Номер 176, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.5 Квадратные неравенства. Глава 2. Квадратичная функция - номер 176, страница 69.

176 a) Найдите положительные решения неравенства $x^2 + 2x - 2 < 0$.

б) Найдите отрицательные решения неравенства $x^2 - 2x - 1 < 0$.

а)

Чтобы найти положительные решения неравенства $x^2 + 2x - 2 < 0$, первым шагом решим само это неравенство. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 2x - 2 = 0$.

Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения. Сначала вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$.

Теперь найдем корни:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$.

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = -1 - \sqrt{3}$ и $x_2 = -1 + \sqrt{3}$.

Графиком функции $y = x^2 + 2x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Следовательно, значения функции меньше нуля ($y < 0$) на интервале между корнями.

Решением неравенства $x^2 + 2x - 2 < 0$ является интервал $(-1 - \sqrt{3}; -1 + \sqrt{3})$.

Согласно условию задачи, нам нужно найти только положительные решения, то есть те значения $x$, которые удовлетворяют условию $x > 0$. Для этого найдем пересечение полученного интервала $(-1 - \sqrt{3}; -1 + \sqrt{3})$ с интервалом $(0; +\infty)$.

Так как $-1 - \sqrt{3}$ является отрицательным числом, а $-1 + \sqrt{3}$ — положительным (поскольку $\sqrt{3} \approx 1.732$), то пересечением будет интервал $(0; -1 + \sqrt{3})$.

Ответ: $(0; \sqrt{3} - 1)$.

б)

Чтобы найти отрицательные решения неравенства $x^2 - 2x - 1 < 0$, сначала решим данное неравенство. Для этого найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 1 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$.

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.

Корни уравнения: $x_1 = 1 - \sqrt{2}$ и $x_2 = 1 + \sqrt{2}$.

Ветви параболы $y = x^2 - 2x - 1$ направлены вверх ($a=1 > 0$), поэтому неравенство $x^2 - 2x - 1 < 0$ выполняется для всех $x$, находящихся между корнями.

Решением неравенства является интервал $(1 - \sqrt{2}; 1 + \sqrt{2})$.

По условию, нам необходимо найти отрицательные решения, то есть те, что удовлетворяют условию $x < 0$. Найдем пересечение интервала решений $(1 - \sqrt{2}; 1 + \sqrt{2})$ с множеством отрицательных чисел $(-\infty; 0)$.

Оценим значения корней: $1 - \sqrt{2} \approx 1 - 1.414 = -0.414$ (отрицательное число), а $1 + \sqrt{2} \approx 1 + 1.414 = 2.414$ (положительное число). Таким образом, общая часть двух интервалов — это промежуток от левого корня до нуля.

Искомый интервал отрицательных решений: $(1 - \sqrt{2}; 0)$.

Ответ: $(1 - \sqrt{2}; 0)$.