Страница 54 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

124 Функция задана формулой $y = 3x^2$.

1) Составьте таблицу значений функции при $x$, равном $0; \frac{1}{3}; 1; 2$, и постройте её график.

2) Отметьте на графике пару симметричных точек и укажите их координаты.

3) В каких точках график пересекает прямую $y = 48? y = 75$?

1) Составьте таблицу значений функции при x, равном 0; 1/3; 1; 2, и постройте её график.

Для построения графика функции $y = 3x^2$ составим таблицу значений. Функция является четной, так как $y(-x) = 3(-x)^2 = 3x^2 = y(x)$, поэтому её график симметричен относительно оси ординат (оси OY). Для более точного построения графика возьмем также симметричные значения $x$.

Вычислим значения $y$ для заданных $x$:

• При $x=0$: $y = 3 \cdot 0^2 = 0$.
• При $x=\frac{1}{3}$: $y = 3 \cdot (\frac{1}{3})^2 = 3 \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{3}$.
• При $x=1$: $y = 3 \cdot 1^2 = 3$.
• При $x=2$: $y = 3 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12$.

Составим таблицу значений, включив в нее и отрицательные значения $x$ для наглядности:

График функции — парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вверх. Для построения графика нужно отметить вычисленные точки на координатной плоскости и соединить их плавной линией, учитывая симметрию относительно оси OY.

Ответ: Таблица значений представлена выше. Графиком является парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх, проходящая через точки $(-2, 12)$, $(-1, 3)$, $(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$, $(0, 0)$, $(\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$, $(1, 3)$, $(2, 12)$.

2) Отметьте на графике пару симметричных точек и укажите их координаты.

Так как функция $y=3x^2$ четная, ее график симметричен относительно оси OY. Это означает, что для любого значения $x_0 \neq 0$ точки с координатами $(x_0, y_0)$ и $(-x_0, y_0)$ будут симметричны. В качестве примера возьмем точки, вычисленные в первом пункте.

Например, при $x=1$, $y=3$, а при $x=-1$, $y=3$. Таким образом, точки с координатами $(-1, 3)$ и $(1, 3)$ являются симметричными относительно оси OY.

Ответ: Пара симметричных точек: $(-1, 3)$ и $(1, 3)$.

3) В каких точках график пересекает прямую y = 48? y = 75?

Чтобы найти точки пересечения графика функции $y = 3x^2$ с горизонтальной прямой, нужно приравнять их значения $y$ и решить полученное уравнение относительно $x$.

Пересечение с прямой $y = 48$:

Приравниваем $y$ из обоих уравнений:

$3x^2 = 48$

Делим обе части на 3:

$x^2 = 16$

Находим корни:

$x_1 = \sqrt{16} = 4$

$x_2 = -\sqrt{16} = -4$

Таким образом, график пересекает прямую $y = 48$ в двух точках с координатами $(4, 48)$ и $(-4, 48)$.

Пересечение с прямой $y = 75$:

Приравниваем $y$ из обоих уравнений:

$3x^2 = 75$

Делим обе части на 3:

$x^2 = 25$

Находим корни:

$x_1 = \sqrt{25} = 5$

$x_2 = -\sqrt{25} = -5$

Таким образом, график пересекает прямую $y = 75$ в двух точках с координатами $(5, 75)$ и $(-5, 75)$.

Ответ: График пересекает прямую $y=48$ в точках $(-4, 48)$ и $(4, 48)$; прямую $y=75$ — в точках $(-5, 75)$ и $(5, 75)$.

125 1) В одной системе координат постройте график функции $f(x) = \frac{1}{4}x^2$ и график функции $g(x) = -\frac{1}{4}x^2$.

2) Вычислите значение выражения $f(10)$. Чему равно значение выражения $g(10)$?

3) График какой из функций $f(x) = \frac{1}{4}x^2$ или $g(x) = -\frac{1}{4}x^2$ пересекает прямую $y = 100$? $y = -100$? Укажите координаты точек пересечения.

4) На промежутке [-4; 2] укажите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \frac{1}{4}x^2$; наибольшее и наименьшее значения функции $g(x) = -\frac{1}{4}x^2$.

1) Для построения графиков функций $f(x) = \frac{1}{4}x^2$ и $g(x) = -\frac{1}{4}x^2$ определим их свойства и найдем координаты нескольких точек.

Функция $f(x) = \frac{1}{4}x^2$ — это парабола, вершина которой находится в точке (0, 0), а ветви направлены вверх. Коэффициент $\frac{1}{4}$ делает параболу шире, чем стандартная парабола $y=x^2$.

