Номер 136, страница 55 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.2 График и свойства функции у=аx². Глава 2. Квадратичная функция - номер 136, страница 55.

136 В одной системе координат постройте графики функций:

a) $y = |x|$ и $y = -|x|$;

б) $y = \sqrt{x}$ и $y = -\sqrt{x}$;

в) $y = x^3$ и $y = -x^3$;

г) $y = \frac{2}{x}$ и $y = -\frac{2}{x}$.

Для построения графиков воспользуемся общим правилом: график функции $y = -f(x)$ симметричен графику функции $y = f(x)$ относительно оси абсцисс (оси Ox). Для каждой пары функций мы сначала построим базовый график $y = f(x)$, а затем отразим его относительно оси Ox, чтобы получить график $y = -f(x)$.

а)

1. Строим график функции $y = |x|$. Это функция модуля, ее график состоит из двух лучей, выходящих из начала координат.
При $x \ge 0$, функция имеет вид $y = x$ (биссектриса первого координатного угла).
При $x < 0$, функция имеет вид $y = -x$ (биссектриса второго координатного угла).
Ключевые точки: $(-2, 2)$, $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 2)$. График выглядит как "галочка" (буква V) с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вверх.

2. Строим график функции $y = -|x|$. Этот график симметричен графику $y = |x|$ относительно оси Ox.
При $x \ge 0$, функция имеет вид $y = -x$.
При $x < 0$, функция имеет вид $y = -(-x) = x$.
Ключевые точки: $(-2, -2)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, -1)$, $(2, -2)$. График выглядит как перевернутая "галочка" с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вниз.

Ответ: График $y = |x|$ представляет собой две линии, исходящие из начала координат и расположенные в верхней полуплоскости (биссектрисы I и II квадрантов). График $y = -|x|$ симметричен ему относительно оси Ox и расположен в нижней полуплоскости.

б)

1. Строим график функции $y = \sqrt{x}$. Область определения этой функции $x \ge 0$. График представляет собой ветвь параболы, выходящую из начала координат и расположенную в первой координатной четверти.
Ключевые точки: $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(4, 2)$, $(9, 3)$.

2. Строим график функции $y = -\sqrt{x}$. Этот график симметричен графику $y = \sqrt{x}$ относительно оси Ox. Область определения также $x \ge 0$. График представляет собой ветвь параболы, расположенную в четвертой координатной четверти.
Ключевые точки: $(0, 0)$, $(1, -1)$, $(4, -2)$, $(9, -3)$.

Ответ: График $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы в первой четверти. График $y = -\sqrt{x}$ — симметричная ей относительно оси Ox ветвь параболы в четвертой четверти. Вместе они образуют параболу $x = y^2$, "лежащую на боку".

в)

1. Строим график функции $y = x^3$. Это кубическая парабола. График проходит через начало координат и расположен в первой и третьей координатных четвертях. Он симметричен относительно начала координат.
Ключевые точки: $(-2, -8)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 8)$.

2. Строим график функции $y = -x^3$. Этот график симметричен графику $y = x^3$ относительно оси Ox. Он также проходит через начало координат, но расположен во второй и четвертой координатных четвертях.
Ключевые точки: $(-2, 8)$, $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, -1)$, $(2, -8)$.

Ответ: График $y = x^3$ — кубическая парабола, расположенная в I и III четвертях. График $y = -x^3$ — кубическая парабола, симметричная первой относительно оси Ox и расположенная во II и IV четвертях.

г)

1. Строим график функции $y = \frac{2}{x}$. Это гипербола. График состоит из двух ветвей, расположенных в первой и третьей координатных четвертях. Оси координат (линии $x=0$ и $y=0$) являются асимптотами графика.
Ключевые точки для первой ветви: $(1, 2)$, $(2, 1)$, $(4, 0.5)$.
Ключевые точки для третьей ветви: $(-1, -2)$, $(-2, -1)$, $(-4, -0.5)$.

2. Строим график функции $y = -\frac{2}{x}$. Этот график также является гиперболой и симметричен графику $y = \frac{2}{x}$ относительно оси Ox. Его ветви расположены во второй и четвертой координатных четвертях. Оси координат также являются асимптотами.
Ключевые точки для второй ветви: $(-1, 2)$, $(-2, 1)$, $(-4, 0.5)$.
Ключевые точки для четвертой ветви: $(1, -2)$, $(2, -1)$, $(4, -0.5)$.

Ответ: График $y = \frac{2}{x}$ — гипербола с ветвями в I и III четвертях. График $y = -\frac{2}{x}$ — гипербола с ветвями во II и IV четвертях, симметричная первой относительно оси абсцисс.