Номер 114, страница 50 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.1 Квадратичная функция и её график. Глава 2. Квадратичная функция - номер 114, страница 50.

114 Составьте таблицу значений функции и постройте график (проследите за тем, чтобы на графике была вершина и было видно направление ветвей):

а) $y = x^2 - 5x + 4;$

б) $y = -x^2 + 2x + 3;$

в) $y = x^2 - 6x + 5;$

г) $y = -0,5x^2 + 2x.$

В каждом случае ответьте на вопросы:

1) Имеет ли функция наименьшее или наибольшее значение и чему оно равно? При каком $x$ функция принимает это значение?

2) Пересекает ли график функции прямую $y = 10$? $y = -10$?

а) $y = x^2 - 5x + 4$

Графиком функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины: $x_v = -b / (2a) = -(-5) / (2 \cdot 1) = 2.5$.

Ордината вершины: $y_v = (2.5)^2 - 5(2.5) + 4 = 6.25 - 12.5 + 4 = -2.25$.

Вершина параболы находится в точке $(2.5; -2.25)$.

Составим таблицу значений функции:

$x$	0	1	2	2.5	3	4	5
$y$	4	0	-2	-2.25	-2	0	4

1) Имеет ли функция наименьшее или наибольшее значение и чему оно равно? При каком x функция принимает это значение?

Так как ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение в вершине. Наименьшее значение функции $y_{min} = -2.25$ при $x = 2.5$.

2) Пересекает ли график функции прямую y = 10? y = -10?

Прямую $y=10$: Поскольку наименьшее значение функции равно $-2.25$ и ветви направлены вверх, то график пересекает прямую $y=10$. Решим уравнение $x^2 - 5x + 4 = 10$, или $x^2 - 5x - 6 = 0$. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4(1)(-6) = 25 + 24 = 49 > 0$, уравнение имеет два корня, значит, есть две точки пересечения.

Прямую $y=-10$: Поскольку наименьшее значение функции равно $-2.25$, график не может пересечь прямую $y=-10$, так как все его значения больше или равны $-2.25$.

Ответ: 1) Функция имеет наименьшее значение $y_{min} = -2.25$ при $x=2.5$. 2) График пересекает прямую $y=10$, но не пересекает прямую $y=-10$.

---

б) $y = -x^2 + 2x + 3$

Графиком функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины: $x_v = -b / (2a) = -2 / (2 \cdot (-1)) = 1$.

Ордината вершины: $y_v = -(1)^2 + 2(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$.

Вершина параболы находится в точке $(1; 4)$.

Составим таблицу значений функции:

$x$	-1	0	1	2	3
$y$	0	3	4	3	0

1) Имеет ли функция наименьшее или наибольшее значение и чему оно равно? При каком x функция принимает это значение?

Так как ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее значение в вершине. Наибольшее значение функции $y_{max} = 4$ при $x = 1$.

2) Пересекает ли график функции прямую y = 10? y = -10?

Прямую $y=10$: Поскольку наибольшее значение функции равно $4$, график не может пересечь прямую $y=10$, так как все его значения меньше или равны $4$.

Прямую $y=-10$: Поскольку наибольшее значение функции равно $4$ и ветви направлены вниз, то график пересекает прямую $y=-10$. Решим уравнение $-x^2 + 2x + 3 = -10$, или $x^2 - 2x - 13 = 0$. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4(1)(-13) = 4 + 52 = 56 > 0$, уравнение имеет два корня, значит, есть две точки пересечения.

Ответ: 1) Функция имеет наибольшее значение $y_{max} = 4$ при $x=1$. 2) График не пересекает прямую $y=10$, но пересекает прямую $y=-10$.

---

в) $y = x^2 - 6x + 5$

Графиком функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины: $x_v = -b / (2a) = -(-6) / (2 \cdot 1) = 3$.

Ордината вершины: $y_v = (3)^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$.

Вершина параболы находится в точке $(3; -4)$.

Составим таблицу значений функции:

$x$	1	2	3	4	5
$y$	0	-3	-4	-3	0

1) Имеет ли функция наименьшее или наибольшее значение и чему оно равно? При каком x функция принимает это значение?

Так как ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение в вершине. Наименьшее значение функции $y_{min} = -4$ при $x = 3$.

2) Пересекает ли график функции прямую y = 10? y = -10?

Прямую $y=10$: Поскольку наименьшее значение функции равно $-4$ и ветви направлены вверх, то график пересекает прямую $y=10$.

Прямую $y=-10$: Поскольку наименьшее значение функции равно $-4$, график не может пересечь прямую $y=-10$.

Ответ: 1) Функция имеет наименьшее значение $y_{min} = -4$ при $x=3$. 2) График пересекает прямую $y=10$, но не пересекает прямую $y=-10$.

---

г) $y = -0.5x^2 + 2x$

Графиком функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $-0.5 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины: $x_v = -b / (2a) = -2 / (2 \cdot (-0.5)) = 2$.

Ордината вершины: $y_v = -0.5(2)^2 + 2(2) = -0.5 \cdot 4 + 4 = -2 + 4 = 2$.

Вершина параболы находится в точке $(2; 2)$.

Составим таблицу значений функции:

$x$	0	1	2	3	4
$y$	0	1.5	2	1.5	0

1) Имеет ли функция наименьшее или наибольшее значение и чему оно равно? При каком x функция принимает это значение?

Так как ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее значение в вершине. Наибольшее значение функции $y_{max} = 2$ при $x = 2$.

2) Пересекает ли график функции прямую y = 10? y = -10?

Прямую $y=10$: Поскольку наибольшее значение функции равно $2$, график не может пересечь прямую $y=10$.

Прямую $y=-10$: Поскольку наибольшее значение функции равно $2$ и ветви направлены вниз, то график пересекает прямую $y=-10$.

Ответ: 1) Функция имеет наибольшее значение $y_{max} = 2$ при $x=2$. 2) График не пересекает прямую $y=10$, но пересекает прямую $y=-10$.