Страница 51 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

116 Если известны две симметричные точки параболы, то легко найти её ось симметрии, а значит, и абсциссу вершины. На этом может быть основан алгоритм построения графика квадратичной функции.

Постройте график функции $y = x^2 - x - 6$, пользуясь следующим планом:

1) вычислите координаты точек пересечения параболы с осью $x$ и отметьте эти точки в координатной плоскости;

2) проведите ось симметрии параболы;

3) найдите абсциссу вершины и вычислите ординату вершины параболы;

4) отметьте вершину в координатной плоскости;

5) вычислите координаты ещё каких-нибудь точек параболы и отметьте их в координатной плоскости;

6) соедините точки плавной линией.

Для построения графика функции $y = x^2 - x - 6$ выполним следующие шаги:

1) вычислите координаты точек пересечения параболы с осью x и отметьте эти точки в координатной плоскости;

Чтобы найти точки пересечения с осью абсцисс (осью x), приравняем $y$ к нулю и решим полученное квадратное уравнение:
$x^2 - x - 6 = 0$
Для решения используем формулу корней квадратного уравнения $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, где $a=1$, $b=-1$, $c=-6$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$
$\sqrt{D} = 5$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-1) + 5}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-(-1) - 5}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = -2$
Таким образом, парабола пересекает ось x в точках с координатами $(-2, 0)$ и $(3, 0)$. Эти точки нужно отметить на координатной плоскости.
Ответ: Точки пересечения с осью x: $(-2, 0)$ и $(3, 0)$.

2) проведите ось симметрии параболы;

Ось симметрии параболы проходит ровно посередине между точками пересечения с осью x. Абсцисса оси симметрии равна среднему арифметическому абсцисс этих точек:
$x = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{3 + (-2)}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$
Ось симметрии — это вертикальная прямая.
Ответ: Уравнение оси симметрии: $x = 0.5$.

3) найдите абсциссу вершины и вычислите ординату вершины параболы;

Абсцисса вершины параболы $x_в$ совпадает с осью симметрии. Её можно найти по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$:
$x_в = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2} = 0.5$
Чтобы найти ординату вершины $y_в$, подставим значение $x_в$ в уравнение функции:
$y_в = (0.5)^2 - 0.5 - 6 = 0.25 - 0.5 - 6 = -6.25$
Координаты вершины параболы: $(0.5, -6.25)$.
Ответ: Координаты вершины: $(0.5, -6.25)$.

4) отметьте вершину в координатной плоскости;

Отмечаем на координатной плоскости точку с координатами, найденными в предыдущем пункте.
Ответ: Отмечена точка $(0.5, -6.25)$.

5) вычислите координаты ещё каких-нибудь точек параболы и отметьте их в координатной плоскости;

Для более точного построения графика найдем еще несколько точек. Удобно найти точку пересечения с осью y (осью ординат), для этого подставим $x=0$:
$y(0) = 0^2 - 0 - 6 = -6$. Точка пересечения с осью y: $(0, -6)$.
Найдем точку, симметричную точке $(0, -6)$ относительно оси симметрии $x=0.5$. Ее абсцисса будет $x = 0.5 + (0.5 - 0) = 1$. Ордината та же. Получаем точку $(1, -6)$.
Проверка: $y(1) = 1^2 - 1 - 6 = 1 - 1 - 6 = -6$. Верно.
Возьмем еще одно значение, например, $x = -1$:
$y(-1) = (-1)^2 - (-1) - 6 = 1 + 1 - 6 = -4$. Получаем точку $(-1, -4)$.
Симметричная ей точка относительно оси $x=0.5$ будет иметь абсциссу $x = 0.5 + (0.5 - (-1)) = 2$. Получаем точку $(2, -4)$.
Проверка: $y(2) = 2^2 - 2 - 6 = 4 - 2 - 6 = -4$. Верно.
Ответ: Дополнительные точки для построения: $(0, -6)$, $(1, -6)$, $(-1, -4)$, $(2, -4)$.

