Номер 142, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.3 Сдвиг графика функции у=аx² вдоль осей координат. Глава 2. Квадратичная функция - номер 142, страница 60.

142 Постройте параболу, заданную уравнением $y = x^2 + 2$.

Постройте параболу, симметричную данной относительно оси $x$, и задайте её уравнением.

Постройте параболу, заданную уравнением $y = x^2 + 2$.

Данное уравнение вида $y = ax^2 + bx + c$ является уравнением параболы. Для ее построения необходимо выполнить несколько шагов.

1. Анализ уравнения. Уравнение $y = x^2 + 2$ является частным случаем квадратичной функции. Его можно получить из графика базовой функции $y = x^2$ путем преобразования.
2. Определение преобразования. Уравнение $y = x^2 + 2$ соответствует сдвигу графика функции $y = x^2$ на 2 единицы вверх вдоль оси ординат (оси $y$).
3. Нахождение вершины параболы. Вершина базовой параболы $y = x^2$ находится в точке $(0, 0)$. При сдвиге на 2 единицы вверх, вершина параболы $y = x^2 + 2$ смещается в точку $(0, 2)$. Осью симметрии параболы является прямая $x = 0$ (ось $y$). Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1).
4. Нахождение точек для построения. Для точности построения графика найдем несколько точек, принадлежащих параболе, составив таблицу значений $x$ и $y$.

   $x$	$y = x^2 + 2$
   -2	$(-2)^2 + 2 = 6$
   -1	$(-1)^2 + 2 = 3$
   0	$0^2 + 2 = 2$
   1	$1^2 + 2 = 3$
   2	$2^2 + 2 = 6$

5. Построение. На координатной плоскости отмечаем вершину $(0, 2)$ и точки из таблицы: $(-2, 6)$, $(-1, 3)$, $(1, 3)$, $(2, 6)$. Соединяем их плавной кривой линией.

Ответ: График функции $y = x^2 + 2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 2)$ и ветвями, направленными вверх. Она получена путем сдвига графика стандартной параболы $y = x^2$ на две единицы вверх вдоль оси $y$.

Постройте параболу, симметричную данной относительно оси x, и задайте её уравнением.

Для нахождения уравнения и построения параболы, симметричной параболе $y = x^2 + 2$ относительно оси абсцисс (оси $x$), необходимо выполнить следующие действия.

1. Вывод уравнения. При симметричном отображении относительно оси $x$, для любой точки $(x, y)$ на исходном графике соответствующая ей точка на симметричном графике будет иметь координаты $(x, -y)$. Чтобы найти новое уравнение, заменим в исходном уравнении $y$ на $-y$:
   $-y = x^2 + 2$
   Далее, выразим $y$, умножив обе части уравнения на -1:
   $y = -(x^2 + 2)$
   $y = -x^2 - 2$
   Это и есть уравнение искомой параболы.
2. Анализ нового уравнения. Уравнение $y = -x^2 - 2$ описывает параболу. Коэффициент при $x^2$ отрицательный (-1), следовательно, ее ветви направлены вниз. Вершина этой параболы находится в точке $(0, -2)$, так как она получена сдвигом параболы $y = -x^2$ на 2 единицы вниз.
3. Нахождение точек для построения. Точки для новой параболы можно найти, изменив знак координаты $y$ у точек, найденных для первой параболы:
   Вершина: $(0, 2) \rightarrow (0, -2)$
   Точки: $(-2, 6) \rightarrow (-2, -6)$; $(-1, 3) \rightarrow (-1, -3)$; $(1, 3) \rightarrow (1, -3)$; $(2, 6) \rightarrow (2, -6)$.
4. Построение. На той же координатной плоскости отмечаем новую вершину $(0, -2)$ и симметричные точки. Соединяем их плавной линией, получая параболу, симметричную исходной.

Ответ: Уравнение параболы, симметричной данной относительно оси $x$, имеет вид $y = -x^2 - 2$. Ее график — это парабола с вершиной в точке $(0, -2)$ и ветвями, направленными вниз.