Функция $g(x) = -\frac{1}{4}x^2$ — это парабола, вершина которой также находится в точке (0, 0), но ее ветви направлены вниз. Эта парабола симметрична графику функции $f(x)$ относительно оси Ox.

Составим таблицу значений для нескольких точек:

Для $f(x) = \frac{1}{4}x^2$:

• при $x = 0, y = \frac{1}{4} \cdot 0^2 = 0$ → (0, 0)
• при $x = 2, y = \frac{1}{4} \cdot 2^2 = 1$ → (2, 1)
• при $x = -2, y = \frac{1}{4} \cdot (-2)^2 = 1$ → (-2, 1)
• при $x = 4, y = \frac{1}{4} \cdot 4^2 = 4$ → (4, 4)
• при $x = -4, y = \frac{1}{4} \cdot (-4)^2 = 4$ → (-4, 4)

Для $g(x) = -\frac{1}{4}x^2$:

• при $x = 0, y = -\frac{1}{4} \cdot 0^2 = 0$ → (0, 0)
• при $x = 2, y = -\frac{1}{4} \cdot 2^2 = -1$ → (2, -1)
• при $x = -2, y = -\frac{1}{4} \cdot (-2)^2 = -1$ → (-2, -1)
• при $x = 4, y = -\frac{1}{4} \cdot 4^2 = -4$ → (4, -4)
• при $x = -4, y = -\frac{1}{4} \cdot (-4)^2 = -4$ → (-4, -4)

Ответ: График $f(x)$ — парабола с вершиной в (0,0), ветвями вверх. График $g(x)$ — парабола с вершиной в (0,0), ветвями вниз, симметричная $f(x)$ относительно оси Ox.

2) Вычислим значения функций при $x=10$.

Для функции $f(x) = \frac{1}{4}x^2$:

$f(10) = \frac{1}{4} \cdot 10^2 = \frac{1}{4} \cdot 100 = 25$.

Для функции $g(x) = -\frac{1}{4}x^2$:

$g(10) = -\frac{1}{4} \cdot 10^2 = -\frac{1}{4} \cdot 100 = -25$.

Ответ: $f(10) = 25$, $g(10) = -25$.

3) Найдем точки пересечения графиков с прямыми $y = 100$ и $y = -100$.

Пересечение с прямой $y = 100$:

Для $f(x)$: $\frac{1}{4}x^2 = 100 \implies x^2 = 400 \implies x = \pm 20$. Точки пересечения: $(-20, 100)$ и $(20, 100)$.

Для $g(x)$: $-\frac{1}{4}x^2 = 100 \implies x^2 = -400$. Уравнение не имеет действительных корней, значит, пересечения нет.

Пересечение с прямой $y = -100$:

Для $f(x)$: $\frac{1}{4}x^2 = -100 \implies x^2 = -400$. Уравнение не имеет действительных корней, пересечения нет.

Для $g(x)$: $-\frac{1}{4}x^2 = -100 \implies x^2 = 400 \implies x = \pm 20$. Точки пересечения: $(-20, -100)$ и $(20, -100)$.

Ответ: Прямую $y=100$ пересекает график функции $f(x)$ в точках $(-20, 100)$ и $(20, 100)$. Прямую $y=-100$ пересекает график функции $g(x)$ в точках $(-20, -100)$ и $(20, -100)$.

4) Найдем наибольшее и наименьшее значения функций на промежутке $[-4; 2]$.

Для функции $f(x) = \frac{1}{4}x^2$:

Это парабола с ветвями вверх, вершина которой (точка минимума) находится в $x=0$. Поскольку $0 \in [-4; 2]$, наименьшее значение функции на этом промежутке достигается в вершине:

$f_{наим} = f(0) = 0$.

Наибольшее значение будет на одном из концов промежутка. Сравним значения функции в точках $x=-4$ и $x=2$:

$f(-4) = \frac{1}{4}(-4)^2 = \frac{16}{4} = 4$.

$f(2) = \frac{1}{4}(2)^2 = \frac{4}{4} = 1$.

Наибольшее значение равно 4.

$f_{наиб} = 4$.

Для функции $g(x) = -\frac{1}{4}x^2$:

Это парабола с ветвями вниз, вершина которой (точка максимума) находится в $x=0$. Поскольку $0 \in [-4; 2]$, наибольшее значение функции на этом промежутке достигается в вершине:

$g_{наиб} = g(0) = 0$.

