Номер 180, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.5 Квадратные неравенства. Глава 2. Квадратичная функция - номер 180, страница 69.

180 Функция задана формулой $y = f(x)$. Найдите область определения функции:

а) $f(x) = \frac{\sqrt{9 - x^2}}{x}$;

б) $f(x) = \frac{\sqrt{3x(x + 2)}}{x - 2}$;

в) $f(x) = \frac{\sqrt{6 + x - x^2}}{x^2}$;

г) $f(x) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x^2 - 1}$;

д) $f(x) = \frac{\sqrt{4 - x^2}}{x^2 - 1}$;

е) $f(x) = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x^2 - 4}$.

а) $f(x) = \frac{\sqrt{9 - x^2}}{x}$

Область определения функции (ОДЗ) находится из двух условий: выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен быть равен нулю. Составим систему:

$\begin{cases} 9 - x^2 \ge 0 \\ x \neq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $9 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 9 \implies -3 \le x \le 3$. Это интервал $x \in [-3, 3]$.

Теперь учтем второе условие $x \neq 0$. Мы должны исключить точку $x=0$ из найденного интервала.

Ответ: $x \in [-3, 0) \cup (0, 3]$.

б) $f(x) = \frac{\sqrt{3x(x + 2)}}{x - 2}$

Область определения функции задается системой условий:

$\begin{cases} 3x(x + 2) \ge 0 \\ x - 2 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство $3x(x + 2) \ge 0$. Корни левой части: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \le -2$ или $x \ge 0$. Это соответствует объединению интервалов $(-\infty, -2] \cup [0, +\infty)$.

Из второго условия получаем $x \neq 2$. Исключаем это значение из найденного множества.

Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [0, 2) \cup (2, +\infty)$.

в) $f(x) = \frac{\sqrt{6 + x - x^2}}{x^2}$

Область определения функции задается системой условий:

$\begin{cases} 6 + x - x^2 \ge 0 \\ x^2 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство $6 + x - x^2 \ge 0$. Умножим на -1, чтобы получить стандартный вид: $x^2 - x - 6 \le 0$. Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $(x-3)(x+2) \le 0$ выполняется между корнями: $-2 \le x \le 3$. Это интервал $x \in [-2, 3]$.

Второе условие $x^2 \neq 0$ означает $x \neq 0$. Исключаем эту точку из интервала $[-2, 3]$.

Ответ: $x \in [-2, 0) \cup (0, 3]$.

г) $f(x) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x^2 - 1}$

Область определения функции задается системой условий:

$\begin{cases} 1 - x^2 \ge 0 \\ x^2 - 1 \neq 0 \end{cases}$

Первое неравенство $1 - x^2 \ge 0$ эквивалентно $x^2 \le 1$, что дает $-1 \le x \le 1$.

Второе условие $x^2 - 1 \neq 0$ означает, что $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Объединяя условия, мы должны взять интервал $[-1, 1]$ и исключить из него концы. Это дает строгий интервал.

Ответ: $x \in (-1, 1)$.

д) $f(x) = \frac{\sqrt{4 - x^2}}{x^2 - 1}$

Область определения функции задается системой условий:

$\begin{cases} 4 - x^2 \ge 0 \\ x^2 - 1 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $4 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 4 \implies -2 \le x \le 2$. Это интервал $x \in [-2, 2]$.

Второе условие $x^2 - 1 \neq 0$ означает $x^2 \neq 1$, то есть $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Мы должны исключить точки $x=1$ и $x=-1$ из интервала $[-2, 2]$.

Ответ: $x \in [-2, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, 2]$.

е) $f(x) = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x^2 - 4}$

Область определения функции задается системой условий:

$\begin{cases} x^2 - 1 \ge 0 \\ x^2 - 4 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство $x^2 - 1 \ge 0 \implies x^2 \ge 1$. Это выполняется, когда $x \le -1$ или $x \ge 1$. В виде интервалов: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$.

Второе условие $x^2 - 4 \neq 0$ означает $x^2 \neq 4$, то есть $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Теперь исключим точки $x=2$ и $x=-2$ из найденного множества. Точка $x=-2$ находится в интервале $(-\infty, -1]$, а точка $x=2$ находится в интервале $[1, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, -1] \cup [1, 2) \cup (2, +\infty)$.