Номер 150, страница 61 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.3 Сдвиг графика функции у=аx² вдоль осей координат. Глава 2. Квадратичная функция - номер 150, страница 61.

150 Постройте график функции:

а) $y = x^2 - 2x + 3$;

б) $y = x^2 + 4x$;

в) $y = x^2 + 6x + 8$;

г) $y = x^2 - 4x + 4$.

Для построения графика каждой квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ мы будем следовать общему плану:

1. Определить, что график функции — парабола, и куда направлены ее ветви (вверх при $a > 0$, вниз при $a < 0$).
2. Найти координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ по формулам: $x_0 = -b/(2a)$, $y_0 = y(x_0)$.
3. Найти точки пересечения графика с осями координат:
   • С осью OY (осью ординат): подставить $x=0$ в уравнение. Точка пересечения будет $(0, c)$.
   • С осью OX (осью абсцисс): решить уравнение $ax^2 + bx + c = 0$. Корни этого уравнения (если они есть) являются абсциссами точек пересечения.
4. Составить таблицу значений для нескольких дополнительных точек, симметричных относительно оси параболы $x = x_0$.

---

а) $y = x^2 - 2x + 3$

1. Это квадратичная функция. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.
$x_0 = -b / (2a) = -(-2) / (2 \cdot 1) = 2 / 2 = 1$.
$y_0 = y(x_0) = y(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$.
Вершина параболы находится в точке $(1, 2)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = 1$.

3. Найдем точки пересечения с осями координат.
С осью OY: при $x=0$, $y = 0^2 - 2 \cdot 0 + 3 = 3$. Точка пересечения — $(0, 3)$.
С осью OX: решим уравнение $x^2 - 2x + 3 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.
Так как $D < 0$, действительных корней нет, и парабола не пересекает ось OX. Это согласуется с тем, что вершина находится в точке $(1, 2)$ (выше оси OX) и ветви направлены вверх.

4. Составим таблицу значений, выбрав точки симметрично относительно оси $x = 1$.

$x$	-1	0	1	2	3
$y$	6	3	2	3	6

Отмечаем найденные точки на координатной плоскости и соединяем их плавной линией.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(1, 2)$, ветви которой направлены вверх. Парабола пересекает ось OY в точке $(0, 3)$ и не пересекает ось OX.

---

б) $y = x^2 + 4x$

1. Это квадратичная функция. Коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.
$x_0 = -b / (2a) = -4 / (2 \cdot 1) = -2$.
$y_0 = y(-2) = (-2)^2 + 4(-2) = 4 - 8 = -4$.
Вершина параболы находится в точке $(-2, -4)$. Ось симметрии — прямая $x = -2$.

3. Найдем точки пересечения с осями координат.
С осью OY: при $x=0$, $y = 0^2 + 4 \cdot 0 = 0$. Точка пересечения — $(0, 0)$ (начало координат).
С осью OX: решим уравнение $x^2 + 4x = 0$.
$x(x + 4) = 0$. Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = -4$.
Точки пересечения — $(0, 0)$ и $(-4, 0)$.

4. Составим таблицу значений, выбрав точки симметрично относительно оси $x = -2$.

$x$	-4	-3	-2	-1	0
$y$	0	-3	-4	-3	0

Отмечаем найденные точки на координатной плоскости и строим параболу.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(-2, -4)$, ветви которой направлены вверх. Парабола пересекает оси координат в точках $(0, 0)$ и $(-4, 0)$.

---

в) $y = x^2 + 6x + 8$

1. Это квадратичная функция. Коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.
$x_0 = -b / (2a) = -6 / (2 \cdot 1) = -3$.
$y_0 = y(-3) = (-3)^2 + 6(-3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1$.
Вершина параболы находится в точке $(-3, -1)$. Ось симметрии — прямая $x = -3$.

3. Найдем точки пересечения с осями координат.
С осью OY: при $x=0$, $y = 0^2 + 6 \cdot 0 + 8 = 8$. Точка пересечения — $(0, 8)$.
С осью OX: решим уравнение $x^2 + 6x + 8 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -6$, $x_1 \cdot x_2 = 8$. Корни: $x_1 = -4$, $x_2 = -2$.
Точки пересечения — $(-4, 0)$ и $(-2, 0)$.

4. Составим таблицу значений, выбрав точки симметрично относительно оси $x = -3$.

$x$	-5	-4	-3	-2	-1
$y$	3	0	-1	0	3

Отмечаем найденные точки на координатной плоскости и строим параболу.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(-3, -1)$, ветви которой направлены вверх. Парабола пересекает ось OY в точке $(0, 8)$ и ось OX в точках $(-4, 0)$ и $(-2, 0)$.

---

г) $y = x^2 - 4x + 4$

1. Это квадратичная функция. Коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Можно заметить, что выражение является полным квадратом: $y = (x-2)^2$.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.
$x_0 = -b / (2a) = -(-4) / (2 \cdot 1) = 4 / 2 = 2$.
$y_0 = y(2) = 2^2 - 4(2) + 4 = 4 - 8 + 4 = 0$.
Вершина параболы находится в точке $(2, 0)$. Ось симметрии — прямая $x = 2$.

3. Найдем точки пересечения с осями координат.
С осью OY: при $x=0$, $y = 0^2 - 4 \cdot 0 + 4 = 4$. Точка пересечения — $(0, 4)$.
С осью OX: решим уравнение $x^2 - 4x + 4 = 0$, или $(x-2)^2 = 0$.
Уравнение имеет один корень $x = 2$.
Парабола касается оси OX в своей вершине, в точке $(2, 0)$.

4. Составим таблицу значений, выбрав точки симметрично относительно оси $x = 2$.

$x$	0	1	2	3	4
$y$	4	1	0	1	4

Отмечаем найденные точки на координатной плоскости и строим параболу. График этой функции — это график параболы $y = x^2$, смещенный на 2 единицы вправо вдоль оси OX.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(2, 0)$, ветви которой направлены вверх. Парабола пересекает ось OY в точке $(0, 4)$ и касается оси OX в точке $(2, 0)$.