Наименьшее значение будет на одном из концов промежутка. Сравним значения функции в точках $x=-4$ и $x=2$:

$g(-4) = -\frac{1}{4}(-4)^2 = -\frac{16}{4} = -4$.

$g(2) = -\frac{1}{4}(2)^2 = -\frac{4}{4} = -1$.

Наименьшее значение равно -4.

$g_{наим} = -4$.

Ответ: Для функции $f(x)$ на промежутке $[-4; 2]$: наибольшее значение равно 4, наименьшее значение равно 0. Для функции $g(x)$ на промежутке $[-4; 2]$: наибольшее значение равно 0, наименьшее значение равно -4.

126. Длина окружности $l$ вычисляется по формуле $l = 2\pi r$, а площадь круга $S$ — по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ — радиус. Постройте график зависимости:

а) длины окружности от радиуса;

б) площади круга от радиуса.

(Считайте, что $\pi \approx 3$.)

а) длины окружности от радиуса;
Задана формула длины окружности $l = 2\pi r$. В условии сказано принять $\pi \approx 3$. Подставим это значение в формулу:
$l = 2 \cdot 3 \cdot r$
$l = 6r$
Получилась функция $l(r) = 6r$. Это линейная функция, графиком которой является прямая линия. Так как радиус $r$ не может быть отрицательным ($r \ge 0$), то график строится только в первой координатной четверти и представляет собой луч, выходящий из начала координат.
Для построения графика найдем несколько точек. Ось абсцисс будет осью радиусов $r$, а ось ординат — осью длин окружностей $l$.
Если $r = 0$, то $l = 6 \cdot 0 = 0$. Точка (0; 0).
Если $r = 1$, то $l = 6 \cdot 1 = 6$. Точка (1; 6).
Если $r = 2$, то $l = 6 \cdot 2 = 12$. Точка (2; 12).
Соединив эти точки, получаем луч, который является графиком зависимости $l$ от $r$.

Ответ: График зависимости длины окружности от радиуса при $\pi \approx 3$ — это луч, выходящий из начала координат и проходящий, например, через точку (1; 6). Уравнение зависимости: $l=6r$.

б) площади круга от радиуса.
Задана формула площади круга $S = \pi r^2$. Примем $\pi \approx 3$, как указано в условии.
$S = 3r^2$
Получилась функция $S(r) = 3r^2$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх. Поскольку радиус $r$ не может быть отрицательным ($r \ge 0$), график представляет собой ветвь параболы, расположенную в первой координатной четверти.
Для построения графика найдем несколько точек. Ось абсцисс будет осью радиусов $r$, а ось ординат — осью площадей $S$.
Если $r = 0$, то $S = 3 \cdot 0^2 = 0$. Точка (0; 0).
Если $r = 1$, то $S = 3 \cdot 1^2 = 3$. Точка (1; 3).
Если $r = 2$, то $S = 3 \cdot 2^2 = 12$. Точка (2; 12).
Соединив эти точки плавной кривой, получаем ветвь параболы, которая является графиком зависимости $S$ от $r$.

Ответ: График зависимости площади круга от радиуса при $\pi \approx 3$ — это ветвь параболы с вершиной в начале координат, проходящая, например, через точку (1; 3). Уравнение зависимости: $S=3r^2$.

127 Изобразите схематически в одной и той же системе координат графики функций: $y = 0,3x^2$; $y = -10x^2$; $y = 8x^2$; $y = -0,1x^2$.

1) Какая из парабол самая «крутая»? самая «пологая»?

2) Какие из функций имеют наименьшее значение? наибольшее значение?

3) Укажите промежуток убывания и промежуток возрастания функций $y = 8x^2$ и $y = -0,1x^2$.

Все заданные функции вида $y = ax^2$ являются параболами с вершиной в начале координат $(0, 0)$. Построим их графики схематически в одной системе координат, проанализировав каждую функцию.

Направление ветвей параболы зависит от знака коэффициента $a$:

• Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Это функции $y = 0,3x^2$ и $y = 8x^2$.
• Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Это функции $y = -10x^2$ и $y = -0,1x^2$.

«Крутизна» или «ширина» параболы зависит от абсолютного значения (модуля) коэффициента $a$, то есть от $|a|$. Чем больше $|a|$, тем парабола «круче» (уже, ее ветви сильнее прижаты к оси Oy). Чем меньше $|a|$, тем парабола «положе» (шире, ее ветви сильнее прижаты к оси Ox).