6) соедините точки плавной линией.

Последовательно соединяем все отмеченные точки: $(-2, 0)$, $(-1, -4)$, $(0, -6)$, вершину $(0.5, -6.25)$, $(1, -6)$, $(2, -4)$, $(3, 0)$ плавной кривой линией. Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$).
Ответ: Построен график функции $y = x^2 - x - 6$.

117 Постройте график функции, воспользовавшись планом, предложенным в пре-дыдущем упражнении:

а) $y = 2x^2 - 2x - 12;$

б) $y = -2x^2 + 6x.$

а) Построим график функции $y = 2x^2 - 2x - 12$.

Это квадратичная функция, её график — парабола. Для построения воспользуемся стандартным планом исследования функции.

1. Определение направления ветвей параболы.
   Коэффициент при $x^2$ равен $a = 2$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Нахождение координат вершины параболы.
   Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.
   $x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5$.
   Ордината вершины $y_v$ находится подстановкой $x_v$ в уравнение функции:
   $y_v = 2(0.5)^2 - 2(0.5) - 12 = 2 \cdot 0.25 - 1 - 12 = 0.5 - 13 = -12.5$.
   Координаты вершины: $(0.5, -12.5)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = 0.5$.

3. Нахождение точек пересечения с осями координат.
   С осью OY: для этого нужно подставить $x = 0$.
   $y(0) = 2 \cdot 0^2 - 2 \cdot 0 - 12 = -12$.
   Точка пересечения с осью OY: $(0, -12)$.
   С осью OX: для этого нужно решить уравнение $y = 0$.
   $2x^2 - 2x - 12 = 0$.
   Разделим уравнение на 2 для упрощения: $x^2 - x - 6 = 0$.
   Используя формулу для корней квадратного уравнения или по теореме Виета, находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.
   Точки пересечения с осью OX: $(-2, 0)$ и $(3, 0)$.

4. Нахождение дополнительных точек для точности построения.
   Мы уже имеем следующие ключевые точки: вершина $(0.5, -12.5)$ и точки пересечения с осями $(-2, 0)$, $(3, 0)$, $(0, -12)$.
   Найдем точку, симметричную точке $(0, -12)$ относительно оси симметрии $x=0.5$. Ее абсцисса будет $x = 0.5 + (0.5 - 0) = 1$. Ордината та же: $y = -12$. Получаем точку $(1, -12)$.
   Проверка: $y(1) = 2(1)^2 - 2(1) - 12 = 2 - 2 - 12 = -12$. Верно.
   Для большей точности можно найти еще пару симметричных точек, например, при $x=2$ и $x=-1$.
   $y(2) = 2(2)^2 - 2(2) - 12 = 8 - 4 - 12 = -8$. Точка $(2, -8)$.
   $y(-1) = 2(-1)^2 - 2(-1) - 12 = 2 + 2 - 12 = -8$. Точка $(-1, -8)$.

5. Построение графика.
   Отмечаем на координатной плоскости найденные точки: $(-2, 0)$, $(-1, -8)$, $(0, -12)$, вершину $(0.5, -12.5)$, $(1, -12)$, $(2, -8)$ и $(3, 0)$. Соединяем их плавной кривой.

Ответ: График функции $y = 2x^2 - 2x - 12$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0.5, -12.5)$. График пересекает ось ординат в точке $(0, -12)$ и ось абсцисс в точках $(-2, 0)$ и $(3, 0)$.

б) Построим график функции $y = -2x^2 + 6x$.

Это также квадратичная функция, её график — парабола. Действуем по тому же плану.

1. Определение направления ветвей параболы.
   Коэффициент при $x^2$ равен $a = -2$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Нахождение координат вершины параболы.
   Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-2)} = -\frac{6}{-4} = 1.5$.
   Ордината вершины: $y_v = -2(1.5)^2 + 6(1.5) = -2 \cdot 2.25 + 9 = -4.5 + 9 = 4.5$.
   Координаты вершины: $(1.5, 4.5)$. Ось симметрии — прямая $x = 1.5$.

