Номер 166, страница 68 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.5 Квадратные неравенства. Глава 2. Квадратичная функция - номер 166, страница 68.

166 Найдите множество решений каждого из данных неравенств:

a) $x^2 + 4x - 21 < 0$ и $x^2 + 4x - 21 > 0$;

б) $x^2 - 4x - 12 > 0$ и $x^2 - 4x - 12 < 0$;

в) $x^2 - 9 < 0$ и $x^2 - 9 > 0$;

г) $x^2 + 10x > 0$ и $x^2 + 10x < 0$.

Подсказка. В качестве образца воспользуйтесь примерами 1 и 2.

а) Решим неравенство $x^2 + 4x - 21 < 0$ и неравенство $x^2 + 4x - 21 > 0$.

Для обоих неравенств найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 4x - 21 = 0$.

Используем теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100 = 10^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-4 - 10}{2} = -7$ и $x_2 = \frac{-4 + 10}{2} = 3$.

Графиком функции $y = x^2 + 4x - 21$ является парабола с ветвями, направленными вверх.

1. Неравенство $x^2 + 4x - 21 < 0$ выполняется, когда парабола находится ниже оси Ox, то есть между корнями. Множество решений: $x \in (-7, 3)$.

2. Неравенство $x^2 + 4x - 21 > 0$ выполняется, когда парабола находится выше оси Ox, то есть за пределами корней. Множество решений: $x \in (-\infty, -7) \cup (3, \infty)$.

Ответ: для $x^2 + 4x - 21 < 0$ множество решений $x \in (-7, 3)$; для $x^2 + 4x - 21 > 0$ множество решений $x \in (-\infty, -7) \cup (3, \infty)$.

б) Решим неравенство $x^2 - 4x - 12 > 0$ и неравенство $x^2 - 4x - 12 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 12 = 0$.

Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 = 8^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{4 - 8}{2} = -2$ и $x_2 = \frac{4 + 8}{2} = 6$.

Графиком функции $y = x^2 - 4x - 12$ является парабола с ветвями, направленными вверх.

1. Неравенство $x^2 - 4x - 12 > 0$ выполняется, когда парабола находится выше оси Ox, то есть за пределами корней. Множество решений: $x \in (-\infty, -2) \cup (6, \infty)$.

2. Неравенство $x^2 - 4x - 12 < 0$ выполняется, когда парабола находится ниже оси Ox, то есть между корнями. Множество решений: $x \in (-2, 6)$.

Ответ: для $x^2 - 4x - 12 > 0$ множество решений $x \in (-\infty, -2) \cup (6, \infty)$; для $x^2 - 4x - 12 < 0$ множество решений $x \in (-2, 6)$.

в) Решим неравенство $x^2 - 9 < 0$ и неравенство $x^2 - 9 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 9 = 0$.

Разложим на множители: $(x - 3)(x + 3) = 0$. Корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$.

Графиком функции $y = x^2 - 9$ является парабола с ветвями, направленными вверх.

1. Неравенство $x^2 - 9 < 0$ выполняется между корнями. Множество решений: $x \in (-3, 3)$.

2. Неравенство $x^2 - 9 > 0$ выполняется за пределами корней. Множество решений: $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.

Ответ: для $x^2 - 9 < 0$ множество решений $x \in (-3, 3)$; для $x^2 - 9 > 0$ множество решений $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.

г) Решим неравенство $x^2 + 10x > 0$ и неравенство $x^2 + 10x < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 10x = 0$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(x + 10) = 0$. Корни: $x_1 = -10$ и $x_2 = 0$.

Графиком функции $y = x^2 + 10x$ является парабола с ветвями, направленными вверх.

1. Неравенство $x^2 + 10x > 0$ выполняется за пределами корней. Множество решений: $x \in (-\infty, -10) \cup (0, \infty)$.

2. Неравенство $x^2 + 10x < 0$ выполняется между корнями. Множество решений: $x \in (-10, 0)$.

Ответ: для $x^2 + 10x > 0$ множество решений $x \in (-\infty, -10) \cup (0, \infty)$; для $x^2 + 10x < 0$ множество решений $x \in (-10, 0)$.