Сравним модули коэффициентов:

• для $y = 0,3x^2$: $|a| = |0,3| = 0,3$
• для $y = -10x^2$: $|a| = |-10| = 10$
• для $y = 8x^2$: $|a| = |8| = 8$
• для $y = -0,1x^2$: $|a| = |-0,1| = 0,1$

Таким образом, при схематическом изображении графиков в одной системе координат параболы $y = 8x^2$ и $y = 0,3x^2$ будут иметь ветви, направленные вверх, причем $y = 8x^2$ будет значительно уже, чем $y = 0,3x^2$. Параболы $y = -10x^2$ и $y = -0,1x^2$ будут иметь ветви, направленные вниз, причем $y = -10x^2$ будет значительно уже, чем $y = -0,1x^2$.

1) Какая из парабол самая «крутая»? самая «пологая»?

Степень «крутизны» параболы вида $y=ax^2$ определяется модулем коэффициента $a$. Чем больше значение $|a|$, тем более «крутой» является парабола. Чем меньше значение $|a|$, тем парабола более «пологая».

Среди значений $|a|$: $0,3$, $10$, $8$, $0,1$, наибольшим является $10$, а наименьшим — $0,1$.

Следовательно, парабола, соответствующая функции $y = -10x^2$, является самой «крутой».

Парабола, соответствующая функции $y = -0,1x^2$, является самой «пологой».

Ответ: Самая «крутая» парабола — $y = -10x^2$. Самая «пологая» — $y = -0,1x^2$.

2) Какие из функций имеют наименьшее значение? наибольшее значение?

Наименьшее или наибольшее значение функции вида $y=ax^2$ достигается в ее вершине, то есть в точке $x=0$, и зависит от знака коэффициента $a$.

Если коэффициент $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. В этом случае функция имеет наименьшее значение и не имеет наибольшего. Для функций $y = 0,3x^2$ и $y = 8x^2$ коэффициент $a$ положителен. Их наименьшее значение равно $y_{min} = y(0) = 0$.

Если коэффициент $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. В этом случае функция имеет наибольшее значение и не имеет наименьшего. Для функций $y = -10x^2$ и $y = -0,1x^2$ коэффициент $a$ отрицателен. Их наибольшее значение равно $y_{max} = y(0) = 0$.

Ответ: Функции $y = 0,3x^2$ и $y = 8x^2$ имеют наименьшее значение (равное 0). Функции $y = -10x^2$ и $y = -0,1x^2$ имеют наибольшее значение (равное 0).

3) Укажите промежуток убывания и промежуток возрастания функций $y = 8x^2$ и $y = -0,1x^2$.

Промежутки монотонности (возрастания и убывания) параболы $y=ax^2$ разделяются ее вершиной в точке $x=0$.

Для функции $y = 8x^2$:

Коэффициент $a = 8 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция убывает на промежутке слева от вершины ($x<0$) и возрастает справа от вершины ($x>0$).

• Промежуток убывания: $(-\infty, 0]$.
• Промежуток возрастания: $[0, +\infty)$.

Для функции $y = -0,1x^2$:

Коэффициент $a = -0,1 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Функция возрастает на промежутке слева от вершины ($x<0$) и убывает справа от вершины ($x>0$).

• Промежуток возрастания: $(-\infty, 0]$.
• Промежуток убывания: $[0, +\infty)$.

Ответ: Для функции $y = 8x^2$: промежуток убывания — $(-\infty, 0]$, промежуток возрастания — $[0, +\infty)$. Для функции $y = -0,1x^2$: промежуток возрастания — $(-\infty, 0]$, промежуток убывания — $[0, +\infty)$.

128 На рисунке 2.12 даны графики квадратичных функций, заданных формулами:

$y = 3,2x^2$; $y = -0,6x^2$; $y = 1,6x^2$; $y = -2,5x^2$; $y = -\frac{1}{3}x^2$; $y = \frac{1}{4}x^2$.

Соотнесите каждый из них с одной из формул.

Рис. 2.12

Для решения задачи проанализируем свойства квадратичных функций вида $y = ax^2$, графиками которых являются параболы с вершиной в начале координат.

1. Знак коэффициента $a$ определяет направление ветвей параболы:
   • если $a > 0$, ветви направлены вверх;
   • если $a < 0$, ветви направлены вниз.
2. Абсолютное значение (модуль) коэффициента $|a|$ определяет "ширину" параболы:
   • чем больше значение $|a|$, тем парабола "уже" (сильнее вытянута вдоль оси OY);
   • чем меньше значение $|a|$, тем парабола "шире".

Исходя из этих свойств, соотнесем каждую формулу с ее графиком.

