Страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

138 Изобразите схематически график функции и задайте эту функцию формулой, если известно, что её график получен сдвигом вдоль оси $y$:

а) параболы $y = 2x^2$ на 4 единицы вверх;

б) параболы $y = \frac{1}{2}x^2$ на 5 единиц вниз;

в) параболы $y = -x^2$ на 3 единицы вверх;

г) параболы $y = -3x^2$ на 1,5 единицы вниз.

а) Исходная функция — парабола $y = 2x^2$. Сдвиг графика на 4 единицы вверх вдоль оси $y$ соответствует прибавлению 4 к значению функции. Таким образом, формула новой функции: $y = 2x^2 + 4$.

Схематически график представляет собой параболу. Вершина исходной параболы $y=2x^2$ находится в точке $(0,0)$. При сдвиге вверх на 4 единицы, вершина новой параболы смещается в точку $(0,4)$. Ветви параболы по-прежнему направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен.

Ответ: $y = 2x^2 + 4$. График — парабола с вершиной в точке $(0, 4)$ и ветвями, направленными вверх.

б) Исходная функция — парабола $y = \frac{1}{2}x^2$. Сдвиг графика на 5 единиц вниз вдоль оси $y$ соответствует вычитанию 5 из значения функции. Таким образом, формула новой функции: $y = \frac{1}{2}x^2 - 5$.

Схематически график представляет собой параболу. Вершина исходной параболы $y=\frac{1}{2}x^2$ находится в точке $(0,0)$. При сдвиге вниз на 5 единиц, вершина новой параболы смещается в точку $(0,-5)$. Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен.

Ответ: $y = \frac{1}{2}x^2 - 5$. График — парабола с вершиной в точке $(0, -5)$ и ветвями, направленными вверх.

в) Исходная функция — парабола $y = -x^2$. Сдвиг графика на 3 единицы вверх вдоль оси $y$ соответствует прибавлению 3 к значению функции. Таким образом, формула новой функции: $y = -x^2 + 3$.

Схематически график представляет собой параболу. Вершина исходной параболы $y=-x^2$ находится в точке $(0,0)$. При сдвиге вверх на 3 единицы, вершина новой параболы смещается в точку $(0,3)$. Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен.

Ответ: $y = -x^2 + 3$. График — парабола с вершиной в точке $(0, 3)$ и ветвями, направленными вниз.

г) Исходная функция — парабола $y = -3x^2$. Сдвиг графика на 1,5 единицы вниз вдоль оси $y$ соответствует вычитанию 1,5 из значения функции. Таким образом, формула новой функции: $y = -3x^2 - 1,5$.

Схематически график представляет собой параболу. Вершина исходной параболы $y=-3x^2$ находится в точке $(0,0)$. При сдвиге вниз на 1,5 единицы, вершина новой параболы смещается в точку $(0, -1,5)$. Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен.

Ответ: $y = -3x^2 - 1,5$. График — парабола с вершиной в точке $(0, -1,5)$ и ветвями, направленными вниз.

139 Назовите координаты вершины параболы, заданной уравнением:

а) $y = x^2 + 10;$

б) $y = -\frac{1}{4}x^2 - 1;$

в) $y = -10x^2 + 1,5;$

г) $y = 2x^2 - 4,8.$

Координаты вершины параболы, заданной уравнением в общем виде $y = ax^2 + bx + c$, находятся по формулам:

Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a}$

Ордината вершины: $y_0 = y(x_0)$

Все уравнения в данном задании представлены в виде $y = ax^2 + q$. Это частный случай общего уравнения, в котором коэффициент $b=0$.

Подставим $b=0$ в формулу для абсциссы вершины:

$x_0 = -\frac{0}{2a} = 0$

Теперь найдем ординату вершины, подставив $x_0=0$ в уравнение параболы:

$y_0 = a \cdot 0^2 + q = q$

Таким образом, для параболы, заданной уравнением вида $y = ax^2 + q$, вершина всегда находится в точке с координатами $(0, q)$.

Теперь найдем координаты вершин для каждой из заданных парабол.

а) В уравнении $y = x^2 + 10$, коэффициент $q = 10$. Следовательно, вершина параболы находится в точке $(0, 10)$.

