Номер 170, страница 68 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.5 Квадратные неравенства. Глава 2. Квадратичная функция - номер 170, страница 68.

Решите неравенство (167–173):

170 а) $x^2 < 25;$

б) $x^2 \ge \frac{1}{4};$

в) $-2x^2 < -18;$

г) $x^2 + 1 \ge 5;$

д) $2x > x^2;$

е) $x^2 \le x;$

ж) $x < x^2;$

з) $0,5x^2 > -3x;$

и) $9 \le x^2;$

к) $-x^2 \ge -100;$

л) $\frac{1}{2}x^2 < 50;$

м) $6,4 > 0,1x^2.$

а) $x^2 < 25$
Перенесем все члены неравенства в левую часть:
$x^2 - 25 < 0$
Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:
$(x - 5)(x + 5) < 0$
Найдем корни соответствующего уравнения $(x-5)(x+5)=0$. Корни: $x_1 = 5$, $x_2 = -5$.
Нанесем корни на числовую ось. Так как неравенство строгое, точки выколотые. Они разбивают ось на три интервала: $(-\infty, -5)$, $(-5, 5)$ и $(5, +\infty)$.
Определим знаки выражения в интервалах. График функции $y = x^2 - 25$ — это парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между корнями.
Таким образом, решение неравенства — это интервал $(-5, 5)$.
Ответ: $x \in (-5, 5)$.

б) $x^2 \geq \frac{1}{4}$
Перенесем все члены неравенства в левую часть:
$x^2 - \frac{1}{4} \geq 0$
Разложим левую часть на множители:
$(x - \frac{1}{2})(x + \frac{1}{2}) \geq 0$
Найдем корни уравнения $(x - \frac{1}{2})(x + \frac{1}{2}) = 0$. Корни: $x_1 = \frac{1}{2}$, $x_2 = -\frac{1}{2}$.
Нанесем корни на числовую ось. Так как неравенство нестрогое, точки закрашенные. Они разбивают ось на интервалы: $(-\infty, -\frac{1}{2}]$, $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ и $[\frac{1}{2}, +\infty)$.
График функции $y = x^2 - \frac{1}{4}$ — парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает неотрицательные значения вне интервала между корнями.
Решением являются интервалы, где выражение больше или равно нулю.
Ответ: $x \in (-\infty, -1/2] \cup [1/2, +\infty)$.

в) $-2x^2 < -18$
Разделим обе части неравенства на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 > 9$
Перенесем 9 в левую часть:
$x^2 - 9 > 0$
Разложим на множители:
$(x - 3)(x + 3) > 0$
Корни соответствующего уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = -3$.
Парабола $y = x^2 - 9$ имеет ветви вверх, поэтому она положительна вне интервала между корнями.
Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$.

г) $x^2 + 1 \geq 5$
Перенесем 5 в левую часть:
$x^2 + 1 - 5 \geq 0$
$x^2 - 4 \geq 0$
Разложим на множители:
$(x - 2)(x + 2) \geq 0$
Корни соответствующего уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = -2$.
Парабола $y = x^2 - 4$ имеет ветви вверх и пересекает ось Ох в точках -2 и 2. Неотрицательные значения функция принимает при $x$ вне отрезка между корнями.
Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$.

д) $2x > x^2$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 > x^2 - 2x$
Или, что то же самое:
$x^2 - 2x < 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x - 2) < 0$
Корни уравнения $x(x - 2) = 0$: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.
Парабола $y = x^2 - 2x$ имеет ветви вверх, поэтому она отрицательна между корнями.
Ответ: $x \in (0, 2)$.

е) $x^2 \leq x$
Перенесем $x$ в левую часть:
$x^2 - x \leq 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x - 1) \leq 0$
Корни уравнения $x(x - 1) = 0$: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$.
Парабола $y = x^2 - x$ имеет ветви вверх, поэтому она принимает неположительные значения на отрезке между корнями.
Ответ: $x \in [0, 1]$.

ж) $x < x^2$
Перенесем $x$ в правую часть:
$0 < x^2 - x$
$x^2 - x > 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x - 1) > 0$
Корни уравнения $x(x-1)=0$: $x_1=0$, $x_2=1$.
Парабола $y = x^2 - x$ имеет ветви вверх, поэтому она положительна вне интервала между корнями.
Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$.

з) $0,5x^2 > -3x$
Перенесем $-3x$ в левую часть:
$0,5x^2 + 3x > 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(0,5x + 3) > 0$
Найдем корни уравнения $x(0,5x + 3) = 0$.
$x_1 = 0$ или $0,5x + 3 = 0 \Rightarrow 0,5x = -3 \Rightarrow x_2 = -6$.
Коэффициент при $x^2$ равен 0,5 (положительный), значит, ветви параболы $y = 0,5x^2 + 3x$ направлены вверх. Следовательно, выражение положительно вне интервала между корнями $(-6, 0)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -6) \cup (0, +\infty)$.

и) $9 \leq x^2$
Это неравенство эквивалентно $x^2 \geq 9$.
$x^2 - 9 \geq 0$
$(x - 3)(x + 3) \geq 0$
Корни: $x_1 = 3$, $x_2 = -3$.
Парабола $y = x^2 - 9$ имеет ветви вверх, поэтому выражение неотрицательно вне отрезка между корнями.
Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, +\infty)$.

к) $-x^2 \geq -100$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$x^2 \leq 100$
$x^2 - 100 \leq 0$
$(x - 10)(x + 10) \leq 0$
Корни: $x_1 = 10$, $x_2 = -10$.
Парабола $y = x^2 - 100$ имеет ветви вверх, поэтому выражение неположительно на отрезке между корнями.
Ответ: $x \in [-10, 10]$.

л) $\frac{1}{2}x^2 < 50$
Умножим обе части на 2:
$x^2 < 100$
$x^2 - 100 < 0$
$(x - 10)(x + 10) < 0$
Корни: $x_1 = 10$, $x_2 = -10$.
Парабола $y = x^2 - 100$ имеет ветви вверх, поэтому выражение отрицательно на интервале между корнями.
Ответ: $x \in (-10, 10)$.

м) $6,4 > 0,1x^2$
Это неравенство эквивалентно $0,1x^2 < 6,4$.
Умножим обе части на 10:
$x^2 < 64$
$x^2 - 64 < 0$
$(x - 8)(x + 8) < 0$
Корни: $x_1 = 8$, $x_2 = -8$.
Парабола $y = x^2 - 64$ имеет ветви вверх, поэтому выражение отрицательно на интервале между корнями.
Ответ: $x \in (-8, 8)$.