Функции с $a > 0$ (ветви вверх): $y = 3,2x^2$; $y = 1,6x^2$; $y = \frac{1}{4}x^2$.
Эти функции соответствуют графикам 1, 2 и 3. Сравним их коэффициенты: $3,2 > 1,6 > \frac{1}{4}$ (т.е. $3,2 > 1,6 > 0,25$).

• График 1: Это самая узкая парабола с ветвями вверх, что соответствует наибольшему коэффициенту $a=3,2$. Ответ: $y = 3,2x^2$

• График 2: Эта парабола шире, чем первая, но уже, чем третья. Ей соответствует средний по величине коэффициент $a=1,6$. Ответ: $y = 1,6x^2$

• График 3: Это самая широкая парабола с ветвями вверх, что соответствует наименьшему коэффициенту $a=\frac{1}{4}$. Ответ: $y = \frac{1}{4}x^2$

Функции с $a < 0$ (ветви вниз): $y = -0,6x^2$; $y = -2,5x^2$; $y = -\frac{1}{3}x^2$.
Эти функции соответствуют графикам 4, 5 и 6. Сравним модули их коэффициентов: $|-2,5| = 2,5$; $|-0,6| = 0,6$; $|-\frac{1}{3}| \approx 0,33$. Получаем: $2,5 > 0,6 > 0,33...$

• График 4: Это самая широкая парабола с ветвями вниз, что соответствует наименьшему по модулю коэффициенту $a = -\frac{1}{3}$. Ответ: $y = -\frac{1}{3}x^2$

• График 5: Эта парабола уже, чем четвертая, но шире, чем шестая. Ей соответствует средний по модулю коэффициент $a = -0,6$. Ответ: $y = -0,6x^2$

• График 6: Это самая узкая парабола с ветвями вниз, что соответствует наибольшему по модулю коэффициенту $a = -2,5$. Ответ: $y = -2,5x^2$

129 Известно, что график квадратичной функции, заданной формулой вида $y = ax^2$, проходит через точку $C (-6; -9)$.

1) Укажите координаты точки графика, которая симметрична точке C.

2) Найдите коэффициент $a$.

3) Укажите координаты каких-нибудь двух точек, одна из которых принадлежит графику, а другая нет.

1) Укажите координаты точки графика, которая симметрична точке C.
График функции вида $y = ax^2$ представляет собой параболу, которая симметрична относительно оси ординат (оси $Oy$). Это означает, что если точка с координатами $(x_0, y_0)$ принадлежит графику, то и точка с координатами $(-x_0, y_0)$ также принадлежит ему. Для данной точки $C(-6; -9)$ симметричной будет точка с противоположной по знаку абсциссой и той же ординатой. Таким образом, координаты искомой точки: $(-(-6); -9)$, что равно $(6; -9)$.
Ответ: $(6; -9)$.

2) Найдите коэффициент a.
По условию, график функции $y = ax^2$ проходит через точку $C(-6; -9)$. Это значит, что при подстановке координат этой точки в уравнение функции мы получим верное равенство. Подставим значения $x = -6$ и $y = -9$ в формулу:
$-9 = a \cdot (-6)^2$
$-9 = a \cdot 36$
Чтобы найти коэффициент $a$, разделим обе части уравнения на 36:
$a = \frac{-9}{36}$
Сократив дробь на 9, получаем:
$a = -\frac{1}{4}$
Ответ: $a = -\frac{1}{4}$.

3) Укажите координаты каких-нибудь двух точек, одна из которых принадлежит графику, а другая нет.
Теперь мы знаем точную формулу функции: $y = -\frac{1}{4}x^2$.
Точка, принадлежащая графику:
Чтобы найти точку, лежащую на графике, нужно выбрать произвольное значение абсциссы ($x$) и вычислить соответствующее значение ординаты ($y$). Возьмем, к примеру, $x = 2$.
$y = -\frac{1}{4} \cdot (2)^2 = -\frac{1}{4} \cdot 4 = -1$.
Следовательно, точка с координатами $(2; -1)$ принадлежит графику.
Точка, не принадлежащая графику:
Чтобы найти точку, которая не лежит на графике, выберем произвольные координаты и проверим, удовлетворяют ли они уравнению. Возьмем, например, точку $(1; 1)$ и подставим её координаты в уравнение функции:
$1 = -\frac{1}{4} \cdot (1)^2$
$1 = -\frac{1}{4}$
Полученное равенство неверно, значит, точка $(1; 1)$ не принадлежит графику.
Ответ: Точка, принадлежащая графику: $(2; -1)$; точка, не принадлежащая графику: $(1; 1)$. (В качестве ответа могут быть приведены и другие точки).