Номер 143, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.3 Сдвиг графика функции у=аx² вдоль осей координат. Глава 2. Квадратичная функция - номер 143, страница 60.

143 При каких значениях коэффициента имеет хотя бы один нуль функция:

а) $y = ax^2 + 7;$

б) $y = 10x^2 + q?$

а) Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Чтобы найти, при каких значениях коэффициента $a$ функция $y = ax^2 + 7$ имеет хотя бы один нуль, нужно решить уравнение $ax^2 + 7 = 0$ и найти условия на параметр $a$, при которых это уравнение имеет хотя бы одно действительное решение.
Приравняем функцию к нулю:
$ax^2 + 7 = 0$
Перенесем 7 в правую часть:
$ax^2 = -7$
Рассмотрим два случая.
1. Если $a = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x^2 + 7 = 0$, или $7 = 0$. Это неверное равенство, следовательно, при $a = 0$ уравнение не имеет решений, и функция не имеет нулей.
2. Если $a \neq 0$, разделим обе части уравнения на $a$:
$x^2 = - \frac{7}{a}$
Для того чтобы это уравнение имело хотя бы одно действительное решение, необходимо, чтобы выражение в правой части было неотрицательным, так как квадрат любого действительного числа ($x^2$) не может быть отрицательным.
$- \frac{7}{a} \ge 0$
Домножим неравенство на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный:
$\frac{7}{a} \le 0$
Так как числитель дроби ($7$) является положительным числом, данное неравенство будет верным только в том случае, если знаменатель $a$ будет отрицательным числом.
$a < 0$
Таким образом, функция имеет хотя бы один нуль (а именно, два корня $x = \pm\sqrt{-7/a}$) при всех отрицательных значениях $a$.
Ответ: $a < 0$.

б) Аналогично, для функции $y = 10x^2 + q$ найдем значения коэффициента $q$, при которых она имеет хотя бы один нуль. Для этого приравняем функцию к нулю и решим уравнение $10x^2 + q = 0$ относительно $x$.
$10x^2 + q = 0$
Перенесем $q$ в правую часть:
$10x^2 = -q$
Разделим обе части на 10:
$x^2 = - \frac{q}{10}$
Уравнение будет иметь хотя бы одно действительное решение для $x$ тогда и только тогда, когда правая часть неотрицательна.
$- \frac{q}{10} \ge 0$
Умножим обе части неравенства на $-10$. Так как мы умножаем на отрицательное число, знак неравенства необходимо изменить на противоположный.
$q \le 0$
Проверим:
- Если $q = 0$, уравнение принимает вид $10x^2=0$, что дает один корень $x=0$.
- Если $q < 0$, то $-q > 0$, и уравнение имеет два различных действительных корня $x = \pm\sqrt{-q/10}$.
В обоих случаях условие "хотя бы один нуль" выполняется.
Ответ: $q \le 0$.