Номер 121, страница 51 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.1 Квадратичная функция и её график. Глава 2. Квадратичная функция - номер 121, страница 51.

121 Найдите на рисунке 2.2 график функции $y = g(x)$, где $g(x) = -2x^2 + 8x - 6$.

1) Верно ли, что $g(2) > 0$, $g(-1) < 0$, $g(3,5) > 0$?

2) Укажите несколько значений $x$, при которых $g(x) > 0$, $g(x) < 0$.

Рис. 2.2

y = $\frac{1}{4}x^2 + 2x + 4$

y = $\frac{1}{2}x^2 + 3$

y = $-\frac{1}{3}x^2 - 4x - 15$

y = $-2x^2 + 8x - 6$

Сначала найдем на рисунке 2.2 график функции $y = g(x)$, где $g(x) = -2x^2 + 8x - 6$.

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-2$, он отрицательный, значит, ветви параболы направлены вниз. Этому условию соответствуют графики 3 и 4.

Найдем координаты вершины параболы $g(x) = -2x^2 + 8x - 6$.

Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2$.

Ордината вершины: $y_0 = g(2) = -2(2)^2 + 8(2) - 6 = -2 \cdot 4 + 16 - 6 = -8 + 16 - 6 = 2$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2; 2)$.

На рисунке 2.2 видно, что только у параболы под номером 4 вершина находится в точке $(2; 2)$. Следовательно, график функции $y = g(x)$ — это график под номером 4.

1) Верно ли, что g(2) > 0, g(-1) < 0, g(3.5) > 0?

Проверим каждое из неравенств, используя функцию $g(x) = -2x^2 + 8x - 6$ или ее график (график 4).

• Проверим $g(2) > 0$.
  Мы уже вычислили, что $g(2) = 2$. Так как $2 > 0$, это неравенство верно.
• Проверим $g(-1) < 0$.
  Вычислим значение функции: $g(-1) = -2(-1)^2 + 8(-1) - 6 = -2 \cdot 1 - 8 - 6 = -2 - 8 - 6 = -16$. Так как $-16 < 0$, это неравенство верно.
• Проверим $g(3.5) > 0$.
  Вычислим значение функции: $g(3.5) = -2(3.5)^2 + 8(3.5) - 6 = -2(12.25) + 28 - 6 = -24.5 + 28 - 6 = -2.5$. Так как $-2.5 < 0$, неравенство $g(3.5) > 0$ неверно.

Поскольку одно из утверждений ложно, все высказывание в целом является неверным.

Ответ: нет, неверно.

2) Укажите несколько значений x, при которых g(x) > 0, g(x) < 0.

Чтобы определить, при каких значениях $x$ функция положительна или отрицательна, найдем ее нули (точки пересечения с осью $Ox$).

$g(x) = 0 \implies -2x^2 + 8x - 6 = 0$.

Разделим уравнение на $-2$ для упрощения:

$x^2 - 4x + 3 = 0$.

По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.

Это точки, в которых парабола пересекает ось $x$. Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция $g(x)$ положительна между корнями и отрицательна за их пределами.

• $g(x) > 0$
  Функция положительна, когда ее график находится выше оси $x$. Это происходит на интервале между корнями: $1 < x < 3$.
  Несколько значений $x$ из этого интервала: $x = 1.5$, $x = 2$, $x = 2.9$.
• $g(x) < 0$
  Функция отрицательна, когда ее график находится ниже оси $x$. Это происходит при $x < 1$ и при $x > 3$. То есть на объединении интервалов $(-\infty; 1) \cup (3; \infty)$.
  Несколько значений $x$ из этих интервалов: $x = 0$, $x = -5$, $x = 4$, $x = 10$.

Ответ: $g(x) > 0$ при $x \in (1; 3)$, например, при $x = 1.5, x=2, x=2.5$. $g(x) < 0$ при $x \in (-\infty; 1) \cup (3; \infty)$, например, при $x=0, x=-1, x=4$.