Ответ: $(0; 10)$.

б) В уравнении $y = -\frac{1}{4}x^2 - 1$, коэффициент $q = -1$. Следовательно, вершина параболы находится в точке $(0, -1)$.

Ответ: $(0; -1)$.

в) В уравнении $y = -10x^2 + 1,5$, коэффициент $q = 1,5$. Следовательно, вершина параболы находится в точке $(0, 1,5)$.

Ответ: $(0; 1,5)$.

г) В уравнении $y = 2x^2 - 4,8$, коэффициент $q = -4,8$. Следовательно, вершина параболы находится в точке $(0, -4,8)$.

Ответ: $(0; -4,8)$.

140 Постройте график функции:

а) $y = x^2 - 4$;

б) $y = 0.5x^2 + 3$;

в) $y = -x^2 + 1$;

г) $y = -2x^2 - 1$.

Для каждой функции укажите промежуток возрастания и промежуток убывания, а также наибольшее (или наименьшее) значение.

а) $y = x^2 - 4$

График данной функции — парабола, которая является результатом сдвига графика функции $y = x^2$ на 4 единицы вниз вдоль оси ординат (Oy). Коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля, поэтому ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке с координатами $(0, -4)$.

Поскольку вершина находится в точке $x=0$ и ветви направлены вверх, функция убывает на промежутке слева от вершины и возрастает справа от нее. Промежуток убывания: $(-\infty, 0]$. Промежуток возрастания: $[0, +\infty)$.

Так как ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение, но не имеет наибольшего. Наименьшее значение достигается в вершине параболы. Наименьшее значение: $y_{наим} = -4$.

Ответ: Промежуток возрастания: $[0, +\infty)$; промежуток убывания: $(-\infty, 0]$; наименьшее значение функции: $y_{наим} = -4$.

б) $y = 0,5x^2 + 3$

График данной функции — парабола. Её можно получить из графика функции $y = 0,5x^2$ сдвигом на 3 единицы вверх вдоль оси ординат (Oy). Коэффициент при $x^2$ равен 0,5, что больше нуля, поэтому ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке с координатами $(0, 3)$.

Вершина параболы находится в точке $x=0$, ветви направлены вверх. Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

Функция имеет наименьшее значение в своей вершине, так как ветви параболы направлены вверх. Наибольшего значения не существует. Наименьшее значение: $y_{наим} = 3$.

Ответ: Промежуток возрастания: $[0, +\infty)$; промежуток убывания: $(-\infty, 0]$; наименьшее значение функции: $y_{наим} = 3$.

в) $y = -x^2 + 1$

График данной функции — парабола, полученная из графика функции $y = -x^2$ сдвигом на 1 единицу вверх вдоль оси ординат (Oy). Коэффициент при $x^2$ равен -1, что меньше нуля, поэтому ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в точке с координатами $(0, 1)$.

Поскольку вершина находится в точке $x=0$ и ветви направлены вниз, функция возрастает на промежутке слева от вершины и убывает справа от нее. Промежуток возрастания: $(-\infty, 0]$. Промежуток убывания: $[0, +\infty)$.

Так как ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее значение, но не имеет наименьшего. Наибольшее значение достигается в вершине параболы. Наибольшее значение: $y_{наиб} = 1$.

Ответ: Промежуток возрастания: $(-\infty, 0]$; промежуток убывания: $[0, +\infty)$; наибольшее значение функции: $y_{наиб} = 1$.

г) $y = -2x^2 - 1$

График данной функции — парабола. Её можно получить из графика функции $y = -2x^2$ сдвигом на 1 единицу вниз вдоль оси ординат (Oy). Коэффициент при $x^2$ равен -2, что меньше нуля, поэтому ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в точке с координатами $(0, -1)$.

Вершина параболы находится в точке $x=0$, ветви направлены вниз. Следовательно, функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$.

Функция имеет наибольшее значение в своей вершине, так как ветви параболы направлены вниз. Наименьшего значения не существует. Наибольшее значение: $y_{наиб} = -1$.

