Номер 179, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.5 Квадратные неравенства. Глава 2. Квадратичная функция - номер 179, страница 69.

179 Найдите допустимые значения переменной в выражении:

а) $\sqrt{7x^2 + 6x - 1}$;

б) $\sqrt{4 + x - 0,5x^2}$;

в) $\sqrt{\frac{x^2}{8} + \frac{x}{4} - 1}$;

г) $\sqrt{3 - \frac{1}{2}x^2}$.

а) Чтобы найти допустимые значения переменной для выражения $\sqrt{7x^2 + 6x - 1}$, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Составим и решим неравенство:
$7x^2 + 6x - 1 \geq 0$
Это квадратное неравенство. Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $7x^2 + 6x - 1 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-1) = 36 + 28 = 64 = 8^2$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - 8}{2 \cdot 7} = \frac{-14}{14} = -1$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + 8}{2 \cdot 7} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$
Графиком функции $y = 7x^2 + 6x - 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 7, что больше 0). Следовательно, значения функции неотрицательны на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.
Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, -1] \cup [\frac{1}{7}, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [\frac{1}{7}, +\infty)$.

б) Выражение $\sqrt{4 + x - 0,5x^2}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно. Решим неравенство:
$4 + x - 0,5x^2 \geq 0$
Умножим обе части неравенства на -2, чтобы избавиться от дробного коэффициента и сделать старший коэффициент положительным. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$-8 - 2x + x^2 \leq 0$
$x^2 - 2x - 8 \leq 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант):
$x_1 + x_2 = 2$
$x_1 \cdot x_2 = -8$
Корни: $x_1 = -2$, $x_2 = 4$.
Графиком функции $y = x^2 - 2x - 8$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции неположительны (меньше или равны нулю) на отрезке между корнями.
Следовательно, решение неравенства: $x \in [-2, 4]$.
Ответ: $x \in [-2, 4]$.

в) Найдем допустимые значения для выражения $\sqrt{\frac{x^2}{8} + \frac{x}{4} - 1}$. Потребуем, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:
$\frac{x^2}{8} + \frac{x}{4} - 1 \geq 0$
Умножим обе части неравенства на 8, чтобы избавиться от дробей:
$x^2 + 2x - 8 \geq 0$
Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -2$
$x_1 \cdot x_2 = -8$
Корни: $x_1 = -4$, $x_2 = 2$.
Графиком функции $y = x^2 + 2x - 8$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции неотрицательны на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня.
Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, -4] \cup [2, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -4] \cup [2, +\infty)$.

г) Для выражения $\sqrt{3 - \frac{1}{2}x^2}$ допустимые значения переменной определяются неравенством:
$3 - \frac{1}{2}x^2 \geq 0$
Перенесем член с $x^2$ в правую часть:
$3 \geq \frac{1}{2}x^2$
Умножим обе части на 2:
$6 \geq x^2$, что то же самое, что и $x^2 \leq 6$.
Это неравенство эквивалентно двойному неравенству $-\sqrt{6} \leq x \leq \sqrt{6}$.
Следовательно, допустимые значения переменной принадлежат отрезку $[-\sqrt{6}, \sqrt{6}]$.
Ответ: $x \in [-\sqrt{6}, \sqrt{6}]$.