Номер 149, страница 61 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.3 Сдвиг графика функции у=аx² вдоль осей координат. Глава 2. Квадратичная функция - номер 149, страница 61.

149 Постройте график функции. В качестве образца воспользуйтесь примером 3.

a) $y = (x + 3)^2 - 4;$ в) $y = -(x + 1)^2 - 1;$

б) $y = -2(x - 1)^2 + 3;$ г) $y = \frac{1}{2}(x - 4)^2 + 1.$

Для каждой функции укажите наибольшее (или наименьшее) значение, а также промежуток убывания и промежуток возрастания.

а) $y = (x + 3)^2 - 4$

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Функция представлена в виде $y = a(x - h)^2 + k$. Для данной функции $a=1$, $h=-3$, $k=-4$.

Построение графика:
График этой функции можно получить из графика базовой параболы $y = x^2$ путем последовательных преобразований:
1. Сдвиг графика $y = x^2$ на 3 единицы влево вдоль оси Ox. Получаем график $y = (x+3)^2$.
2. Сдвиг полученного графика на 4 единицы вниз вдоль оси Oy. Получаем искомый график $y = (x + 3)^2 - 4$.

Анализ функции:
Координаты вершины параболы находятся в точке $(h; k)$, то есть $(-3; -4)$.
Коэффициент при скобке $a = 1 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.
Функция имеет наименьшее значение в вершине, равное $y_{наим} = -4$. Наибольшего значения не существует.
Ось симметрии параболы — вертикальная прямая $x = -3$.
Функция убывает на промежутке $(-\infty; -3]$.
Функция возрастает на промежутке $[-3; +\infty)$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -4; функция убывает на промежутке $(-\infty; -3]$ и возрастает на промежутке $[-3; +\infty)$.

б) $y = -2(x - 1)^2 + 3$

Это квадратичная функция вида $y = a(x - h)^2 + k$, где $a=-2$, $h=1$, $k=3$.

Построение графика:
График этой функции можно получить из графика параболы $y = x^2$ путем преобразований:
1. Растяжение графика $y = x^2$ вдоль оси Oy в 2 раза. Получаем $y=2x^2$.
2. Симметричное отражение графика $y = 2x^2$ относительно оси Ox. Получаем $y=-2x^2$.
3. Сдвиг графика $y = -2x^2$ на 1 единицу вправо вдоль оси Ox. Получаем $y = -2(x-1)^2$.
4. Сдвиг полученного графика на 3 единицы вверх вдоль оси Oy. Получаем искомый график $y = -2(x - 1)^2 + 3$.

Анализ функции:
Координаты вершины параболы: $(h; k) = (1; 3)$.
Коэффициент $a = -2 < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз.
Функция имеет наибольшее значение в вершине, равное $y_{наиб} = 3$. Наименьшего значения не существует.
Ось симметрии параболы — прямая $x = 1$.
Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 1]$.
Функция убывает на промежутке $[1; +\infty)$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 3; функция возрастает на промежутке $(-\infty; 1]$ и убывает на промежутке $[1; +\infty)$.

в) $y = -(x + 1)^2 - 1$

Это квадратичная функция вида $y = a(x - h)^2 + k$, где $a=-1$, $h=-1$, $k=-1$.

Построение графика:
График этой функции можно получить из графика параболы $y = x^2$ путем преобразований:
1. Симметричное отражение графика $y = x^2$ относительно оси Ox. Получаем $y=-x^2$.
2. Сдвиг графика $y = -x^2$ на 1 единицу влево вдоль оси Ox. Получаем $y = -(x+1)^2$.
3. Сдвиг полученного графика на 1 единицу вниз вдоль оси Oy. Получаем искомый график $y = -(x + 1)^2 - 1$.

Анализ функции:
Координаты вершины параболы: $(h; k) = (-1; -1)$.
Коэффициент $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Функция имеет наибольшее значение в вершине, равное $y_{наиб} = -1$. Наименьшего значения не существует.
Ось симметрии параболы — прямая $x = -1$.
Функция возрастает на промежутке $(-\infty; -1]$.
Функция убывает на промежутке $[-1; +\infty)$.

Ответ: наибольшее значение функции равно -1; функция возрастает на промежутке $(-\infty; -1]$ и убывает на промежутке $[-1; +\infty)$.

г) $y = \frac{1}{2}(x - 4)^2 + 1$

Это квадратичная функция вида $y = a(x - h)^2 + k$, где $a=\frac{1}{2}$, $h=4$, $k=1$.

Построение графика:
График этой функции можно получить из графика параболы $y = x^2$ путем преобразований:
1. Сжатие графика $y = x^2$ вдоль оси Oy в 2 раза. Получаем $y=\frac{1}{2}x^2$.
2. Сдвиг графика $y = \frac{1}{2}x^2$ на 4 единицы вправо вдоль оси Ox. Получаем $y = \frac{1}{2}(x-4)^2$.
3. Сдвиг полученного графика на 1 единицу вверх вдоль оси Oy. Получаем искомый график $y = \frac{1}{2}(x - 4)^2 + 1$.

Анализ функции:
Координаты вершины параболы: $(h; k) = (4; 1)$.
Коэффициент $a = \frac{1}{2} > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Функция имеет наименьшее значение в вершине, равное $y_{наим} = 1$. Наибольшего значения не существует.
Ось симметрии параболы — прямая $x = 4$.
Функция убывает на промежутке $(-\infty; 4]$.
Функция возрастает на промежутке $[4; +\infty)$.

Ответ: наименьшее значение функции равно 1; функция убывает на промежутке $(-\infty; 4]$ и возрастает на промежутке $[4; +\infty)$.