Ответ: Промежуток возрастания: $(-\infty, 0]$; промежуток убывания: $[0, +\infty)$; наибольшее значение функции: $y_{наиб} = -1$.

141 Постройте график функции на заданной области определения и укажите её наименьшее и наибольшее значения:

а) $y = x^2 - 3$, где $-2 \le x \le 3$;

б) $y = 4 - \frac{1}{4}x^2$, где $-4 \le x \le 2$.

а)

Дана функция $y = x^2 - 3$ на области определения $-2 \le x \le 3$.

1. Построение графика.
График функции $y = x^2 - 3$ — это парабола, полученная сдвигом графика функции $y = x^2$ на 3 единицы вниз вдоль оси Oy. Ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы. Для функции вида $y = ax^2 + bx + c$ абсцисса вершины находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a=1, b=0$, поэтому $x_v = 0$. Ордината вершины $y_v = 0^2 - 3 = -3$. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0, -3)$.

Для построения графика на заданном отрезке $[-2, 3]$ найдем значения функции в нескольких ключевых точках: на концах отрезка и в вершине.

• При $x = -2$ (левый конец отрезка): $y = (-2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$. Точка $(-2, 1)$.
• При $x = 0$ (вершина): $y = 0^2 - 3 = -3$. Точка $(0, -3)$.
• При $x = 3$ (правый конец отрезка): $y = 3^2 - 3 = 9 - 3 = 6$. Точка $(3, 6)$.

Соединив эти точки плавной кривой (частью параболы), получим график функции на заданном отрезке.

2. Нахождение наименьшего и наибольшего значений.
Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения квадратичной функции на отрезке, нужно вычислить значения функции в вершине (если она попадает в отрезок) и на концах отрезка, а затем выбрать из них наименьшее и наибольшее.

Абсцисса вершины $x_v = 0$ принадлежит отрезку $[-2, 3]$. Так как ветви параболы направлены вверх, то в вершине функция достигает своего наименьшего значения: $y_{наим} = y(0) = -3$.

Наибольшее значение будет достигаться на одном из концов отрезка. Сравним значения функции в точках $x=-2$ и $x=3$:
$y(-2) = 1$
$y(3) = 6$
Наибольшее из этих значений равно 6. Следовательно, $y_{наиб} = 6$.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{наим} = -3$, наибольшее значение функции $y_{наиб} = 6$.

б)

Дана функция $y = 4 - \frac{1}{4}x^2$ на области определения $-4 \le x \le 2$.

1. Построение графика.
График функции $y = -\frac{1}{4}x^2 + 4$ — это парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($a = -\frac{1}{4}$), ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-1/4)} = 0$. Ордината вершины $y_v = 4 - \frac{1}{4}(0)^2 = 4$. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0, 4)$.

Для построения графика на заданном отрезке $[-4, 2]$ найдем значения функции в ключевых точках:

• При $x = -4$ (левый конец отрезка): $y = 4 - \frac{1}{4}(-4)^2 = 4 - \frac{16}{4} = 4 - 4 = 0$. Точка $(-4, 0)$.
• При $x = 0$ (вершина): $y = 4 - \frac{1}{4}(0)^2 = 4$. Точка $(0, 4)$.
• При $x = 2$ (правый конец отрезка): $y = 4 - \frac{1}{4}(2)^2 = 4 - \frac{4}{4} = 4 - 1 = 3$. Точка $(2, 3)$.

Соединив эти точки плавной кривой (частью параболы), получим график функции на заданном отрезке.

2. Нахождение наименьшего и наибольшего значений.
Абсцисса вершины $x_v = 0$ принадлежит отрезку $[-4, 2]$. Так как ветви параболы направлены вниз, то в вершине функция достигает своего наибольшего значения: $y_{наиб} = y(0) = 4$.

Наименьшее значение будет достигаться на одном из концов отрезка. Сравним значения функции в точках $x=-4$ и $x=2$:
$y(-4) = 0$
$y(2) = 3$
Наименьшее из этих значений равно 0. Следовательно, $y_{наим} = 0$.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{наим} = 0$, наибольшее значение функции $y_{наиб} = 4$.

142 Постройте параболу, заданную уравнением $y = x^2 + 2$.

