Номер 156, страница 64 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.4 График функции у=аx²+bх+с. Глава 2. Квадратичная функция - номер 156, страница 64.

156 Постройте график функции:

а) $y = x^2 - 4x + 3;$

б) $y = -x^2 + 4x - 3;$

в) $y = 0,5x^2 + x - 4;$

г) $y = -0,5x^2 - x + 4;$

д) $y = x^2 - 6x + 11;$

е) $y = -x^2 + 6x - 11.$

В каждом случае укажите:

1) наибольшее (или наименьшее) значение функции;

2) промежутки возрастания и убывания функции;

3) значения $x$, при которых $y = 0$, $y > 0$, $y < 0$.

а) $y = x^2 - 4x + 3$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент $a = 1 > 0$, поэтому ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$

$y_в = y(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$

Вершина параболы находится в точке $(2, -1)$. Ось симметрии: $x=2$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью Oy: при $x=0$, $y = 0^2 - 4 \cdot 0 + 3 = 3$. Точка пересечения $(0, 3)$.

С осью Ox (нули функции): при $y=0$, $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 3$. Точки пересечения $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

Для построения графика используем точки: вершина $(2, -1)$, точки пересечения с осями $(0, 3)$, $(1, 0)$, $(3, 0)$ и симметричную точке $(0, 3)$ точку $(4, 3)$.

1) наибольшее (или наименьшее) значение функции

Так как ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение в вершине: $y_{наим} = -1$.

2) промежутки возрастания и убывания функции

Функция убывает на промежутке $(-\infty, 2]$ и возрастает на промежутке $[2, +\infty)$.

3) значения x, при которых y = 0, y > 0, y < 0

$y = 0$ при $x = 1$ и $x = 3$.

$y > 0$ (график выше оси Ox) при $x \in (-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$.

$y < 0$ (график ниже оси Ox) при $x \in (1, 3)$.

Ответ: 1) наименьшее значение $y_{наим}=-1$; 2) возрастает на $[2, +\infty)$, убывает на $(-\infty, 2]$; 3) $y=0$ при $x=1, x=3$; $y>0$ при $x \in (-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$; $y<0$ при $x \in (1, 3)$.

---

б) $y = -x^2 + 4x - 3$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент $a = -1 < 0$, поэтому ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$

$y_в = y(2) = -(2^2) + 4 \cdot 2 - 3 = -4 + 8 - 3 = 1$

Вершина параболы находится в точке $(2, 1)$. Ось симметрии: $x=2$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью Oy: при $x=0$, $y = -0^2 + 4 \cdot 0 - 3 = -3$. Точка пересечения $(0, -3)$.

С осью Ox (нули функции): при $y=0$, $-x^2 + 4x - 3 = 0$, или $x^2 - 4x + 3 = 0$. Корни $x_1 = 1$, $x_2 = 3$. Точки пересечения $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

Для построения графика используем точки: вершина $(2, 1)$, точки пересечения с осями $(0, -3)$, $(1, 0)$, $(3, 0)$ и симметричную точке $(0, -3)$ точку $(4, -3)$.

1) наибольшее (или наименьшее) значение функции

Так как ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее значение в вершине: $y_{наиб} = 1$.

2) промежутки возрастания и убывания функции

Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 2]$ и убывает на промежутке $[2, +\infty)$.

3) значения x, при которых y = 0, y > 0, y < 0

$y = 0$ при $x = 1$ и $x = 3$.

$y > 0$ (график выше оси Ox) при $x \in (1, 3)$.

$y < 0$ (график ниже оси Ox) при $x \in (-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$.

Ответ: 1) наибольшее значение $y_{наиб}=1$; 2) возрастает на $(-\infty, 2]$, убывает на $[2, +\infty)$; 3) $y=0$ при $x=1, x=3$; $y>0$ при $x \in (1, 3)$; $y<0$ при $x \in (-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$.

---

в) $y = 0,5x^2 + x - 4$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент $a = 0,5 > 0$, поэтому ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot 0,5} = -1$

$y_в = y(-1) = 0,5(-1)^2 + (-1) - 4 = 0,5 - 1 - 4 = -4,5$

Вершина параболы находится в точке $(-1, -4,5)$. Ось симметрии: $x=-1$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью Oy: при $x=0$, $y = -4$. Точка пересечения $(0, -4)$.

С осью Ox (нули функции): при $y=0$, $0,5x^2 + x - 4 = 0$. Умножим на 2: $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -4$, $x_2 = 2$. Точки пересечения $(-4, 0)$ и $(2, 0)$.

Для построения графика используем точки: вершина $(-1, -4,5)$ и точки пересечения с осями $(0, -4)$, $(-4, 0)$, $(2, 0)$.

1) наибольшее (или наименьшее) значение функции

Так как ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение в вершине: $y_{наим} = -4,5$.

2) промежутки возрастания и убывания функции

Функция убывает на промежутке $(-\infty, -1]$ и возрастает на промежутке $[-1, +\infty)$.

3) значения x, при которых y = 0, y > 0, y < 0

$y = 0$ при $x = -4$ и $x = 2$.

$y > 0$ при $x \in (-\infty, -4) \cup (2, +\infty)$.

$y < 0$ при $x \in (-4, 2)$.

