секунд после начала полёта ракета уже была на той же высоте?

3) Укажите наибольшую высоту подъёма ракеты. Сколько времени потребовалось ракете, чтобы подняться на максимальную высоту?

4) Как вы думаете, почему график не доведён до пересечения с осью $x$?

h, M

Рис. 2.7

t, c

1) В какое время ракета поднимется на высоту 20 м и в какое время она окажется на той же высоте при спуске?
Для ответа на этот вопрос можно использовать как график, так и формулу. Найдем точное значение с помощью формулы. Нам нужно найти время $t$, при котором высота $h$ равна 20 м.
Подставим $h = 20$ в заданную формулу $h = 2 + 21t - 5t^2$:
$20 = 2 + 21t - 5t^2$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$5t^2 - 21t + 20 - 2 = 0$
$5t^2 - 21t + 18 = 0$
Решим это уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):
$D = (-21)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 18 = 441 - 360 = 81$
Найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{21 - \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{21 - 9}{10} = \frac{12}{10} = 1.2$ с.
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{21 + \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{21 + 9}{10} = \frac{30}{10} = 3$ с.
Первое значение ($t=1.2$ с) соответствует моменту, когда ракета достигает высоты 20 м во время подъема. Второе значение ($t=3$ с) — когда ракета находится на той же высоте во время спуска. Это также хорошо видно на графике.
Ответ: Ракета поднимется на высоту 20 м через 1,2 секунды, а окажется на той же высоте при спуске через 3 секунды.

2) На какой высоте ракета будет через 3,5 с полёта? Через сколько секунд после начала полёта ракета уже была на той же высоте?
Сначала найдем высоту ракеты в момент времени $t = 3.5$ с, подставив это значение в формулу:
$h(3.5) = 2 + 21(3.5) - 5(3.5)^2 = 2 + 73.5 - 5(12.25) = 75.5 - 61.25 = 14.25$ м.
Теперь нам нужно найти второй момент времени, когда ракета была на этой же высоте ($h = 14.25$ м). График функции является параболой, симметричной относительно вертикальной оси, проходящей через ее вершину. Найдем время подъема на максимальную высоту (координата $t$ вершины параболы):
$t_{вершины} = \frac{-b}{2a} = \frac{-21}{2(-5)} = 2.1$ с.
Два момента времени $t_1$ и $t_2$, для которых высота одинакова, симметричны относительно $t_{вершины}$. Следовательно, их среднее арифметическое равно $t_{вершины}$:
$\frac{t_1 + t_2}{2} = t_{вершины}$
Мы знаем $t_2 = 3.5$ с и $t_{вершины} = 2.1$ с. Найдем $t_1$:
$\frac{t_1 + 3.5}{2} = 2.1$
$t_1 + 3.5 = 4.2$
$t_1 = 4.2 - 3.5 = 0.7$ с.
Ответ: Через 3,5 с ракета будет на высоте 14,25 м. На этой же высоте она уже была через 0,7 с после начала полёта.

3) Укажите наибольшую высоту подъёма ракеты. Сколько времени потребовалось ракете, чтобы подняться на максимальную высоту?
Наибольшая высота подъема соответствует вершине параболы. Время, необходимое для достижения этой высоты, мы уже нашли в предыдущем пункте:
$t_{вершины} = \frac{-b}{2a} = \frac{-21}{2(-5)} = 2.1$ с.
Чтобы найти наибольшую высоту, подставим это значение времени в формулу для высоты:
$h_{max} = h(2.1) = 2 + 21(2.1) - 5(2.1)^2 = 2 + 44.1 - 5(4.41) = 46.1 - 22.05 = 24.05$ м.
Эти значения также подтверждаются графиком: вершина параболы находится в точке с координатами примерно $(2.1, 24)$.
Ответ: Наибольшая высота подъёма ракеты составляет 24,05 м. Для этого ракете потребовалась 2,1 секунды.

4) Как вы думаете, почему график не доведён до пересечения с осью x?
Ось $x$ (в данном случае ось $t$) соответствует времени, а ось $y$ (ось $h$) — высоте. Пересечение графика с осью $x$ (осью времени) означало бы, что высота ракеты стала равна нулю ($h=0$), то есть ракета упала на землю.
Проблема описывает полёт сигнальной ракеты. Основное назначение такой ракеты — подать видимый сигнал на высоте. Её полёт как полезного объекта заканчивается задолго до падения на землю (например, она сгорает в воздухе или её заряд взрывается). Поэтому график обрывается, показывая только ту часть траектории, которая имеет физический смысл в контексте задачи. Модель полёта могла бы описать и падение, но для сигнальной ракеты это не является существенной частью её функционирования.
Ответ: График не доведён до пересечения с осью $x$, так как точка пересечения соответствует падению ракеты на землю ($h=0$), а жизненный цикл сигнальной ракеты (её горение или работа) обычно завершается в воздухе, до момента падения.