Постройте параболу, симметричную данной относительно оси $x$, и задайте её уравнением.

Постройте параболу, заданную уравнением $y = x^2 + 2$.

Данное уравнение вида $y = ax^2 + bx + c$ является уравнением параболы. Для ее построения необходимо выполнить несколько шагов.

1. Анализ уравнения. Уравнение $y = x^2 + 2$ является частным случаем квадратичной функции. Его можно получить из графика базовой функции $y = x^2$ путем преобразования.
2. Определение преобразования. Уравнение $y = x^2 + 2$ соответствует сдвигу графика функции $y = x^2$ на 2 единицы вверх вдоль оси ординат (оси $y$).
3. Нахождение вершины параболы. Вершина базовой параболы $y = x^2$ находится в точке $(0, 0)$. При сдвиге на 2 единицы вверх, вершина параболы $y = x^2 + 2$ смещается в точку $(0, 2)$. Осью симметрии параболы является прямая $x = 0$ (ось $y$). Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1).
4. Нахождение точек для построения. Для точности построения графика найдем несколько точек, принадлежащих параболе, составив таблицу значений $x$ и $y$.

   $x$	$y = x^2 + 2$
   -2	$(-2)^2 + 2 = 6$
   -1	$(-1)^2 + 2 = 3$
   0	$0^2 + 2 = 2$
   1	$1^2 + 2 = 3$
   2	$2^2 + 2 = 6$

5. Построение. На координатной плоскости отмечаем вершину $(0, 2)$ и точки из таблицы: $(-2, 6)$, $(-1, 3)$, $(1, 3)$, $(2, 6)$. Соединяем их плавной кривой линией.

Ответ: График функции $y = x^2 + 2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 2)$ и ветвями, направленными вверх. Она получена путем сдвига графика стандартной параболы $y = x^2$ на две единицы вверх вдоль оси $y$.

Постройте параболу, симметричную данной относительно оси x, и задайте её уравнением.

Для нахождения уравнения и построения параболы, симметричной параболе $y = x^2 + 2$ относительно оси абсцисс (оси $x$), необходимо выполнить следующие действия.

1. Вывод уравнения. При симметричном отображении относительно оси $x$, для любой точки $(x, y)$ на исходном графике соответствующая ей точка на симметричном графике будет иметь координаты $(x, -y)$. Чтобы найти новое уравнение, заменим в исходном уравнении $y$ на $-y$:
   $-y = x^2 + 2$
   Далее, выразим $y$, умножив обе части уравнения на -1:
   $y = -(x^2 + 2)$
   $y = -x^2 - 2$
   Это и есть уравнение искомой параболы.
2. Анализ нового уравнения. Уравнение $y = -x^2 - 2$ описывает параболу. Коэффициент при $x^2$ отрицательный (-1), следовательно, ее ветви направлены вниз. Вершина этой параболы находится в точке $(0, -2)$, так как она получена сдвигом параболы $y = -x^2$ на 2 единицы вниз.
3. Нахождение точек для построения. Точки для новой параболы можно найти, изменив знак координаты $y$ у точек, найденных для первой параболы:
   Вершина: $(0, 2) \rightarrow (0, -2)$
   Точки: $(-2, 6) \rightarrow (-2, -6)$; $(-1, 3) \rightarrow (-1, -3)$; $(1, 3) \rightarrow (1, -3)$; $(2, 6) \rightarrow (2, -6)$.
4. Построение. На той же координатной плоскости отмечаем новую вершину $(0, -2)$ и симметричные точки. Соединяем их плавной линией, получая параболу, симметричную исходной.

Ответ: Уравнение параболы, симметричной данной относительно оси $x$, имеет вид $y = -x^2 - 2$. Ее график — это парабола с вершиной в точке $(0, -2)$ и ветвями, направленными вниз.