3. Нахождение точек пересечения с осями координат.
   С осью OY: подставляем $x = 0$.
   $y(0) = -2 \cdot 0^2 + 6 \cdot 0 = 0$.
   Точка пересечения с осью OY: $(0, 0)$ (начало координат).
   С осью OX: решаем уравнение $y = 0$.
   $-2x^2 + 6x = 0$.
   Вынесем общий множитель $-2x$ за скобки: $-2x(x - 3) = 0$.
   Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.
   Точки пересечения с осью OX: $(0, 0)$ и $(3, 0)$.

4. Нахождение дополнительных точек.
   Основные точки: вершина $(1.5, 4.5)$, точки пересечения с осями $(0, 0)$ и $(3, 0)$.
   Найдем пару симметричных точек, например, при $x=1$ и $x=2$.
   $y(1) = -2(1)^2 + 6(1) = -2 + 6 = 4$. Точка $(1, 4)$.
   $y(2) = -2(2)^2 + 6(2) = -8 + 12 = 4$. Точка $(2, 4)$.
   Эти точки симметричны относительно оси $x=1.5$.

5. Построение графика.
   Отмечаем на координатной плоскости найденные точки: $(0, 0)$, $(1, 4)$, вершину $(1.5, 4.5)$, $(2, 4)$ и $(3, 0)$. Соединяем их плавной кривой.

Ответ: График функции $y = -2x^2 + 6x$ — это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(1.5, 4.5)$. График проходит через начало координат $(0, 0)$ и пересекает ось абсцисс также в точке $(3, 0)$.

118 Постройте график функции: а) $y = x^2 + 4x + 7$; б) $y = -2x^2 + 4x - 4$.

При построении воспользуйтесь следующим планом:

1) найдите пару симметричных точек параболы, взяв, например, в качестве одной из них точку пересечения с осью $y$;

2) далее действуйте по плану, приведённому в упр. 116, начиная с пункта 2. Как вы думаете, почему в данном случае пункт 1 был заменён? Предложите ещё какой-нибудь способ нахождения координат симметричных точек параболы.

а) Построим график функции $y = x^2 + 4x + 7$.

1. Найдем пару симметричных точек параболы. Для этого сначала найдем точку пересечения графика с осью $y$. Это происходит при $x = 0$.
$y(0) = 0^2 + 4 \cdot 0 + 7 = 7$.
Таким образом, одна из точек — $(0, 7)$.

Все точки параболы симметричны относительно ее оси. Уравнение оси симметрии параболы $y = ax^2 + bx + c$ имеет вид $x = x_0 = -\frac{b}{2a}$.
В нашем случае $a=1, b=4$. Ось симметрии: $x = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.

Точка, симметричная точке $(0, 7)$ относительно прямой $x = -2$, будет иметь ту же ординату $y=7$. Ее абсциссу $x_s$ найдем из условия, что $x=-2$ является серединой отрезка между $x=0$ и $x=x_s$:
$-2 = \frac{0 + x_s}{2} \implies x_s = -4$.
Значит, вторая симметричная точка — $(-4, 7)$.
Проверим: $y(-4) = (-4)^2 + 4(-4) + 7 = 16 - 16 + 7 = 7$. Верно.
Итак, мы нашли пару симметричных точек: $(0, 7)$ и $(-4, 7)$.

2. Далее действуем по плану, начиная с пункта 2 (предполагая, что он заключается в нахождении вершины).
Абсцисса вершины параболы совпадает с осью симметрии: $x_0 = -2$.
Найдем ординату вершины, подставив $x_0 = -2$ в уравнение функции:
$y_0 = (-2)^2 + 4(-2) + 7 = 4 - 8 + 7 = 3$.
Координаты вершины параболы — $(-2, 3)$.

Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Для построения графика мы имеем три ключевые точки: вершину $(-2, 3)$ и две симметричные точки $(0, 7)$ и $(-4, 7)$. Соединив их плавной линией, получим искомый график.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(-2, 3)$, ветви которой направлены вверх. Парабола проходит через точки $(0, 7)$ и $(-4, 7)$.

