Номер 177, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.5 Квадратные неравенства. Глава 2. Квадратичная функция - номер 177, страница 69.

177 Найтите решения неравенства:

а) $5x^2 \geq 4x + 1$, принадлежащие промежутку $[-2; 2]$.

б) $5x - 1 > 4x^2$, принадлежащие промежутку $[\frac{1}{3}; \frac{3}{2}]$.

а)

Сначала решим квадратное неравенство $5x^2 \ge 4x + 1$. Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартный вид:

$5x^2 - 4x - 1 \ge 0$

Далее найдем корни соответствующего квадратного уравнения $5x^2 - 4x - 1 = 0$. Для этого воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения через дискриминант.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36$

Теперь найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{4 - 6}{10} = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{4 + 6}{10} = \frac{10}{10} = 1$

Графиком функции $y = 5x^2 - 4x - 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=5 > 0$). Следовательно, неравенство $5x^2 - 4x - 1 \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится левее меньшего корня или правее большего корня, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty; -\frac{1}{5}] \cup [1; +\infty)$.

По условию задачи, нам нужно найти те решения, которые принадлежат промежутку $[-2; 2]$. Для этого найдем пересечение множества решений неравенства с этим промежутком:

$(-\infty; -\frac{1}{5}] \cup [1; +\infty) \cap [-2; 2]$

Пересечение дает нам объединение двух отрезков: $[-2; -\frac{1}{5}]$ и $[1; 2]$.

Ответ: $x \in [-2; -\frac{1}{5}] \cup [1; 2]$.

б)

Решим неравенство $5x - 1 > 4x^2$. Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное неравенство в стандартном виде:

$0 > 4x^2 - 5x + 1$, что эквивалентно $4x^2 - 5x + 1 < 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $4x^2 - 5x + 1 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 - 3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 + 3}{8} = \frac{8}{8} = 1$

Графиком функции $y = 4x^2 - 5x + 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=4 > 0$). Неравенство $4x^2 - 5x + 1 < 0$ выполняется для значений $x$, находящихся строго между корнями.

Решением неравенства является интервал $x \in (\frac{1}{4}; 1)$.

Теперь найдем решения, принадлежащие заданному промежутку $[\frac{1}{3}; \frac{3}{2}]$. Для этого найдем пересечение интервала $(\frac{1}{4}; 1)$ с отрезком $[\frac{1}{3}; \frac{3}{2}] $.

Сравним границы промежутков: $\frac{1}{4} = 0.25$, а $\frac{1}{3} \approx 0.333$. Так как $\frac{1}{4} < \frac{1}{3}$ и $1 < \frac{3}{2}$, то пересечением будет промежуток, начинающийся с $\frac{1}{3}$ (включительно) и заканчивающийся $1$ (не включительно).

$(\frac{1}{4}; 1) \cap [\frac{1}{3}; \frac{3}{2}] = [\frac{1}{3}; 1)$

Ответ: $x \in [\frac{1}{3}; 1)$.