Номер 140, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.3 Сдвиг графика функции у=аx² вдоль осей координат. Глава 2. Квадратичная функция - номер 140, страница 60.

140 Постройте график функции:

а) $y = x^2 - 4$;

б) $y = 0.5x^2 + 3$;

в) $y = -x^2 + 1$;

г) $y = -2x^2 - 1$.

Для каждой функции укажите промежуток возрастания и промежуток убывания, а также наибольшее (или наименьшее) значение.

а) $y = x^2 - 4$

График данной функции — парабола, которая является результатом сдвига графика функции $y = x^2$ на 4 единицы вниз вдоль оси ординат (Oy). Коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля, поэтому ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке с координатами $(0, -4)$.

Поскольку вершина находится в точке $x=0$ и ветви направлены вверх, функция убывает на промежутке слева от вершины и возрастает справа от нее. Промежуток убывания: $(-\infty, 0]$. Промежуток возрастания: $[0, +\infty)$.

Так как ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение, но не имеет наибольшего. Наименьшее значение достигается в вершине параболы. Наименьшее значение: $y_{наим} = -4$.

Ответ: Промежуток возрастания: $[0, +\infty)$; промежуток убывания: $(-\infty, 0]$; наименьшее значение функции: $y_{наим} = -4$.

б) $y = 0,5x^2 + 3$

График данной функции — парабола. Её можно получить из графика функции $y = 0,5x^2$ сдвигом на 3 единицы вверх вдоль оси ординат (Oy). Коэффициент при $x^2$ равен 0,5, что больше нуля, поэтому ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке с координатами $(0, 3)$.

Вершина параболы находится в точке $x=0$, ветви направлены вверх. Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

Функция имеет наименьшее значение в своей вершине, так как ветви параболы направлены вверх. Наибольшего значения не существует. Наименьшее значение: $y_{наим} = 3$.

Ответ: Промежуток возрастания: $[0, +\infty)$; промежуток убывания: $(-\infty, 0]$; наименьшее значение функции: $y_{наим} = 3$.

в) $y = -x^2 + 1$

График данной функции — парабола, полученная из графика функции $y = -x^2$ сдвигом на 1 единицу вверх вдоль оси ординат (Oy). Коэффициент при $x^2$ равен -1, что меньше нуля, поэтому ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в точке с координатами $(0, 1)$.

Поскольку вершина находится в точке $x=0$ и ветви направлены вниз, функция возрастает на промежутке слева от вершины и убывает справа от нее. Промежуток возрастания: $(-\infty, 0]$. Промежуток убывания: $[0, +\infty)$.

Так как ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее значение, но не имеет наименьшего. Наибольшее значение достигается в вершине параболы. Наибольшее значение: $y_{наиб} = 1$.

Ответ: Промежуток возрастания: $(-\infty, 0]$; промежуток убывания: $[0, +\infty)$; наибольшее значение функции: $y_{наиб} = 1$.

г) $y = -2x^2 - 1$

График данной функции — парабола. Её можно получить из графика функции $y = -2x^2$ сдвигом на 1 единицу вниз вдоль оси ординат (Oy). Коэффициент при $x^2$ равен -2, что меньше нуля, поэтому ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в точке с координатами $(0, -1)$.

Вершина параболы находится в точке $x=0$, ветви направлены вниз. Следовательно, функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$.

Функция имеет наибольшее значение в своей вершине, так как ветви параболы направлены вниз. Наименьшего значения не существует. Наибольшее значение: $y_{наиб} = -1$.

Ответ: Промежуток возрастания: $(-\infty, 0]$; промежуток убывания: $[0, +\infty)$; наибольшее значение функции: $y_{наиб} = -1$.