б) Построим график функции $y = -2x^2 + 4x - 4$.

1. Найдем точку пересечения с осью $y$, подставив $x=0$:
$y(0) = -2 \cdot 0^2 + 4 \cdot 0 - 4 = -4$.
Одна из точек — $(0, -4)$.

Найдем ось симметрии. Здесь $a = -2, b = 4$.
$x = x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-2)} = -\frac{4}{-4} = 1$.
Ось симметрии — прямая $x=1$.

Найдем точку, симметричную точке $(0, -4)$ относительно прямой $x=1$. Ордината будет той же, $y=-4$. Абсциссу $x_s$ найдем из условия:
$1 = \frac{0 + x_s}{2} \implies x_s = 2$.
Вторая симметричная точка — $(2, -4)$.
Проверим: $y(2) = -2 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 - 4 = -2 \cdot 4 + 8 - 4 = -8 + 8 - 4 = -4$. Верно.
Пара симметричных точек: $(0, -4)$ и $(2, -4)$.

2. Найдем координаты вершины параболы.
Абсцисса вершины: $x_0 = 1$.
Ордината вершины: $y_0 = -2 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 - 4 = -2 + 4 - 4 = -2$.
Координаты вершины — $(1, -2)$.

Коэффициент при $x^2$ равен $a = -2 < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз.

Для построения графика мы имеем вершину $(1, -2)$ и две симметричные точки $(0, -4)$ и $(2, -4)$.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(1, -2)$, ветви которой направлены вниз. Парабола проходит через точки $(0, -4)$ и $(2, -4)$.

Как вы думаете, почему в данном случае пункт 1 был заменён?

Стандартный план построения параболы часто включает в себя нахождение точек пересечения с осью абсцисс (осью $x$), то есть нахождение корней уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Эти точки, если они существуют, симметричны относительно оси параболы, и их удобно использовать для нахождения вершины. Однако, этот шаг выполним только в том случае, если у квадратного уравнения есть действительные корни. Проверим это для данных функций с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.
Для $y = x^2 + 4x + 7$: $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = -12$. Так как $D < 0$, у уравнения нет действительных корней, и парабола не пересекает ось $x$.
Для $y = -2x^2 + 4x - 4$: $D = 4^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-4) = 16 - 32 = -16$. Так как $D < 0$, эта парабола также не пересекает ось $x$.
Таким образом, пункт 1 (предположительно, нахождение точек пересечения с осью $x$) был заменён, потому что для данных функций он невыполним. Предложенный метод (использование точки пересечения с осью $y$ и симметричной ей точки) является универсальным и работает для любой параболы, независимо от наличия у нее точек пересечения с осью абсцисс.

Предложите ещё какой-нибудь способ нахождения координат симметричных точек параболы.

Другой способ нахождения симметричных точек заключается в следующем:
1. Найти ось симметрии параболы $x = x_0$.
2. Выбрать произвольное расстояние $d$ от оси симметрии (где $d \neq 0$).
3. Рассмотреть две точки с абсциссами, равноудаленными от оси симметрии: $x_1 = x_0 - d$ и $x_2 = x_0 + d$.
4. Вычислить ординаты для этих точек: $y_1 = y(x_1)$ и $y_2 = y(x_2)$. В силу симметрии параболы, эти ординаты будут равны ($y_1 = y_2$).
В результате мы получим пару симметричных точек $(x_0 - d, y_1)$ и $(x_0 + d, y_1)$.
Например, для параболы $y = x^2 + 4x + 7$ ось симметрии $x = -2$. Возьмем $d=1$. Тогда $x_1 = -2 - 1 = -3$ и $x_2 = -2 + 1 = -1$.
$y(-3) = (-3)^2 + 4(-3) + 7 = 9 - 12 + 7 = 4$.
$y(-1) = (-1)^2 + 4(-1) + 7 = 1 - 4 + 7 = 4$.
Таким образом, точки $(-3, 4)$ и $(-1, 4)$ являются симметричными.

