Номер 163, страница 65 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.4 График функции у=аx²+bх+с. Глава 2. Квадратичная функция - номер 163, страница 65.

163 а) На рисунке 2.25 изображено кольцо, радиус внешнего круга которого равен 2. Запишите формулу, выражающую зависимость площади A кольца от радиуса внутреннего круга x. Выполните следующие задания.

1) Начертите график зависимости A от x.

2) Какова область определения рассматриваемой функции?

3) Опишите, как меняется площадь A кольца с изменением x от 0 до 2; от 0 до 1; от 1 до 2.

б) На рисунке 2.26 изображено кольцо, радиус внешнего круга которого равен 2. Запишите формулу, выражающую зависимость площади A кольца от его ширины x. Выполните следующие задания.

1) Начертите график зависимости A от x.

2) Какова область определения рассматриваемой функции?

3) Опишите, как меняется площадь A кольца с изменением x от 0 до 2; от 0 до 1; от 1 до 2.

Подсказка. Воспользуйтесь формулой площади круга $S = \pi r^2$, где $r$ — радиус круга, $\pi \approx 3$.

а)

Площадь кольца $A$ вычисляется как разность площадей внешнего и внутреннего кругов. Согласно рисунку 2.25, радиус внешнего круга $R=2$, а радиус внутреннего круга равен $x$. Используя формулу площади круга $S = \pi r^2$ и подсказку $\pi \approx 3$, получаем:

Площадь внешнего круга: $S_{внешн} = \pi R^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$.

Площадь внутреннего круга: $S_{внутр} = \pi x^2$.

Площадь кольца $A$ как функция от $x$: $A(x) = S_{внешн} - S_{внутр} = 4\pi - \pi x^2 = \pi(4 - x^2)$.

С учетом $\pi \approx 3$, итоговая формула: $A(x) = 3(4 - x^2) = 12 - 3x^2$.

1) График зависимости $A(x) = 12 - 3x^2$ является частью параболы с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 12)$. Поскольку область определения $x \in [0, 2]$, график начинается в точке $(0, 12)$, проходит через точку $(1, 9)$ (поскольку $A(1) = 12 - 3 \cdot 1^2 = 9$), и заканчивается в точке $(2, 0)$ на оси абсцисс (поскольку $A(2) = 12 - 3 \cdot 2^2 = 0$). Ответ: График функции $A(x) = 12 - 3x^2$ на отрезке $[0, 2]$ является частью параболы с ветвями, направленными вниз, которая начинается в точке $(0, 12)$ и заканчивается в точке $(2, 0)$.

2) Область определения функции — это множество всех допустимых значений переменной $x$. Так как $x$ — это радиус, он не может быть отрицательным ($x \ge 0$). Кроме того, внутренний круг не может быть больше внешнего, поэтому его радиус $x$ не может превышать радиус внешнего круга $R=2$ ($x \le 2$). Таким образом, область определения функции — это отрезок $[0, 2]$. Ответ: Область определения функции $A(x)$ есть отрезок $[0, 2]$.

3) Для анализа изменения площади найдем производную функции $A(x) = 12 - 3x^2$: $A'(x) = -6x$. На интервале $(0, 2]$ производная отрицательна ($A'(x) < 0$), следовательно, функция монотонно убывает. При изменении $x$ от 0 до 2, площадь $A$ кольца убывает с $A(0)=12$ до $A(2)=0$. На промежутке от 0 до 1, площадь $A$ убывает с 12 до $A(1)=9$. На промежутке от 1 до 2, площадь $A$ продолжает убывать с 9 до 0. Ответ: С увеличением $x$ от 0 до 2 площадь $A$ монотонно убывает с 12 до 0. На интервале от 0 до 1 площадь убывает с 12 до 9, а на интервале от 1 до 2 — с 9 до 0.

б)

Согласно рисунку 2.26, радиус внешнего круга $R=2$, а $x$ — это ширина кольца. Ширина связана с радиусами соотношением $x = R - r$, где $r$ — радиус внутреннего круга. Отсюда $r = R - x = 2 - x$. Площадь кольца $A$ равна:

$A(x) = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (2^2) - \pi (2 - x)^2 = \pi(4 - (4 - 4x + x^2)) = \pi(4x - x^2)$.

С учетом $\pi \approx 3$, итоговая формула: $A(x) = 3(4x - x^2) = 12x - 3x^2$.

1) График зависимости $A(x) = 12x - 3x^2$ является частью параболы с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x_v = -b/(2a) = -12/(2 \cdot (-3)) = 2$. Ордината вершины $A(2) = 12(2) - 3(2^2) = 24 - 12 = 12$. График начинается в точке $(0, 0)$ (ширина и площадь равны нулю), проходит через точку $(1, 9)$ (поскольку $A(1) = 12(1) - 3(1^2) = 9$) и достигает максимума в своей вершине $(2, 12)$. Ответ: График функции $A(x) = 12x - 3x^2$ на отрезке $[0, 2]$ является частью параболы с ветвями, направленными вниз, которая начинается в точке $(0, 0)$ и достигает вершины в точке $(2, 12)$.

2) Область определения функции — это множество всех допустимых значений $x$. Ширина кольца $x$ не может быть отрицательной ($x \ge 0$). Также ширина $x$ не может превышать радиус внешнего круга $R=2$, так как $x = R - r$ и $r \ge 0$. Следовательно, область определения — это отрезок $[0, 2]$. Ответ: Область определения функции $A(x)$ есть отрезок $[0, 2]$.

3) Для анализа изменения площади найдем производную функции $A(x) = 12x - 3x^2$: $A'(x) = 12 - 6x = 6(2 - x)$. На интервале $[0, 2)$ производная положительна ($A'(x) > 0$), следовательно, функция монотонно возрастает. При изменении $x$ от 0 до 2, площадь $A$ кольца возрастает с $A(0)=0$ до $A(2)=12$. На промежутке от 0 до 1, площадь $A$ возрастает с 0 до $A(1)=9$. На промежутке от 1 до 2, площадь $A$ продолжает возрастать с 9 до 12. Ответ: С увеличением $x$ от 0 до 2 площадь $A$ монотонно возрастает с 0 до 12. На интервале от 0 до 1 площадь возрастает с 0 до 9, а на интервале от 1 до 2 — с 9 до 12.