Номер 171, страница 68 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.5 Квадратные неравенства. Глава 2. Квадратичная функция - номер 171, страница 68.

Решите неравенство (167–173):

171

a) $3x^2 - 10x + 4 < 1;$

Б) $-3x^2 + 7x + 4 < -2;$

В) $-5x^2 + 4x + 11 > 10;$

Г) $6x^2 + 7x - 2 > -3.$

а)

Исходное неравенство: $3x^2 - 10x + 4 < 1$.

Сначала перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратичное неравенство в стандартном виде:

$3x^2 - 10x + 4 - 1 < 0$

$3x^2 - 10x + 3 < 0$

Теперь решим соответствующее квадратное уравнение $3x^2 - 10x + 3 = 0$, чтобы найти его корни. Корни этого уравнения являются точками, в которых парабола $y = 3x^2 - 10x + 3$ пересекает ось Ox.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$.

Графиком функции $y = 3x^2 - 10x + 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a = 3 > 0$).

Неравенство $3x^2 - 10x + 3 < 0$ выполняется на интервале между корнями, так как на этом интервале парабола находится ниже оси Ox.

Следовательно, решение неравенства: $x \in (\frac{1}{3}, 3)$.

Ответ: $(\frac{1}{3}, 3)$.

б)

Исходное неравенство: $-3x^2 + 7x + 4 < -2$.

Перенесем все члены в левую часть:

$-3x^2 + 7x + 4 + 2 < 0$

$-3x^2 + 7x + 6 < 0$

Для удобства умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$3x^2 - 7x - 6 > 0$

Теперь решим соответствующее квадратное уравнение $3x^2 - 7x - 6 = 0$, чтобы найти его корни.

Найдем дискриминант:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-7) - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 11}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$.

$x_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 11}{6} = \frac{18}{6} = 3$.

Графиком функции $y = 3x^2 - 7x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=3 > 0$).

Неравенство $3x^2 - 7x - 6 > 0$ выполняется за пределами интервала между корнями, где парабола находится выше оси Ox.

Следовательно, решение неравенства: $x \in (-\infty, -\frac{2}{3}) \cup (3, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, -\frac{2}{3}) \cup (3, +\infty)$.

в)

Исходное неравенство: $-5x^2 + 4x + 11 > 10$.

Перенесем все члены в левую часть:

$-5x^2 + 4x + 11 - 10 > 0$

$-5x^2 + 4x + 1 > 0$

Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства:

$5x^2 - 4x - 1 < 0$

Решим соответствующее квадратное уравнение $5x^2 - 4x - 1 = 0$.

Найдем дискриминант:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-4) - \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{4 - 6}{10} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}$.

$x_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{4 + 6}{10} = \frac{10}{10} = 1$.

Графиком функции $y = 5x^2 - 4x - 1$ является парабола с ветвями вверх ($a=5 > 0$).

Неравенство $5x^2 - 4x - 1 < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $x \in (-\frac{1}{5}, 1)$.

Ответ: $(-\frac{1}{5}, 1)$.

г)

Исходное неравенство: $6x^2 + 7x - 2 > -3$.

Перенесем все члены в левую часть:

$6x^2 + 7x - 2 + 3 > 0$

$6x^2 + 7x + 1 > 0$

Решим соответствующее квадратное уравнение $6x^2 + 7x + 1 = 0$.

Найдем дискриминант:

$D = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 49 - 24 = 25$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-7 - 5}{12} = \frac{-12}{12} = -1$.

$x_2 = \frac{-7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-7 + 5}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$.

Графиком функции $y = 6x^2 + 7x + 1$ является парабола с ветвями вверх ($a=6 > 0$).

Неравенство $6x^2 + 7x + 1 > 0$ выполняется за пределами интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $x \in (-\infty, -1) \cup (-\frac{1}{6}, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, -1) \cup (-\frac{1}{6}, +\infty)$.