143 При каких значениях коэффициента имеет хотя бы один нуль функция:

а) $y = ax^2 + 7;$

б) $y = 10x^2 + q?$

а) Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Чтобы найти, при каких значениях коэффициента $a$ функция $y = ax^2 + 7$ имеет хотя бы один нуль, нужно решить уравнение $ax^2 + 7 = 0$ и найти условия на параметр $a$, при которых это уравнение имеет хотя бы одно действительное решение.
Приравняем функцию к нулю:
$ax^2 + 7 = 0$
Перенесем 7 в правую часть:
$ax^2 = -7$
Рассмотрим два случая.
1. Если $a = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x^2 + 7 = 0$, или $7 = 0$. Это неверное равенство, следовательно, при $a = 0$ уравнение не имеет решений, и функция не имеет нулей.
2. Если $a \neq 0$, разделим обе части уравнения на $a$:
$x^2 = - \frac{7}{a}$
Для того чтобы это уравнение имело хотя бы одно действительное решение, необходимо, чтобы выражение в правой части было неотрицательным, так как квадрат любого действительного числа ($x^2$) не может быть отрицательным.
$- \frac{7}{a} \ge 0$
Домножим неравенство на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный:
$\frac{7}{a} \le 0$
Так как числитель дроби ($7$) является положительным числом, данное неравенство будет верным только в том случае, если знаменатель $a$ будет отрицательным числом.
$a < 0$
Таким образом, функция имеет хотя бы один нуль (а именно, два корня $x = \pm\sqrt{-7/a}$) при всех отрицательных значениях $a$.
Ответ: $a < 0$.

б) Аналогично, для функции $y = 10x^2 + q$ найдем значения коэффициента $q$, при которых она имеет хотя бы один нуль. Для этого приравняем функцию к нулю и решим уравнение $10x^2 + q = 0$ относительно $x$.
$10x^2 + q = 0$
Перенесем $q$ в правую часть:
$10x^2 = -q$
Разделим обе части на 10:
$x^2 = - \frac{q}{10}$
Уравнение будет иметь хотя бы одно действительное решение для $x$ тогда и только тогда, когда правая часть неотрицательна.
$- \frac{q}{10} \ge 0$
Умножим обе части неравенства на $-10$. Так как мы умножаем на отрицательное число, знак неравенства необходимо изменить на противоположный.
$q \le 0$
Проверим:
- Если $q = 0$, уравнение принимает вид $10x^2=0$, что дает один корень $x=0$.
- Если $q < 0$, то $-q > 0$, и уравнение имеет два различных действительных корня $x = \pm\sqrt{-q/10}$.
В обоих случаях условие "хотя бы один нуль" выполняется.
Ответ: $q \le 0$.

144 Назовите координаты вершины параболы, заданной уравнением:

а) $y = (x + 1)^2$;

б) $y = 5(x - 3)^2$;

в) $y = -(x - 1)^2$;

г) $y = -2(x + 5)^2$.

Уравнение параболы в вершинной форме имеет вид $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h, k)$ — это координаты вершины параболы. Чтобы найти координаты вершины для каждого из заданных уравнений, необходимо привести его к этому стандартному виду и определить значения $h$ и $k$.

а) Для уравнения $y = (x + 1)^2$, мы можем представить его в стандартной форме. Слагаемое $(x+1)$ можно записать как $(x - (-1))$. Свободный член отсутствует, что эквивалентно прибавлению нуля. Таким образом, уравнение принимает вид $y = 1 \cdot (x - (-1))^2 + 0$. Сравнивая это с общей формой $y = a(x - h)^2 + k$, мы видим, что $h = -1$ и $k = 0$. Следовательно, координаты вершины данной параболы — $(-1, 0)$.
Ответ: $(-1, 0)$.

б) Рассмотрим уравнение $y = 5(x - 3)^2$. Оно уже практически представлено в стандартной форме. Свободный член отсутствует, поэтому мы можем добавить 0: $y = 5(x - 3)^2 + 0$. Сравнивая с общей формой $y = a(x - h)^2 + k$, получаем, что $h = 3$ и $k = 0$. Следовательно, координаты вершины данной параболы — $(3, 0)$.
Ответ: $(3, 0)$.

в) Дано уравнение $y = -(x - 1)^2$. Это можно переписать как $y = -1 \cdot (x - 1)^2 + 0$. Сравнивая с общей формой $y = a(x - h)^2 + k$, мы определяем, что $h = 1$ и $k = 0$. Следовательно, координаты вершины данной параболы — $(1, 0)$.
Ответ: $(1, 0)$.

