Номер 134, страница 55 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.2 График и свойства функции у=аx². Глава 2. Квадратичная функция - номер 134, страница 55.

134 Постройте график функции $y = \begin{cases} -x^2, \text{ если } x \le 1 \\ x, \text{ если } x > 1. \end{cases}$

Указание. График состоит из двух частей. Подумайте, какой части принадлежит точка с абсциссой, равной 1, и исключите «лишнюю» точку, показав её стрелкой.

Для построения графика кусочно-заданной функции $ y = \begin{cases} -x^2, & \text{если } x \le 1 \\ x, & \text{если } x > 1 \end{cases} $ необходимо построить два графика на одной координатной плоскости, каждый на своем промежутке.

1. Построение графика функции $y = -x^2$ при $x \le 1$

Эта часть графика является частью параболы $y = -x^2$. Ветви этой параболы направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 0)$. Мы строим эту параболу для всех значений $x$, которые меньше или равны 1.

Составим таблицу значений для нескольких точек на этом промежутке:

• При $x=1$, $y = -(1)^2 = -1$. Точка $(1, -1)$. Так как условие $x \le 1$ (нестрогое неравенство), эта точка принадлежит графику и на чертеже отмечается закрашенным кружком.
• При $x=0$, $y = -(0)^2 = 0$. Точка $(0, 0)$.
• При $x=-1$, $y = -(-1)^2 = -1$. Точка $(-1, -1)$.
• При $x=-2$, $y = -(-2)^2 = -4$. Точка $(-2, -4)$.

Таким образом, мы чертим левую ветвь и часть правой ветви параболы до точки $(1, -1)$ включительно.

2. Построение графика функции $y = x$ при $x > 1$

Эта часть графика является частью прямой $y = x$. Это прямая, которая является биссектрисой первого и третьего координатных углов. Мы строим эту прямую для всех значений $x$, которые строго больше 1.

Найдем координаты точек для построения этой части графика:

• Рассмотрим граничную точку при $x=1$. Для функции $y=x$, в этой точке $y=1$. Получаем точку $(1, 1)$. Однако, поскольку условие $x > 1$ строгое, сама эта точка не принадлежит графику. На чертеже она отмечается пустым (выколотым) кружком. Это и есть «лишняя» точка, о которой говорится в указании.
• При $x=2$, $y=2$. Точка $(2, 2)$.
• При $x=3$, $y=3$. Точка $(3, 3)$.

Таким образом, мы чертим луч, выходящий из выколотой точки $(1, 1)$ и проходящий через точку $(2, 2)$ вправо и вверх.

3. Итоговый график

Объединяем построенные части на одной координатной плоскости. График функции будет состоять из двух не соединенных между собой частей:

• Часть параболы $y = -x^2$ на промежутке $(-\infty, 1]$, заканчивающаяся закрашенной точкой $(1, -1)$.
• Луч прямой $y=x$ на промежутке $(1, +\infty)$, начинающийся с выколотой точки $(1, 1)$.

В точке $x=1$ функция имеет разрыв. Значение функции в этой точке равно $y(1) = -1$.

Ответ: График функции состоит из двух частей. Первая часть — это ветви параболы $y=-x^2$, расположенные в третьем и четвертом координатных квадрантах, ограниченные справа точкой $(1, -1)$, которая включена в график. Вторая часть — это луч, выходящий из точки $(1, 1)$ и идущий вправо-вверх под углом 45 градусов к оси абсцисс; сама точка $(1, 1)$ в график не входит (является выколотой). В точке $x=1$ происходит разрыв функции.