Номер 159, страница 65 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.4 График функции у=аx²+bх+с. Глава 2. Квадратичная функция - номер 159, страница 65.

159 Постройте график функции на заданном промежутке; укажите наименьшее и наибольшее значения функции; укажите область значений функции:

а) $y = 2x^2 - 6x + 4$; $[0; 2]$

б) $y = -2x^2 + 4x + 6$; $[-1; 2]$

в) $y = -\frac{1}{2}x^2 - 2x - 5$; $[-4; 1]$

г) $y = \frac{1}{4}x^2 + x + 1$; $[-4; 2]$

Для решения задачи необходимо для каждой квадратичной функции найти координаты ее вершины, вычислить значения функции в вершине и на концах заданного промежутка, а затем из этих значений выбрать наименьшее и наибольшее. Область значений функции на отрезке будет заключена между найденными наименьшим и наибольшим значениями.

а) $y = 2x^2 - 6x + 4$ на промежутке $[0; 2]$

1. Анализ функции и построение графика.
Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент $a=2 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Наименьшее значение на промежутке функция будет принимать либо в вершине параболы (если она попадает в промежуток), либо на одном из концов промежутка.

2. Нахождение вершины параболы.
Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$.
$x_в = -\frac{-6}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1.5$.
Так как $0 \le 1.5 \le 2$, вершина параболы находится внутри заданного промежутка.

3. Вычисление значений функции.
Найдем значение функции в вершине и на концах промежутка $[0; 2]$.
Значение в вершине (это будет наименьшее значение):
$y(1.5) = 2 \cdot (1.5)^2 - 6 \cdot 1.5 + 4 = 2 \cdot 2.25 - 9 + 4 = 4.5 - 9 + 4 = -0.5$.
Значения на концах промежутка:
$y(0) = 2 \cdot 0^2 - 6 \cdot 0 + 4 = 4$.
$y(2) = 2 \cdot 2^2 - 6 \cdot 2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0$.

4. Определение наименьшего, наибольшего и области значений.
Сравниваем полученные значения: $y(1.5)=-0.5$, $y(0)=4$, $y(2)=0$.
Наименьшее значение функции на промежутке $[0; 2]$: $y_{наим} = -0.5$.
Наибольшее значение функции на промежутке $[0; 2]$: $y_{наиб} = 4$.
Область значений функции на данном промежутке: $E(y) = [-0.5; 4]$.

Ответ: наименьшее значение функции -0.5, наибольшее значение функции 4, область значений [-0.5; 4].

б) $y = -2x^2 + 4x + 6$ на промежутке $[-1; 2]$

1. Анализ функции и построение графика.
Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент $a=-2 < 0$. Наибольшее значение на промежутке функция будет принимать либо в вершине, либо на одном из концов.

2. Нахождение вершины параболы.
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-2)} = -\frac{4}{-4} = 1$.
Так как $-1 \le 1 \le 2$, вершина параболы находится внутри заданного промежутка.

3. Вычисление значений функции.
Значение в вершине (это будет наибольшее значение):
$y(1) = -2 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 + 6 = -2 + 4 + 6 = 8$.
Значения на концах промежутка:
$y(-1) = -2 \cdot (-1)^2 + 4 \cdot (-1) + 6 = -2 - 4 + 6 = 0$.
$y(2) = -2 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 + 6 = -8 + 8 + 6 = 6$.

4. Определение наименьшего, наибольшего и области значений.
Сравниваем значения: $y(1)=8$, $y(-1)=0$, $y(2)=6$.
Наименьшее значение функции: $y_{наим} = 0$.
Наибольшее значение функции: $y_{наиб} = 8$.
Область значений функции: $E(y) = [0; 8]$.

Ответ: наименьшее значение функции 0, наибольшее значение функции 8, область значений [0; 8].

в) $y = -\frac{1}{2}x^2 - 2x - 5$ на промежутке $[-4; 1]$

1. Анализ функции и построение графика.
Парабола, ветви которой направлены вниз, так как $a=-\frac{1}{2} < 0$.

2. Нахождение вершины параболы.
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = -\frac{-2}{-1} = -2$.
Так как $-4 \le -2 \le 1$, вершина параболы находится внутри заданного промежутка.

3. Вычисление значений функции.
Значение в вершине (наибольшее значение):
$y(-2) = -\frac{1}{2} \cdot (-2)^2 - 2 \cdot (-2) - 5 = -\frac{1}{2} \cdot 4 + 4 - 5 = -2 + 4 - 5 = -3$.
Значения на концах промежутка:
$y(-4) = -\frac{1}{2} \cdot (-4)^2 - 2 \cdot (-4) - 5 = -\frac{1}{2} \cdot 16 + 8 - 5 = -8 + 8 - 5 = -5$.
$y(1) = -\frac{1}{2} \cdot 1^2 - 2 \cdot 1 - 5 = -0.5 - 2 - 5 = -7.5$.

4. Определение наименьшего, наибольшего и области значений.
Сравниваем значения: $y(-2)=-3$, $y(-4)=-5$, $y(1)=-7.5$.
Наименьшее значение функции: $y_{наим} = -7.5$.
Наибольшее значение функции: $y_{наиб} = -3$.
Область значений функции: $E(y) = [-7.5; -3]$.

Ответ: наименьшее значение функции -7.5, наибольшее значение функции -3, область значений [-7.5; -3].

г) $y = \frac{1}{4}x^2 + x + 1$ на промежутке $[-4; 2]$

1. Анализ функции и построение графика.
Парабола, ветви которой направлены вверх, так как $a=\frac{1}{4} > 0$.

2. Нахождение вершины параболы.
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot \frac{1}{4}} = -\frac{1}{\frac{1}{2}} = -2$.
Так как $-4 \le -2 \le 2$, вершина параболы находится внутри заданного промежутка.

3. Вычисление значений функции.
Значение в вершине (наименьшее значение):
$y(-2) = \frac{1}{4} \cdot (-2)^2 + (-2) + 1 = \frac{1}{4} \cdot 4 - 2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$.
Значения на концах промежутка:
$y(-4) = \frac{1}{4} \cdot (-4)^2 + (-4) + 1 = \frac{1}{4} \cdot 16 - 4 + 1 = 4 - 4 + 1 = 1$.
$y(2) = \frac{1}{4} \cdot 2^2 + 2 + 1 = \frac{1}{4} \cdot 4 + 2 + 1 = 1 + 2 + 1 = 4$.

4. Определение наименьшего, наибольшего и области значений.
Сравниваем значения: $y(-2)=0$, $y(-4)=1$, $y(2)=4$.
Наименьшее значение функции: $y_{наим} = 0$.
Наибольшее значение функции: $y_{наиб} = 4$.
Область значений функции: $E(y) = [0; 4]$.

Ответ: наименьшее значение функции 0, наибольшее значение функции 4, область значений [0; 4].