119. Квадратичная функция задана формулой $f(x) = 2x^2 - x - 15$.

1) Найдите $f(3)$, $f(0)$, $f(-3)$, $f(-2.5)$.

2) Найдите значения аргумента, при которых $f(x) = 0$, $f(x) = -5$.

3) Существуют ли значения $x$, при которых $f(x) = -20$?

Дана квадратичная функция $f(x) = 2x^2 - x - 15$.

1) Найдите f(3), f(0), f(-3), f(-2,5).

Чтобы найти значения функции при заданных значениях аргумента, необходимо подставить эти значения в формулу функции $f(x) = 2x^2 - x - 15$.
При $x = 3$:
$f(3) = 2 \cdot 3^2 - 3 - 15 = 2 \cdot 9 - 3 - 15 = 18 - 3 - 15 = 0$

При $x = 0$:
$f(0) = 2 \cdot 0^2 - 0 - 15 = 0 - 0 - 15 = -15$

При $x = -3$:
$f(-3) = 2 \cdot (-3)^2 - (-3) - 15 = 2 \cdot 9 + 3 - 15 = 18 + 3 - 15 = 6$

При $x = -2,5$:
$f(-2,5) = 2 \cdot (-2,5)^2 - (-2,5) - 15 = 2 \cdot 6,25 + 2,5 - 15 = 12,5 + 2,5 - 15 = 0$
Ответ: $f(3)=0, f(0)=-15, f(-3)=6, f(-2,5)=0$.

2) Найдите значения аргумента, при которых f(x) = 0, f(x) = -5.

Для нахождения значений аргумента $x$, при которых функция принимает заданные значения, нужно решить соответствующие квадратные уравнения.

Найдём $x$, при которых $f(x) = 0$:
$2x^2 - x - 15 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=2, b=-1, c=-15$. Для его решения вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121$
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$.
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) + 11}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 11}{4} = \frac{12}{4} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) - 11}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 11}{4} = \frac{-10}{4} = -2,5$

Найдём $x$, при которых $f(x) = -5$:
$2x^2 - x - 15 = -5$
Приведём уравнение к стандартному виду:
$2x^2 - x - 15 + 5 = 0$
$2x^2 - x - 10 = 0$
Коэффициенты: $a=2, b=-1, c=-10$. Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81$
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$.
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) + 9}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 9}{4} = \frac{10}{4} = 2,5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) - 9}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 9}{4} = \frac{-8}{4} = -2$
Ответ: при $f(x)=0$ значения аргумента $x=3$ и $x=-2,5$; при $f(x)=-5$ значения аргумента $x=2,5$ и $x=-2$.

3) Существуют ли значения x, при которых f(x) = -20?

Чтобы определить, существуют ли такие значения $x$, составим и проанализируем уравнение $f(x) = -20$.
$2x^2 - x - 15 = -20$
Приведём уравнение к стандартному виду:
$2x^2 - x - 15 + 20 = 0$
$2x^2 - x + 5 = 0$
Для анализа наличия действительных корней у этого квадратного уравнения вычислим его дискриминант $D$. Коэффициенты: $a=2, b=-1, c=5$.
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 1 - 40 = -39$
Так как дискриминант $D = -39 < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что не существует таких действительных значений $x$, при которых значение функции было бы равно -20.
Ответ: нет, таких значений $x$ не существует.

120 Дана функция $y = g(x)$, где $g(x) = -2x^2 + 4x - 5$. Запишите в математических обозначениях утверждение и проверьте, верно ли оно:

1) график функции проходит через точку $(-1; -3)$;

2) график функции пересекает ось $y$ в точке, ордината которой равна $-5$;

3) при $x = 0$ и $x = 2$ функция принимает равные значения;

4) при $x = 3$ значение функции больше, чем при $x = 4$.

Дана функция $y = g(x)$, где $g(x) = -2x^2 + 4x - 5$.

