Номер 155, страница 64 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.4 График функции у=аx²+bх+с. Глава 2. Квадратичная функция - номер 155, страница 64.

155 Постройте график функции:

а) $y = 2x^2 - 4x + 5$;

б) $y = x^2 + 4x + 6$;

в) $y = -\frac{1}{2}x^2 - 4x - 9$.

Воспользуйтесь следующим планом:

1) найдите координаты вершины параболы;

2) отметьте вершину в координатной плоскости и проведите ось симметрии параболы;

3) определите направление ветвей;

4) вычислите координаты нескольких точек параболы и отметьте их в координатной плоскости;

5) проведите параболу.

а) $y = 2x^2 - 4x + 5$

Для построения графика данной функции, которая является параболой, воспользуемся предложенным планом.

1. найдите координаты вершины параболы;
   Функция задана в виде $y = ax^2 + bx + c$, где $a = 2$, $b = -4$, $c = 5$.
   Координата $x_v$ вершины находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.
   $x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.
   Координату $y_v$ найдем, подставив $x_v=1$ в уравнение функции:
   $y_v = 2(1)^2 - 4(1) + 5 = 2 - 4 + 5 = 3$.
   Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1, 3)$.
2. отметьте вершину в координатной плоскости и проведите ось симметрии параболы;
   Вершина параболы — точка $(1, 3)$.
   Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через ее вершину. Уравнение оси симметрии: $x = 1$.
3. определите направление ветвей;
   Коэффициент при $x^2$ равен $a = 2$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
4. вычислите координаты нескольких точек параболы и отметьте их в координатной плоскости;
   Найдем точку пересечения с осью OY, для этого подставим $x = 0$:
   $y(0) = 2(0)^2 - 4(0) + 5 = 5$. Точка $(0, 5)$.
   Найдем симметричную ей точку относительно оси симметрии $x=1$. Ее абсцисса будет $x = 2$. Ордината та же, $y=5$. Точка $(2, 5)$.
   Проверим: $y(2) = 2(2)^2 - 4(2) + 5 = 8 - 8 + 5 = 5$.
   Возьмем еще одну точку, например, при $x = -1$:
   $y(-1) = 2(-1)^2 - 4(-1) + 5 = 2 + 4 + 5 = 11$. Точка $(-1, 11)$.
   Симметричная ей точка имеет абсциссу $x = 3$. Точка $(3, 11)$.
   Мы имеем следующие точки для построения: вершина $(1, 3)$ и точки $(0, 5)$, $(2, 5)$, $(-1, 11)$, $(3, 11)$.
5. проведите параболу.
   Отметив найденные точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, получим график функции $y = 2x^2 - 4x + 5$.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(1, 3)$, ветви которой направлены вверх. Ось симметрии — прямая $x = 1$. Парабола проходит через точки $(0, 5)$ и $(2, 5)$.

б) $y = x^2 + 4x + 6$

Для построения графика данной параболы следуем плану.

1. найдите координаты вершины параболы;
   Функция задана в виде $y = ax^2 + bx + c$, где $a = 1$, $b = 4$, $c = 6$.
   Координата $x_v$ вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.
   Координата $y_v$ вершины: $y_v = (-2)^2 + 4(-2) + 6 = 4 - 8 + 6 = 2$.
   Вершина параболы находится в точке $(-2, 2)$.
2. отметьте вершину в координатной плоскости и проведите ось симметрии параболы;
   Вершина параболы — точка $(-2, 2)$.
   Ось симметрии параболы имеет уравнение $x = -2$.
3. определите направление ветвей;
   Коэффициент $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
4. вычислите координаты нескольких точек параболы и отметьте их в координатной плоскости;
   Найдем y-пересечение (при $x = 0$):
   $y(0) = 0^2 + 4(0) + 6 = 6$. Точка $(0, 6)$.
   Симметричная точка относительно оси $x=-2$ имеет абсциссу $x = -4$. Точка $(-4, 6)$.
   Проверим: $y(-4) = (-4)^2 + 4(-4) + 6 = 16 - 16 + 6 = 6$.
   Возьмем еще одну точку, например, при $x = -1$:
   $y(-1) = (-1)^2 + 4(-1) + 6 = 1 - 4 + 6 = 3$. Точка $(-1, 3)$.
   Симметричная ей точка имеет абсциссу $x = -3$. Точка $(-3, 3)$.
   Имеем точки: вершина $(-2, 2)$ и точки $(0, 6)$, $(-4, 6)$, $(-1, 3)$, $(-3, 3)$.
5. проведите параболу.
   Построим график, отметив вычисленные точки и соединив их плавной кривой.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(-2, 2)$, ветви которой направлены вверх. Ось симметрии — прямая $x = -2$. Парабола проходит через точки $(-1, 3)$ и $(-3, 3)$.

в) $y = -\frac{1}{2}x^2 - 4x - 9$

Построим график, выполняя шаги по плану.

1. найдите координаты вершины параболы;
   Для функции $y = ax^2 + bx + c$ имеем коэффициенты $a = -\frac{1}{2}$, $b = -4$, $c = -9$.
   Координата $x_v$ вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = -\frac{-4}{-1} = -4$.
   Координата $y_v$ вершины: $y_v = -\frac{1}{2}(-4)^2 - 4(-4) - 9 = -\frac{1}{2}(16) + 16 - 9 = -8 + 16 - 9 = -1$.
   Вершина параболы находится в точке $(-4, -1)$.
2. отметьте вершину в координатной плоскости и проведите ось симметрии параболы;
   Вершина параболы — точка $(-4, -1)$.
   Ось симметрии параболы — прямая $x = -4$.
3. определите направление ветвей;
   Коэффициент $a = -\frac{1}{2}$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
4. вычислите координаты нескольких точек параболы и отметьте их в координатной плоскости;
   Найдем y-пересечение (при $x = 0$):
   $y(0) = -\frac{1}{2}(0)^2 - 4(0) - 9 = -9$. Точка $(0, -9)$.
   Симметричная точка относительно оси $x=-4$ имеет абсциссу $x = -8$. Точка $(-8, -9)$.
   Проверим: $y(-8) = -\frac{1}{2}(-8)^2 - 4(-8) - 9 = -32 + 32 - 9 = -9$.
   Возьмем еще одну точку, например, при $x = -2$:
   $y(-2) = -\frac{1}{2}(-2)^2 - 4(-2) - 9 = -\frac{1}{2}(4) + 8 - 9 = -2 + 8 - 9 = -3$. Точка $(-2, -3)$.
   Симметричная ей точка имеет абсциссу $x = -6$. Точка $(-6, -3)$.
   Имеем точки: вершина $(-4, -1)$ и точки $(0, -9)$, $(-8, -9)$, $(-2, -3)$, $(-6, -3)$.
5. проведите параболу.
   Построим график, отметив вычисленные точки и соединив их плавной кривой, обращенной ветвями вниз.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(-4, -1)$, ветви которой направлены вниз. Ось симметрии — прямая $x = -4$. Парабола проходит через точки $(-2, -3)$ и $(-6, -3)$.