г) Рассмотрим уравнение $y = -2(x + 5)^2$. Преобразуем его к стандартному виду. Выражение $(x+5)$ можно записать как $(x - (-5))$. Добавим отсутствующий свободный член, равный нулю: $y = -2(x - (-5))^2 + 0$. Сравнивая с общей формой $y = a(x - h)^2 + k$, находим, что $h = -5$ и $k = 0$. Следовательно, координаты вершины данной параболы — $(-5, 0)$.
Ответ: $(-5, 0)$.

145 Постройте график функции:

а) $y = (x - 4)^2$;

б) $y = 2(x + 2)^2$;

в) $y = -(x + 3)^2$;

г) $y = -0,5(x - 1)^2$.

Воспользуйтесь следующим планом:

1) найдите координаты вершины параболы и отметьте вершину в координатной плоскости;

2) проведите через вершину ось симметрии параболы;

3) покажите маленькой дугой направление ветвей параболы;

4) постройте несколько точек графика по разные стороны от оси симметрии;

5) соедините построенные точки параболы плавной линией.

а) $y = (x - 4)^2$

Для построения графика функции следуем плану:

1. Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Функция задана в виде $y = a(x - h)^2 + k$, где $a=1$, $h=4$, $k=0$. Координаты вершины параболы $(h, k)$, следовательно, вершина находится в точке $(4, 0)$. Отмечаем эту точку на координатной плоскости.

2. Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через ее вершину. Уравнение оси симметрии: $x = h$, то есть $x = 4$. Проводим эту прямую (обычно пунктиром).

3. Коэффициент при квадрате скобки $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

4. Найдем координаты нескольких точек, симметричных относительно оси $x=4$.
   При $x=3$: $y = (3 - 4)^2 = (-1)^2 = 1$. Получаем точку $(3, 1)$.
   Симметричная ей точка при $x=5$ будет иметь ту же ординату: $y = (5 - 4)^2 = 1^2 = 1$. Точка $(5, 1)$.
   При $x=2$: $y = (2 - 4)^2 = (-2)^2 = 4$. Получаем точку $(2, 4)$.
   Симметричная ей точка при $x=6$: $y = (6 - 4)^2 = 2^2 = 4$. Точка $(6, 4)$.
   Отмечаем найденные точки на плоскости.

5. Соединяем вершину и построенные точки плавной кривой, получая график параболы.

Ответ: График функции $y = (x - 4)^2$ — это парабола с вершиной в точке $(4, 0)$, осью симметрии $x=4$ и ветвями, направленными вверх.

б) $y = 2(x + 2)^2$

Для построения графика функции следуем плану:

1. Представим функцию в виде $y = a(x - h)^2 + k$, переписав ее как $y = 2(x - (-2))^2 + 0$. Здесь $a=2$, $h=-2$, $k=0$. Координаты вершины параболы $(h, k)$ равны $(-2, 0)$. Отмечаем эту точку.

2. Ось симметрии параболы проходит через вершину, ее уравнение $x = -2$.

3. Коэффициент $a = 2 > 0$, значит, ветви параболы направлены вверх. Так как $|a| = 2 > 1$, парабола будет более "узкой", чем $y=x^2$ (растянута вдоль оси Oy в 2 раза).

4. Найдем координаты нескольких точек, симметричных относительно оси $x=-2$.
   При $x=-1$: $y = 2(-1 + 2)^2 = 2(1)^2 = 2$. Точка $(-1, 2)$.
   Симметричная ей точка при $x=-3$: $y = 2(-3 + 2)^2 = 2(-1)^2 = 2$. Точка $(-3, 2)$.
   При $x=0$: $y = 2(0 + 2)^2 = 2(2)^2 = 8$. Точка $(0, 8)$.
   Симметричная ей точка при $x=-4$: $y = 2(-4 + 2)^2 = 2(-2)^2 = 8$. Точка $(-4, 8)$.
   Отмечаем найденные точки.

5. Соединяем вершину и построенные точки плавной кривой.