1) график функции проходит через точку (-1; -3);
Данное утверждение в математических обозначениях записывается как $g(-1) = -3$. Проверим его истинность, подставив $x = -1$ в формулу функции: $g(-1) = -2(-1)^2 + 4(-1) - 5 = -2 \cdot 1 - 4 - 5 = -2 - 4 - 5 = -11$. Так как $g(-1) = -11$, а не $-3$, утверждение неверно.
Ответ: утверждение неверно.

2) график функции пересекает ось y в точке, ордината которой равна -5;
График функции пересекает ось $y$ при $x=0$. Утверждение, что ордината точки пересечения равна $-5$, в математических обозначениях записывается как $g(0) = -5$. Проверим его истинность, подставив $x = 0$ в формулу функции: $g(0) = -2(0)^2 + 4(0) - 5 = 0 + 0 - 5 = -5$. Так как $g(0) = -5$, утверждение верно.
Ответ: утверждение верно.

3) при x = 0 и x = 2 функция принимает равные значения;
Данное утверждение в математических обозначениях записывается как $g(0) = g(2)$. Проверим его истинность. Из предыдущего пункта мы знаем, что $g(0) = -5$. Теперь найдем значение функции при $x=2$: $g(2) = -2(2)^2 + 4(2) - 5 = -2 \cdot 4 + 8 - 5 = -8 + 8 - 5 = -5$. Так как $g(0) = -5$ и $g(2) = -5$, то $g(0) = g(2)$. Утверждение верно.
Ответ: утверждение верно.

4) при x = 3 значение функции больше, чем при x = 4.
Данное утверждение в математических обозначениях записывается как $g(3) > g(4)$. Проверим его истинность. Сначала найдем значение функции при $x=3$: $g(3) = -2(3)^2 + 4(3) - 5 = -2 \cdot 9 + 12 - 5 = -18 + 12 - 5 = -11$.
Теперь найдем значение функции при $x=4$: $g(4) = -2(4)^2 + 4(4) - 5 = -2 \cdot 16 + 16 - 5 = -32 + 16 - 5 = -21$.
Сравним полученные значения: $-11 > -21$. Неравенство верное, следовательно, утверждение верно.
Ответ: утверждение верно.

121 Найдите на рисунке 2.2 график функции $y = g(x)$, где $g(x) = -2x^2 + 8x - 6$.

1) Верно ли, что $g(2) > 0$, $g(-1) < 0$, $g(3,5) > 0$?

2) Укажите несколько значений $x$, при которых $g(x) > 0$, $g(x) < 0$.

Рис. 2.2

y = $\frac{1}{4}x^2 + 2x + 4$

y = $\frac{1}{2}x^2 + 3$

y = $-\frac{1}{3}x^2 - 4x - 15$

y = $-2x^2 + 8x - 6$

Сначала найдем на рисунке 2.2 график функции $y = g(x)$, где $g(x) = -2x^2 + 8x - 6$.

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-2$, он отрицательный, значит, ветви параболы направлены вниз. Этому условию соответствуют графики 3 и 4.

Найдем координаты вершины параболы $g(x) = -2x^2 + 8x - 6$.

Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2$.

Ордината вершины: $y_0 = g(2) = -2(2)^2 + 8(2) - 6 = -2 \cdot 4 + 16 - 6 = -8 + 16 - 6 = 2$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2; 2)$.

На рисунке 2.2 видно, что только у параболы под номером 4 вершина находится в точке $(2; 2)$. Следовательно, график функции $y = g(x)$ — это график под номером 4.

1) Верно ли, что g(2) > 0, g(-1) < 0, g(3.5) > 0?

Проверим каждое из неравенств, используя функцию $g(x) = -2x^2 + 8x - 6$ или ее график (график 4).

