Номер 165, страница 68 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.5 Квадратные неравенства. Глава 2. Квадратичная функция - номер 165, страница 68.

165 Вычислите абсциссы точек пересечения параболы с осью $x$, изобразите параболу схематически и отметьте на оси $x$ значения аргумента, при которых $y = 0$; $y < 0$; $y > 0$:

a) $y = x^2 - 1$;

б) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 2$;

в) $y = x^2 + 4x - 5$;

г) $y = x^2 - 6x + 5$;

д) $y = x^2 - 5x + 6$;

е) $y = -x^2 + x + 2$.

В каждом случае проверьте себя, подставив в формулу какое-нибудь значение из найденного множества.

а) Для параболы $y = x^2 - 1$:
Найдем абсциссы точек пересечения с осью $x$, приравняв $y$ к нулю: $x^2 - 1 = 0$. Отсюда $x^2 = 1$, значит, $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.
Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$). Схематически парабола пересекает ось $x$ в точках $-1$ и $1$.
Следовательно, на оси $x$ отмечаем:
$y = 0$ при $x = -1$ и $x = 1$.
$y < 0$ на интервале между корнями: $x \in (-1, 1)$.
$y > 0$ на интервалах вне корней: $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.
Проверка: возьмем $x=0$ из интервала $(-1, 1)$, получаем $y = 0^2 - 1 = -1 < 0$. Возьмем $x=2$ из интервала $(1, \infty)$, получаем $y = 2^2 - 1 = 3 > 0$. Решение верное.
Ответ: Абсциссы точек пересечения: $-1, 1$. $y=0$ при $x \in \{-1, 1\}$; $y<0$ при $x \in (-1, 1)$; $y>0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

б) Для параболы $y = -\frac{1}{2}x^2 + 2$:
Найдем абсциссы точек пересечения с осью $x$: $-\frac{1}{2}x^2 + 2 = 0 \implies \frac{1}{2}x^2 = 2 \implies x^2 = 4$. Корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.
Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a = -1/2 < 0$). Схематически парабола пересекает ось $x$ в точках $-2$ и $2$.
Следовательно, на оси $x$ отмечаем:
$y = 0$ при $x = -2$ и $x = 2$.
$y > 0$ на интервале между корнями: $x \in (-2, 2)$.
$y < 0$ на интервалах вне корней: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.
Проверка: возьмем $x=0 \in (-2, 2)$, получаем $y = -\frac{1}{2}(0)^2 + 2 = 2 > 0$. Возьмем $x=3 \in (2, \infty)$, получаем $y = -\frac{1}{2}(3)^2 + 2 = -4.5 + 2 = -2.5 < 0$. Решение верное.
Ответ: Абсциссы точек пересечения: $-2, 2$. $y=0$ при $x \in \{-2, 2\}$; $y>0$ при $x \in (-2, 2)$; $y<0$ при $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.

в) Для параболы $y = x^2 + 4x - 5$:
Найдем абсциссы точек пересечения с осью $x$: $x^2 + 4x - 5 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант $D = 4^2 - 4(1)(-5) = 16+20=36$) находим корни: $x_1 = -5$ и $x_2 = 1$.
Ветви параболы направлены вверх ($a=1>0$). Парабола пересекает ось $x$ в точках $-5$ и $1$.
Следовательно, на оси $x$ отмечаем:
$y = 0$ при $x = -5$ и $x = 1$.
$y < 0$ на интервале между корнями: $x \in (-5, 1)$.
$y > 0$ на интервалах вне корней: $x \in (-\infty, -5) \cup (1, \infty)$.
Проверка: возьмем $x=0 \in (-5, 1)$, получаем $y = 0^2 + 4(0) - 5 = -5 < 0$. Возьмем $x=2 \in (1, \infty)$, получаем $y = 2^2 + 4(2) - 5 = 4+8-5 = 7 > 0$. Решение верное.
Ответ: Абсциссы точек пересечения: $-5, 1$. $y=0$ при $x \in \{-5, 1\}$; $y<0$ при $x \in (-5, 1)$; $y>0$ при $x \in (-\infty, -5) \cup (1, \infty)$.

г) Для параболы $y = x^2 - 6x + 5$:
Найдем абсциссы точек пересечения с осью $x$: $x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета (сумма корней 6, произведение 5) находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.
Ветви параболы направлены вверх ($a=1>0$). Парабола пересекает ось $x$ в точках $1$ и $5$.
Следовательно, на оси $x$ отмечаем:
$y = 0$ при $x = 1$ и $x = 5$.
$y < 0$ на интервале между корнями: $x \in (1, 5)$.
$y > 0$ на интервалах вне корней: $x \in (-\infty, 1) \cup (5, \infty)$.
Проверка: возьмем $x=2 \in (1, 5)$, получаем $y = 2^2 - 6(2) + 5 = 4 - 12 + 5 = -3 < 0$. Возьмем $x=0 \in (-\infty, 1)$, получаем $y = 0^2 - 6(0) + 5 = 5 > 0$. Решение верное.
Ответ: Абсциссы точек пересечения: $1, 5$. $y=0$ при $x \in \{1, 5\}$; $y<0$ при $x \in (1, 5)$; $y>0$ при $x \in (-\infty, 1) \cup (5, \infty)$.

д) Для параболы $y = x^2 - 5x + 6$:
Найдем абсциссы точек пересечения с осью $x$: $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета (сумма корней 5, произведение 6) находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.
Ветви параболы направлены вверх ($a=1>0$). Парабола пересекает ось $x$ в точках $2$ и $3$.
Следовательно, на оси $x$ отмечаем:
$y = 0$ при $x = 2$ и $x = 3$.
$y < 0$ на интервале между корнями: $x \in (2, 3)$.
$y > 0$ на интервалах вне корней: $x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$.
Проверка: возьмем $x=2.5 \in (2, 3)$, получаем $y = (2.5)^2 - 5(2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25 < 0$. Возьмем $x=0 \in (-\infty, 2)$, получаем $y = 0^2 - 5(0) + 6 = 6 > 0$. Решение верное.
Ответ: Абсциссы точек пересечения: $2, 3$. $y=0$ при $x \in \{2, 3\}$; $y<0$ при $x \in (2, 3)$; $y>0$ при $x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$.

е) Для параболы $y = -x^2 + x + 2$:
Найдем абсциссы точек пересечения с осью $x$: $-x^2 + x + 2 = 0 \implies x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета (сумма корней 1, произведение -2) находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.
Ветви параболы направлены вниз ($a=-1<0$). Парабола пересекает ось $x$ в точках $-1$ и $2$.
Следовательно, на оси $x$ отмечаем:
$y = 0$ при $x = -1$ и $x = 2$.
$y > 0$ на интервале между корнями: $x \in (-1, 2)$.
$y < 0$ на интервалах вне корней: $x \in (-\infty, -1) \cup (2, \infty)$.
Проверка: возьмем $x=0 \in (-1, 2)$, получаем $y = -0^2 + 0 + 2 = 2 > 0$. Возьмем $x=3 \in (2, \infty)$, получаем $y = -(3)^2 + 3 + 2 = -9 + 5 = -4 < 0$. Решение верное.
Ответ: Абсциссы точек пересечения: $-1, 2$. $y=0$ при $x \in \{-1, 2\}$; $y>0$ при $x \in (-1, 2)$; $y<0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (2, \infty)$.