Номер 127, страница 54 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.2 График и свойства функции у=аx². Глава 2. Квадратичная функция - номер 127, страница 54.

127 Изобразите схематически в одной и той же системе координат графики функций: $y = 0,3x^2$; $y = -10x^2$; $y = 8x^2$; $y = -0,1x^2$.

1) Какая из парабол самая «крутая»? самая «пологая»?

2) Какие из функций имеют наименьшее значение? наибольшее значение?

3) Укажите промежуток убывания и промежуток возрастания функций $y = 8x^2$ и $y = -0,1x^2$.

Все заданные функции вида $y = ax^2$ являются параболами с вершиной в начале координат $(0, 0)$. Построим их графики схематически в одной системе координат, проанализировав каждую функцию.

Направление ветвей параболы зависит от знака коэффициента $a$:

• Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Это функции $y = 0,3x^2$ и $y = 8x^2$.
• Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Это функции $y = -10x^2$ и $y = -0,1x^2$.

«Крутизна» или «ширина» параболы зависит от абсолютного значения (модуля) коэффициента $a$, то есть от $|a|$. Чем больше $|a|$, тем парабола «круче» (уже, ее ветви сильнее прижаты к оси Oy). Чем меньше $|a|$, тем парабола «положе» (шире, ее ветви сильнее прижаты к оси Ox).

Сравним модули коэффициентов:

• для $y = 0,3x^2$: $|a| = |0,3| = 0,3$
• для $y = -10x^2$: $|a| = |-10| = 10$
• для $y = 8x^2$: $|a| = |8| = 8$
• для $y = -0,1x^2$: $|a| = |-0,1| = 0,1$

Таким образом, при схематическом изображении графиков в одной системе координат параболы $y = 8x^2$ и $y = 0,3x^2$ будут иметь ветви, направленные вверх, причем $y = 8x^2$ будет значительно уже, чем $y = 0,3x^2$. Параболы $y = -10x^2$ и $y = -0,1x^2$ будут иметь ветви, направленные вниз, причем $y = -10x^2$ будет значительно уже, чем $y = -0,1x^2$.

1) Какая из парабол самая «крутая»? самая «пологая»?

Степень «крутизны» параболы вида $y=ax^2$ определяется модулем коэффициента $a$. Чем больше значение $|a|$, тем более «крутой» является парабола. Чем меньше значение $|a|$, тем парабола более «пологая».

Среди значений $|a|$: $0,3$, $10$, $8$, $0,1$, наибольшим является $10$, а наименьшим — $0,1$.

Следовательно, парабола, соответствующая функции $y = -10x^2$, является самой «крутой».

Парабола, соответствующая функции $y = -0,1x^2$, является самой «пологой».

Ответ: Самая «крутая» парабола — $y = -10x^2$. Самая «пологая» — $y = -0,1x^2$.

2) Какие из функций имеют наименьшее значение? наибольшее значение?

Наименьшее или наибольшее значение функции вида $y=ax^2$ достигается в ее вершине, то есть в точке $x=0$, и зависит от знака коэффициента $a$.

Если коэффициент $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. В этом случае функция имеет наименьшее значение и не имеет наибольшего. Для функций $y = 0,3x^2$ и $y = 8x^2$ коэффициент $a$ положителен. Их наименьшее значение равно $y_{min} = y(0) = 0$.

Если коэффициент $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. В этом случае функция имеет наибольшее значение и не имеет наименьшего. Для функций $y = -10x^2$ и $y = -0,1x^2$ коэффициент $a$ отрицателен. Их наибольшее значение равно $y_{max} = y(0) = 0$.

Ответ: Функции $y = 0,3x^2$ и $y = 8x^2$ имеют наименьшее значение (равное 0). Функции $y = -10x^2$ и $y = -0,1x^2$ имеют наибольшее значение (равное 0).

3) Укажите промежуток убывания и промежуток возрастания функций $y = 8x^2$ и $y = -0,1x^2$.

Промежутки монотонности (возрастания и убывания) параболы $y=ax^2$ разделяются ее вершиной в точке $x=0$.

Для функции $y = 8x^2$:

Коэффициент $a = 8 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция убывает на промежутке слева от вершины ($x<0$) и возрастает справа от вершины ($x>0$).

• Промежуток убывания: $(-\infty, 0]$.
• Промежуток возрастания: $[0, +\infty)$.

Для функции $y = -0,1x^2$:

Коэффициент $a = -0,1 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Функция возрастает на промежутке слева от вершины ($x<0$) и убывает справа от вершины ($x>0$).

• Промежуток возрастания: $(-\infty, 0]$.
• Промежуток убывания: $[0, +\infty)$.

Ответ: Для функции $y = 8x^2$: промежуток убывания — $(-\infty, 0]$, промежуток возрастания — $[0, +\infty)$. Для функции $y = -0,1x^2$: промежуток возрастания — $(-\infty, 0]$, промежуток убывания — $[0, +\infty)$.