Ответ: 1) наименьшее значение $y_{наим}=-4,5$; 2) возрастает на $[-1, +\infty)$, убывает на $(-\infty, -1]$; 3) $y=0$ при $x=-4, x=2$; $y>0$ при $x \in (-\infty, -4) \cup (2, +\infty)$; $y<0$ при $x \in (-4, 2)$.

---

г) $y = -0,5x^2 - x + 4$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент $a = -0,5 < 0$, поэтому ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot (-0,5)} = -1$

$y_в = y(-1) = -0,5(-1)^2 - (-1) + 4 = -0,5 + 1 + 4 = 4,5$

Вершина параболы находится в точке $(-1, 4,5)$. Ось симметрии: $x=-1$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью Oy: при $x=0$, $y = 4$. Точка пересечения $(0, 4)$.

С осью Ox (нули функции): при $y=0$, $-0,5x^2 - x + 4 = 0$. Умножим на -2: $x^2 + 2x - 8 = 0$. Корни $x_1 = -4$, $x_2 = 2$. Точки пересечения $(-4, 0)$ и $(2, 0)$.

Для построения графика используем точки: вершина $(-1, 4,5)$ и точки пересечения с осями $(0, 4)$, $(-4, 0)$, $(2, 0)$.

1) наибольшее (или наименьшее) значение функции

Так как ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее значение в вершине: $y_{наиб} = 4,5$.

2) промежутки возрастания и убывания функции

Функция возрастает на промежутке $(-\infty, -1]$ и убывает на промежутке $[-1, +\infty)$.

3) значения x, при которых y = 0, y > 0, y < 0

$y = 0$ при $x = -4$ и $x = 2$.

$y > 0$ при $x \in (-4, 2)$.

$y < 0$ при $x \in (-\infty, -4) \cup (2, +\infty)$.

Ответ: 1) наибольшее значение $y_{наиб}=4,5$; 2) возрастает на $(-\infty, -1]$, убывает на $[-1, +\infty)$; 3) $y=0$ при $x=-4, x=2$; $y>0$ при $x \in (-4, 2)$; $y<0$ при $x \in (-\infty, -4) \cup (2, +\infty)$.

---

д) $y = x^2 - 6x + 11$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент $a = 1 > 0$, поэтому ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$

$y_в = y(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 11 = 9 - 18 + 11 = 2$

Вершина параболы находится в точке $(3, 2)$. Ось симметрии: $x=3$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью Oy: при $x=0$, $y = 11$. Точка пересечения $(0, 11)$.

С осью Ox (нули функции): при $y=0$, $x^2 - 6x + 11 = 0$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 36 - 44 = -8$. Так как $D < 0$, действительных корней нет, парабола не пересекает ось Ox.

Для построения графика используем вершину $(3, 2)$, точку $(0, 11)$ и симметричную ей точку $(6, 11)$.

1) наибольшее (или наименьшее) значение функции

Так как ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение в вершине: $y_{наим} = 2$.

2) промежутки возрастания и убывания функции

Функция убывает на промежутке $(-\infty, 3]$ и возрастает на промежутке $[3, +\infty)$.

3) значения x, при которых y = 0, y > 0, y < 0

$y = 0$: нет таких значений $x$.

$y > 0$: так как вершина находится в точке $(3, 2)$ и ветви направлены вверх, вся парабола лежит выше оси Ox. Таким образом, $y > 0$ при всех действительных $x$, то есть $x \in (-\infty, +\infty)$.

$y < 0$: нет таких значений $x$.

Ответ: 1) наименьшее значение $y_{наим}=2$; 2) возрастает на $[3, +\infty)$, убывает на $(-\infty, 3]$; 3) $y=0$ - нет решений; $y>0$ при $x \in (-\infty, +\infty)$; $y<0$ - нет решений.

---

е) $y = -x^2 + 6x - 11$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент $a = -1 < 0$, поэтому ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3$

$y_в = y(3) = -(3^2) + 6 \cdot 3 - 11 = -9 + 18 - 11 = -2$

Вершина параболы находится в точке $(3, -2)$. Ось симметрии: $x=3$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью Oy: при $x=0$, $y = -11$. Точка пересечения $(0, -11)$.

С осью Ox (нули функции): при $y=0$, $-x^2 + 6x - 11 = 0$, или $x^2 - 6x + 11 = 0$. Дискриминант $D = -8 < 0$, действительных корней нет, парабола не пересекает ось Ox.

Для построения графика используем вершину $(3, -2)$, точку $(0, -11)$ и симметричную ей точку $(6, -11)$.

1) наибольшее (или наименьшее) значение функции

Так как ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее значение в вершине: $y_{наиб} = -2$.

2) промежутки возрастания и убывания функции

Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 3]$ и убывает на промежутке $[3, +\infty)$.

3) значения x, при которых y = 0, y > 0, y < 0

$y = 0$: нет таких значений $x$.

$y > 0$: нет таких значений $x$.

$y < 0$: так как вершина находится в точке $(3, -2)$ и ветви направлены вниз, вся парабола лежит ниже оси Ox. Таким образом, $y < 0$ при всех действительных $x$, то есть $x \in (-\infty, +\infty)$.

Ответ: 1) наибольшее значение $y_{наиб}=-2$; 2) возрастает на $(-\infty, 3]$, убывает на $[3, +\infty)$; 3) $y=0$ - нет решений; $y>0$ - нет решений; $y<0$ при $x \in (-\infty, +\infty)$.