Номер 161, страница 65 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.4 График функции у=аx²+bх+с. Глава 2. Квадратичная функция - номер 161, страница 65.

161 Мяч бросили вертикально вверх с высоты 3 м с начальной скоростью 9 м/с. На какую максимальную высоту поднялся мяч и когда он упал на землю?

Подсказка. Из курса физики вы знаете, что высота $h$, на которой находится мяч, является квадратичной функцией времени полёта $t$. Она вычисляется по формуле $h = -\frac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0$. Подставив в эту формулу значения $v_0$ и $h_0$ и считая, что $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$, получим $h = -4,9t^2 + 9t + 3$ ($h$ — в м, $t$ — в с).

В задаче даны начальные условия движения мяча, брошенного вертикально вверх: начальная высота $h_0 = 3$ м и начальная скорость $v_0 = 9$ м/с. Ускорение свободного падения принимается равным $g \approx 9,8$ м/с².

Высота мяча $h$ в момент времени $t$ описывается квадратичной функцией, которая уже приведена в условии: $h(t) = -4,9t^2 + 9t + 3$

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при $t^2$ отрицательный, $-4,9 < 0$). Нам нужно найти два параметра этого движения.

На какую максимальную высоту поднялся мяч

Максимальная высота, на которую поднимется мяч, соответствует вершине параболы. Сначала найдем время $t_{max}$, в которое будет достигнута эта высота. Координата вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ по оси абсцисс вычисляется по формуле $x_{вершины} = -\frac{b}{2a}$.

В нашем случае $a = -4,9$, $b = 9$.

$t_{max} = -\frac{9}{2 \cdot (-4,9)} = \frac{9}{9,8} \approx 0,92$ с.

Теперь подставим это значение времени в уравнение для высоты, чтобы найти саму максимальную высоту $h_{max}$:

$h_{max} = h(0,92) = -4,9 \cdot (0,92)^2 + 9 \cdot 0,92 + 3$

$h_{max} \approx -4,9 \cdot 0,8464 + 8,28 + 3 \approx -4,15 + 8,28 + 3 \approx 7,13$ м.

Ответ: максимальная высота, на которую поднялся мяч, составляет примерно 7,13 м.

когда он упал на землю?

Мяч упадет на землю в тот момент времени $t$, когда его высота $h$ станет равной нулю. Для этого нам нужно решить квадратное уравнение:

$-4,9t^2 + 9t + 3 = 0$

Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot (-4,9) \cdot 3 = 81 + 58,8 = 139,8$

$\sqrt{D} \approx 11,82$

Теперь найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-9 - 11,82}{2 \cdot (-4,9)} = \frac{-20,82}{-9,8} \approx 2,12$ с.

$t_2 = \frac{-9 + 11,82}{2 \cdot (-4,9)} = \frac{2,82}{-9,8} \approx -0,29$ с.

Так как время не может быть отрицательной величиной, второй корень $t_2$ не имеет физического смысла. Следовательно, мяч упадет на землю через примерно 2,12 секунды после броска.

Ответ: мяч упал на землю примерно через 2,12 с.