Номер 152, страница 61 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.3 Сдвиг графика функции у=аx² вдоль осей координат. Глава 2. Квадратичная функция - номер 152, страница 61.

ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ

1) Сравните значения функции $y = x^2 + 1$ при $x = -3$ и $x = 3$, при $x = \frac{1}{2}$ и $x = -\frac{1}{2}$, при $x = -100$ и $x = 100$. Какое свойство этой функции вы обнаружили? Обладает ли этим свойством функция $y = (x + 1)^2$? $y = x^2 + x$?

2) Функцию $y = f(x)$ называют чётной, если её область определения симметрична относительно начала координат и при любом значении $x$ из области определения $f(-x) = f(x)$. Так, функция $y = x^2 + 1$ чётная, а функции $y = (x + 1)^2$ и $y = x^2 + x$ чётными не являются. Придумайте свои примеры чётных функций.

3) Каким свойством обладает график чётной функции? Начертите в системе координат какую-нибудь линию, которая может служить графиком чётной функции.

1) Сравним значения функции $y = x^2 + 1$ для заданных пар аргументов.

Для пары $x = -3$ и $x = 3$:
$y(-3) = (-3)^2 + 1 = 9 + 1 = 10$
$y(3) = 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10$
Значения функции равны.

Для пары $x = -\frac{1}{2}$ и $x = \frac{1}{2}$:
$y(-\frac{1}{2}) = (-\frac{1}{2})^2 + 1 = \frac{1}{4} + 1 = 1\frac{1}{4}$
$y(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^2 + 1 = \frac{1}{4} + 1 = 1\frac{1}{4}$
Значения функции равны.

Для пары $x = -100$ и $x = 100$:
$y(-100) = (-100)^2 + 1 = 10000 + 1 = 10001$
$y(100) = 100^2 + 1 = 10000 + 1 = 10001$
Значения функции равны.

Мы обнаружили свойство: для любых противоположных значений аргумента ($x$ и $-x$) значения функции $y = x^2 + 1$ совпадают. Математически это записывается как $y(-x) = y(x)$.

Проверим, обладают ли этим свойством другие предложенные функции.
Для функции $y = (x + 1)^2$:
$y(1) = (1+1)^2 = 4$; $y(-1) = (-1+1)^2 = 0$. Так как $y(1) \neq y(-1)$, эта функция не обладает данным свойством.
Для функции $y = x^2 + x$:
$y(1) = 1^2 + 1 = 2$; $y(-1) = (-1)^2 + (-1) = 1 - 1 = 0$. Так как $y(1) \neq y(-1)$, эта функция также не обладает данным свойством.

Ответ: Для всех пар противоположных значений аргумента значения функции $y=x^2+1$ равны. Это свойство, называемое четностью, выражается формулой $y(-x) = y(x)$. Функции $y=(x+1)^2$ и $y=x^2+x$ этим свойством не обладают.

2) Функцию $y=f(x)$ называют чётной, если её область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из этой области выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Примеры чётных функций:
1. $y = |x|$ (модуль). Для любого $x$ выполняется $|-x| = |x|$.
2. $y = x^4$ (и любая другая степенная функция с чётным показателем, например, $y=x^2, y=x^6, y=x^8, ...$). Для любого $x$ выполняется $(-x)^{2n} = x^{2n}$.
3. $y = \cos(x)$. Это свойство косинуса: $\cos(-x) = \cos(x)$.
4. $y = 3x^4 - 5x^2 + 10$. Любой многочлен, содержащий только чётные степени переменной, является чётной функцией.

Ответ: Примеры чётных функций: $y = |x|$, $y = x^4$, $y = \cos(x)$.

3) График чётной функции обладает свойством симметрии относительно оси ординат (оси Oy).
Это свойство напрямую следует из определения чётности $f(-x) = f(x)$. Оно означает, что если точка с координатами $(x_0, y_0)$ принадлежит графику функции, то и точка с координатами $(-x_0, y_0)$, симметричная первой относительно оси Oy, также принадлежит этому графику.

Ниже начерчена линия, которая может служить графиком некоторой чётной функции. Она симметрична относительно вертикальной оси.

Ответ: График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси Oy).