• Проверим $g(2) > 0$.
  Мы уже вычислили, что $g(2) = 2$. Так как $2 > 0$, это неравенство верно.
• Проверим $g(-1) < 0$.
  Вычислим значение функции: $g(-1) = -2(-1)^2 + 8(-1) - 6 = -2 \cdot 1 - 8 - 6 = -2 - 8 - 6 = -16$. Так как $-16 < 0$, это неравенство верно.
• Проверим $g(3.5) > 0$.
  Вычислим значение функции: $g(3.5) = -2(3.5)^2 + 8(3.5) - 6 = -2(12.25) + 28 - 6 = -24.5 + 28 - 6 = -2.5$. Так как $-2.5 < 0$, неравенство $g(3.5) > 0$ неверно.

Поскольку одно из утверждений ложно, все высказывание в целом является неверным.

Ответ: нет, неверно.

2) Укажите несколько значений x, при которых g(x) > 0, g(x) < 0.

Чтобы определить, при каких значениях $x$ функция положительна или отрицательна, найдем ее нули (точки пересечения с осью $Ox$).

$g(x) = 0 \implies -2x^2 + 8x - 6 = 0$.

Разделим уравнение на $-2$ для упрощения:

$x^2 - 4x + 3 = 0$.

По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.

Это точки, в которых парабола пересекает ось $x$. Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция $g(x)$ положительна между корнями и отрицательна за их пределами.

• $g(x) > 0$
  Функция положительна, когда ее график находится выше оси $x$. Это происходит на интервале между корнями: $1 < x < 3$.
  Несколько значений $x$ из этого интервала: $x = 1.5$, $x = 2$, $x = 2.9$.
• $g(x) < 0$
  Функция отрицательна, когда ее график находится ниже оси $x$. Это происходит при $x < 1$ и при $x > 3$. То есть на объединении интервалов $(-\infty; 1) \cup (3; \infty)$.
  Несколько значений $x$ из этих интервалов: $x = 0$, $x = -5$, $x = 4$, $x = 10$.

Ответ: $g(x) > 0$ при $x \in (1; 3)$, например, при $x = 1.5, x=2, x=2.5$. $g(x) < 0$ при $x \in (-\infty; 1) \cup (3; \infty)$, например, при $x=0, x=-1, x=4$.

122 Найдите нули функции $y = f(x)$ или покажите, что их нет:

а) $f(x) = x^2 - 7x + 10;$

б) $f(x) = -x^2 + 5x - 7;$

в) $f(x) = 2x^2 - 8x - 8;$

г) $f(x) = 6x^2 - 5x + 1.$

В каждом случае опишите полученный результат на геометрическом языке.

Для нахождения нулей функции $y = f(x)$ необходимо решить уравнение $f(x) = 0$. Геометрически нули функции — это абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ox.

а) $f(x) = x^2 - 7x + 10$

Приравняем функцию к нулю: $x^2 - 7x + 10 = 0$.

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=-7$, $c=10$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 3}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 3}{2} = 2$

На геометрическом языке это означает, что график функции, который является параболой с ветвями вверх (так как $a=1>0$), пересекает ось абсцисс в двух точках.

Ответ: нули функции — 2 и 5. График функции пересекает ось Ox в точках с абсциссами 2 и 5.

б) $f(x) = -x^2 + 5x - 7$

Приравняем функцию к нулю: $-x^2 + 5x - 7 = 0$.

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=-1$, $b=5$, $c=-7$.

Найдем дискриминант $D$:

$D = 5^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-7) = 25 - 28 = -3$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, следовательно, у функции нет нулей.

На геометрическом языке это означает, что график функции, который является параболой с ветвями вниз (так как $a=-1<0$), не пересекает ось абсцисс и целиком расположен под ней.

Ответ: нулей нет. График функции не пересекает ось Ox.

в) $f(x) = 2x^2 - 8x - 8$

Приравняем функцию к нулю: $2x^2 - 8x - 8 = 0$.

Разделим все члены уравнения на 2 для упрощения: $x^2 - 4x - 4 = 0$.

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=-4$, $c=-4$.

Найдем дискриминант $D$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 16 + 16 = 32$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем корни: $x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{2}$.

На геометрическом языке это означает, что график функции, который является параболой с ветвями вверх (так как $a=2>0$), пересекает ось абсцисс в двух точках.

