Номер 169, страница 68 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.5 Квадратные неравенства. Глава 2. Квадратичная функция - номер 169, страница 68.

Решите неравенство (167-173):

169 а) $x^2 - 4x + 7 \le 0;$

б) $-x^2 + 4x - 5 \ge 0;$

в) $x^2 + 3 > 0;$

г) $-x^2 - 2 \le 0;$

д) $-3x^2 \le 0;$

е) $2x^2 > 0.$

а) $x^2 - 4x + 7 \le 0$

Это квадратичное неравенство. Рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = x^2 - 4x + 7$. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 4x + 7 = 0$, чтобы определить, пересекает ли парабола ось абсцисс.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = -12$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, у уравнения нет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ox.

Так как ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось Ox, вся парабола расположена выше оси Ox. Следовательно, значение выражения $x^2 - 4x + 7$ всегда положительно для любого действительного значения $x$.

Неравенство $x^2 - 4x + 7 \le 0$ требует, чтобы выражение было меньше или равно нулю, что невозможно. Таким образом, у неравенства нет решений.

Ответ: нет решений.

б) $-x^2 + 4x - 5 \ge 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = -x^2 + 4x - 5$. График — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ равен -1, что меньше нуля.

Найдем корни уравнения $-x^2 + 4x - 5 = 0$. Умножим обе части на -1 для удобства: $x^2 - 4x + 5 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.

Так как $D < 0$, у уравнения нет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox.

Поскольку ветви параболы направлены вниз и она не пересекает ось Ox, вся парабола находится ниже оси Ox. Это означает, что выражение $-x^2 + 4x - 5$ всегда отрицательно.

Неравенство $-x^2 + 4x - 5 \ge 0$ требует, чтобы выражение было больше или равно нулю, что невозможно. Следовательно, неравенство не имеет решений.

Ответ: нет решений.

в) $x^2 + 3 > 0$

Выражение $x^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$ для любого $x$.

Если к неотрицательному числу прибавить 3, результат будет не меньше 3: $x^2 + 3 \ge 3$.

Любое число, которое больше или равно 3, очевидно, больше 0. Таким образом, неравенство $x^2 + 3 > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$.

Ответ: $x$ - любое число, или $x \in (-\infty; +\infty)$.

г) $-x^2 - 2 \le 0$

Для любого действительного числа $x$ верно $x^2 \ge 0$.

Умножим обе части на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $-x^2 \le 0$.

Теперь вычтем 2 из обеих частей: $-x^2 - 2 \le -2$.

Так как любое число, которое меньше или равно -2, также будет меньше или равно 0, то неравенство $-x^2 - 2 \le 0$ справедливо для любого действительного числа $x$.

Ответ: $x$ - любое число, или $x \in (-\infty; +\infty)$.

д) $-3x^2 \le 0$

Разделим обе части неравенства на -3. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$x^2 \ge \frac{0}{-3}$

$x^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (больше или равен нулю). Следовательно, это неравенство верно для любого действительного числа $x$.

Ответ: $x$ - любое число, или $x \in (-\infty; +\infty)$.

е) $2x^2 > 0$

Разделим обе части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$x^2 > 0$

Квадрат действительного числа $x^2$ равен нулю только в том случае, если $x=0$. Для всех остальных действительных чисел $x \ne 0$, их квадрат $x^2$ будет строго положительным.

Следовательно, неравенство $x^2 > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x=0$.

Ответ: $x \ne 0$, или $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.