Номер 162, страница 65 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.4 График функции у=аx²+bх+с. Глава 2. Квадратичная функция - номер 162, страница 65.

162 Мяч падает с высоты 20 м с начальной скоростью, равной нулю.

1) Запишите уравнение, которое задает соотношение между высотой $h$ (м) мяча над землёй и временем падения $t$ (с).

2) Начертите график зависимости высоты от времени падения (возьмите удобный масштаб по осям).

3) По графику определите:

а) сколько примерно времени будет падать мяч;

б) когда он падает быстрее — в первую секунду или во вторую;

в) на каком расстоянии от земли окажется мяч через 1,5 с.

1) Запишите уравнение, которое задает соотношение между высотой h (м) мяча над землёй и временем падения t (с).

Движение падающего мяча является равноускоренным. Высота тела над землей $h$ в момент времени $t$ при свободном падении без начальной скорости описывается формулой:
$h(t) = h_0 - \frac{gt^2}{2}$
где $h_0$ — начальная высота, $g$ — ускорение свободного падения, $t$ — время падения.

По условию задачи, начальная высота $h_0 = 20$ м. Ускорение свободного падения $g$ принимаем равным примерно $10$ м/с², что является стандартным допущением для упрощения расчетов в школьных задачах (более точное значение $g \approx 9,8$ м/с²).

Подставляем известные значения в формулу:
$h(t) = 20 - \frac{10t^2}{2}$
$h(t) = 20 - 5t^2$

Это уравнение является квадратичной функцией, которая связывает высоту мяча над землей $h$ (в метрах) и время падения $t$ (в секундах).

Ответ: Уравнение, задающее соотношение между высотой мяча над землёй и временем падения: $h(t) = 20 - 5t^2$.

---

2) Начертите график зависимости высоты от времени падения (возьмите удобный масштаб по осям).

Для построения графика функции $h(t) = 20 - 5t^2$ найдем несколько точек, принадлежащих этому графику. Физический смысл имеют только значения при $t \ge 0$ и $h \ge 0$.

Найдем время, когда мяч достигнет земли, то есть когда $h(t) = 0$:
$20 - 5t^2 = 0$
$5t^2 = 20$
$t^2 = 4$
$t = 2$ с (так как время не может быть отрицательным).
Следовательно, нам нужно построить график на интервале времени $t \in [0, 2]$.

Составим таблицу значений:

$t$ (с)	0	0,5	1	1,5	2
$h$ (м)	20	18,75	15	8,75	0

Графиком является часть параболы с вершиной в точке $(0, 20)$ и ветвями, направленными вниз.

Ответ: График зависимости высоты от времени представлен выше.

---

3) По графику определите:

а) сколько примерно времени будет падать мяч;

Время падения мяча — это момент времени $t$, когда высота $h$ становится равной нулю. На графике это точка пересечения кривой с горизонтальной осью времени (осью абсцисс). Из графика видно, что это происходит при $t = 2$ с.

Ответ: Мяч будет падать примерно 2 секунды.

б) когда он падает быстрее — в первую секунду или во вторую;

Чтобы определить, когда мяч падает быстрее, нужно сравнить расстояние, которое он пролетел за каждый интервал времени. Скорость падения тем больше, чем круче идет график (чем сильнее изменяется высота за единицу времени).

• За первую секунду (от $t=0$ до $t=1$ с) высота изменилась с 20 м до 15 м. Пройденный путь: $\Delta h_1 = h(0) - h(1) = 20 - 15 = 5$ м.
• За вторую секунду (от $t=1$ до $t=2$ с) высота изменилась с 15 м до 0 м. Пройденный путь: $\Delta h_2 = h(1) - h(2) = 15 - 0 = 15$ м.

Поскольку за вторую секунду мяч пролетел большее расстояние ($15$ м > $5$ м), его скорость во вторую секунду была выше. На графике видно, что наклон кривой на интервале $[1, 2]$ значительно больше, чем на интервале $[0, 1]$.

Ответ: Мяч падает быстрее во вторую секунду.

в) на каком расстоянии от земли окажется мяч через 1,5 с.

Чтобы найти это значение по графику, нужно найти на горизонтальной оси точку $t=1,5$ с, провести от нее вертикальную линию до пересечения с графиком, а затем от точки пересечения провести горизонтальную линию до вертикальной оси высот. На графике эта точка отмечена зеленым цветом. Линия указывает на значение между 5 м и 10 м, ближе к 10 м.

Точное значение можно найти по нашей формуле:
$h(1,5) = 20 - 5 \cdot (1,5)^2 = 20 - 5 \cdot 2,25 = 20 - 11,25 = 8,75$ м.

Ответ: Через 1,5 с мяч окажется на расстоянии 8,75 м от земли.