Ответ: нули функции — $2 - 2\sqrt{2}$ и $2 + 2\sqrt{2}$. График функции пересекает ось Ox в точках с абсциссами $2 - 2\sqrt{2}$ и $2 + 2\sqrt{2}$.

г) $f(x) = 6x^2 - 5x + 1$

Приравняем функцию к нулю: $6x^2 - 5x + 1 = 0$.

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=6$, $b=-5$, $c=1$.

Найдем дискриминант $D$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем корни: $x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{5 \pm 1}{12}$.

$x_1 = \frac{5 + 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{5 - 1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

На геометрическом языке это означает, что график функции, который является параболой с ветвями вверх (так как $a=6>0$), пересекает ось абсцисс в двух точках.

Ответ: нули функции — $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$. График функции пересекает ось Ox в точках с абсциссами $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$.

123 Задайте формулой какую-нибудь квадратичную функцию, нулями которой являются числа -1 и 3, и постройте её график по плану, предложенному в упражнении 116.

Задание формулой квадратичной функции, нулями которой являются числа -1 и 3

Квадратичная функция, имеющая нули (корни) $x_1$ и $x_2$, может быть задана формулой $y = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $a$ — любой коэффициент, не равный нулю.

По условию, нулями функции являются числа $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$. Подставим эти значения в формулу:$y = a(x - (-1))(x - 3) = a(x + 1)(x - 3)$.

Так как в задаче требуется задать "какую-нибудь" квадратичную функцию, мы можем выбрать любое значение для коэффициента $a \neq 0$. Для простоты выберем $a=1$.Тогда функция примет вид:$y = (x + 1)(x - 3)$.

Раскроем скобки, чтобы получить стандартный вид квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$:$y = x^2 - 3x + x - 3 = x^2 - 2x - 3$.

Ответ: $y = x^2 - 2x - 3$.

Построение графика функции по плану

Построим график найденной функции $y = x^2 - 2x - 3$. Графиком является парабола. Построение выполним по следующему плану:

1. Определение направления ветвей параболы.
   Старший коэффициент функции $a=1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
2. Нахождение координат вершины параболы.
   Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Для нашей функции $b=-2$ и $a=1$: $x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.
   Ордината вершины находится подстановкой $x_0$ в уравнение функции: $y_0 = (1)^2 - 2(1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.
   Координаты вершины: $(1, -4)$.
3. Определение оси симметрии.
   Осью симметрии является вертикальная прямая, проходящая через вершину: $x = 1$.
4. Нахождение точек пересечения с осями координат.
   С осью Ox (нули функции): эти точки даны в условии, их абсциссы $x=-1$ и $x=3$. Координаты точек: $(-1, 0)$ и $(3, 0)$.
   С осью Oy: для этого нужно найти значение функции при $x=0$: $y = 0^2 - 2(0) - 3 = -3$.
   Координаты точки пересечения: $(0, -3)$.
5. Нахождение дополнительных точек и построение графика.
   Для более точного построения найдем несколько дополнительных точек, используя симметрию относительно оси $x=1$. Точка $(0, -3)$ симметрична точке $(2, -3)$. Найдем значение функции при $x=4$: $y(4) = 4^2 - 2(4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5$. Получили точку $(4, 5)$. Симметричная ей точка относительно оси $x=1$ имеет абсциссу $1 - (4-1) = -2$. Это точка $(-2, 5)$.
   Отметив все найденные точки на координатной плоскости — $(-2, 5), (-1, 0), (0, -3), (1, -4), (2, -3), (3, 0), (4, 5)$ — и соединив их плавной кривой, получим график функции.

Ответ: График функции $y = x^2 - 2x - 3$ — это парабола с вершиной в точке $(1, -4)$, ветви которой направлены вверх, ось симметрии — прямая $x = 1$. Парабола пересекает ось абсцисс в точках $(-1, 0)$ и $(3, 0)$, а ось ординат — в точке $(0, -3)$.