Номер 11, страница 44 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Подведём итоги. Глава 1. Неравенства - номер 11, страница 44.

11 Докажите, что для любых чисел x и y верно неравенство $x(x + y) \ge y(x - y)$.

Для доказательства верности неравенства для любых чисел $x$ и $y$ выполним равносильные преобразования.

Рассмотрим исходное неравенство:

$x(x + y) \ge y(x - y)$

Раскроем скобки в левой и правой частях:

$x \cdot x + x \cdot y \ge y \cdot x - y \cdot y$

$x^2 + xy \ge yx - y^2$

Перенесем все слагаемые из правой части в левую с противоположными знаками:

$x^2 + xy - yx + y^2 \ge 0$

Поскольку умножение коммутативно ($xy = yx$), то слагаемые $xy$ и $-yx$ взаимно уничтожаются:

$x^2 + y^2 \ge 0$

Мы получили неравенство $x^2 + y^2 \ge 0$. Это неравенство является верным для любых действительных чисел $x$ и $y$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел также всегда неотрицательна.

Так как все преобразования были равносильными (не меняли знак неравенства и не сужали область определения), то и исходное неравенство $x(x + y) \ge y(x - y)$ верно для любых чисел $x$ и $y$.

Ответ: Доказано.