Номер 154, страница 64 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.4 График функции у=аx²+bх+с. Глава 2. Квадратичная функция - номер 154, страница 64.

154 Укажите направление ветвей параболы, вычислите координаты вершины и покажите схематически расположение параболы в координатной плоскости.

а) $y = x^2 + 4x - 1$;

б) $y = -2x^2 + 2x - 1$;

в) $y = -x^2 - 14x - 48.$

а) Для параболы $y = x^2 + 4x - 1$:

1. Направление ветвей: коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Координаты вершины: координаты вершины $(x_0, y_0)$ вычисляются по формулам $x_0 = -\frac{b}{2a}$ и $y_0 = y(x_0)$.
Для данной функции $a=1, b=4$.
$x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$
$y_0 = (-2)^2 + 4(-2) - 1 = 4 - 8 - 1 = -5$
Координаты вершины: $(-2, -5)$.

3. Схематическое расположение: Вершина параболы $(-2, -5)$ находится в III координатной четверти. Ветви направлены вверх. Парабола пересекает ось OY в точке $(0, -1)$. Так как вершина находится ниже оси OX, а ветви направлены вверх, парабола пересекает ось OX в двух точках.

Ответ: Ветви направлены вверх, вершина в точке $(-2, -5)$. Схематически парабола имеет вершину в III четверти, а ее ветви направлены вверх.

б) Для параболы $y = -2x^2 + 2x - 1$:

1. Направление ветвей: коэффициент при $x^2$ равен $a = -2$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины: для данной функции $a=-2, b=2$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-2)} = \frac{1}{2}$
$y_0 = -2(\frac{1}{2})^2 + 2(\frac{1}{2}) - 1 = -2(\frac{1}{4}) + 1 - 1 = -\frac{1}{2}$
Координаты вершины: $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$.

3. Схематическое расположение: Вершина параболы $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ находится в IV координатной четверти. Ветви направлены вниз. Так как ордината вершины отрицательна и ветви направлены вниз, вся парабола расположена ниже оси OX и не пересекает ее.

Ответ: Ветви направлены вниз, вершина в точке $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$. Схематически парабола имеет вершину в IV четверти, а ее ветви направлены вниз, график целиком лежит под осью абсцисс.

в) Для параболы $y = -x^2 - 14x - 48$:

1. Направление ветвей: коэффициент при $x^2$ равен $a = -1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины: для данной функции $a=-1, b=-14$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-14}{2 \cdot (-1)} = -7$
$y_0 = -(-7)^2 - 14(-7) - 48 = -49 + 98 - 48 = 1$
Координаты вершины: $(-7, 1)$.

3. Схематическое расположение: Вершина параболы $(-7, 1)$ находится во II координатной четверти. Ветви направлены вниз. Так как ордината вершины положительна и ветви направлены вниз, парабола пересекает ось OX в двух точках (в точках $x=-6$ и $x=-8$).

Ответ: Ветви направлены вниз, вершина в точке $(-7, 1)$. Схематически парабола имеет вершину во II четверти, а ее ветви направлены вниз, пересекая ось абсцисс.