Номер 172, страница 68 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.5 Квадратные неравенства. Глава 2. Квадратичная функция - номер 172, страница 68.

Решите неравенство (167–173):

а) $4x(x + 2) < 5;$

б) $3x(1 - x) \le -6;$

в) $(2x + 1)(x + 1) > 3;$

г) $(1 - 2x)(1 - 3x) \le 2.$

Подсказка. Приведите неравенство к виду квадратного неравенства.

а) Исходное неравенство: $4x(x + 2) < 5$.
Раскроем скобки в левой части: $4x^2 + 8x < 5$.
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство: $4x^2 + 8x - 5 < 0$.
Для решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $4x^2 + 8x - 5 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 64 + 80 = 144$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{144}}{2 \cdot 4} = \frac{-8 - 12}{8} = \frac{-20}{8} = -2.5$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{144}}{2 \cdot 4} = \frac{-8 + 12}{8} = \frac{4}{8} = 0.5$.
Графиком функции $y = 4x^2 + 8x - 5$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($4 > 0$). Неравенство $y < 0$ выполняется между корнями.
Следовательно, решением неравенства является интервал, заключенный между корнями.
Ответ: $x \in (-2.5; 0.5)$.

б) Исходное неравенство: $3x(1 - x) \le -6$.
Раскроем скобки: $3x - 3x^2 \le -6$.
Перенесем все члены в левую часть: $-3x^2 + 3x + 6 \le 0$.
Для удобства разделим обе части неравенства на $-3$ и сменим знак неравенства на противоположный: $x^2 - x - 2 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.
Или через дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.
$x_1 = \frac{1 - 3}{2} = -1$.
$x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$.
Графиком функции $y = x^2 - x - 2$ является парабола с ветвями вверх ($a = 1 > 0$). Неравенство $y \ge 0$ выполняется при значениях $x$ левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.
Следовательно, решение неравенства - это объединение двух лучей.
Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup [2; +\infty)$.

в) Исходное неравенство: $(2x + 1)(x + 1) > 3$.
Раскроем скобки: $2x^2 + 2x + x + 1 > 3$.
Приведем подобные члены и перенесем все в левую часть: $2x^2 + 3x + 1 - 3 > 0$, что дает $2x^2 + 3x - 2 > 0$.
Решим уравнение $2x^2 + 3x - 2 = 0$.
Дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$.
$x_2 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$.
Графиком функции $y = 2x^2 + 3x - 2$ является парабола с ветвями вверх ($a = 2 > 0$). Неравенство $y > 0$ выполняется при значениях $x$ вне интервала между корнями.
Следовательно, решение неравенства - это объединение двух открытых лучей.
Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (0.5; +\infty)$.

г) Исходное неравенство: $(1 - 2x)(1 - 3x) \le 2$.
Раскроем скобки: $1 - 3x - 2x + 6x^2 \le 2$.
Приведем подобные члены и перенесем все в левую часть: $6x^2 - 5x + 1 - 2 \le 0$, что дает $6x^2 - 5x - 1 \le 0$.
Решим уравнение $6x^2 - 5x - 1 = 0$.
Дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{5 - 7}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$.
$x_2 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{5 + 7}{12} = \frac{12}{12} = 1$.
Графиком функции $y = 6x^2 - 5x - 1$ является парабола с ветвями вверх ($a = 6 > 0$). Неравенство $y \le 0$ выполняется между корнями, включая сами корни.
Следовательно, решением неравенства является отрезок.
Ответ: $x \in [-\frac{1}{6}; 1]$.