Ответ: График функции $y = 2(x + 2)^2$ — это парабола с вершиной в точке $(-2, 0)$, осью симметрии $x=-2$ и ветвями, направленными вверх. Парабола растянута в 2 раза вдоль оси Oy по сравнению с графиком $y=x^2$.

в) $y = -(x + 3)^2$

Для построения графика функции следуем плану:

1. Представим функцию в виде $y = a(x - h)^2 + k$, переписав ее как $y = -1(x - (-3))^2 + 0$. Здесь $a=-1$, $h=-3$, $k=0$. Координаты вершины параболы $(h, k)$ равны $(-3, 0)$. Отмечаем эту точку.

2. Ось симметрии параболы проходит через вершину, ее уравнение $x = -3$.

3. Коэффициент $a = -1 < 0$, значит, ветви параболы направлены вниз.

4. Найдем координаты нескольких точек, симметричных относительно оси $x=-3$.
   При $x=-2$: $y = -(-2 + 3)^2 = -(1)^2 = -1$. Точка $(-2, -1)$.
   Симметричная ей точка при $x=-4$: $y = -(-4 + 3)^2 = -(-1)^2 = -1$. Точка $(-4, -1)$.
   При $x=-1$: $y = -(-1 + 3)^2 = -(2)^2 = -4$. Точка $(-1, -4)$.
   Симметричная ей точка при $x=-5$: $y = -(-5 + 3)^2 = -(-2)^2 = -4$. Точка $(-5, -4)$.
   Отмечаем найденные точки.

5. Соединяем вершину и построенные точки плавной кривой.

Ответ: График функции $y = -(x + 3)^2$ — это парабола с вершиной в точке $(-3, 0)$, осью симметрии $x=-3$ и ветвями, направленными вниз.

г) $y = -0.5(x - 1)^2$

Для построения графика функции следуем плану:

1. Функция задана в виде $y = a(x - h)^2 + k$, где $a=-0.5$, $h=1$, $k=0$. Координаты вершины параболы $(h, k)$ равны $(1, 0)$. Отмечаем эту точку.

2. Ось симметрии параболы проходит через вершину, ее уравнение $x = 1$.

3. Коэффициент $a = -0.5 < 0$, значит, ветви параболы направлены вниз. Так как $|a| = 0.5 < 1$, парабола будет более "широкой", чем $y=x^2$ (сжата вдоль оси Oy в 2 раза).

4. Найдем координаты нескольких точек, симметричных относительно оси $x=1$.
   При $x=2$: $y = -0.5(2 - 1)^2 = -0.5(1)^2 = -0.5$. Точка $(2, -0.5)$.
   Симметричная ей точка при $x=0$: $y = -0.5(0 - 1)^2 = -0.5(-1)^2 = -0.5$. Точка $(0, -0.5)$.
   При $x=3$: $y = -0.5(3 - 1)^2 = -0.5(2)^2 = -0.5 \cdot 4 = -2$. Точка $(3, -2)$.
   Симметричная ей точка при $x=-1$: $y = -0.5(-1 - 1)^2 = -0.5(-2)^2 = -0.5 \cdot 4 = -2$. Точка $(-1, -2)$.
   Отмечаем найденные точки.

5. Соединяем вершину и построенные точки плавной кривой.

Ответ: График функции $y = -0.5(x - 1)^2$ — это парабола с вершиной в точке $(1, 0)$, осью симметрии $x=1$ и ветвями, направленными вниз. Парабола сжата в 2 раза вдоль оси Oy по сравнению с графиком $y=x^2$.

146 Параболу $y = x^2$ сдвинули на несколько единиц вдоль оси $x$ так, что она прошла через точку $M$. Запишите формулу, соответствующую новой параболе, если точка $M$ имеет координаты:

а) $(0; 4)$;

б) $(-4; 4)$.

Исходная парабола задается формулой $y = x^2$. При сдвиге параболы вдоль оси $x$ на $a$ единиц ее формула принимает вид $y = (x - a)^2$. Нам нужно найти значение $a$, при котором парабола будет проходить через заданную точку $M$.

а) Новая парабола проходит через точку $M$ с координатами $(0; 4)$. Подставим эти координаты в формулу сдвинутой параболы $y = (x - a)^2$:

$4 = (0 - a)^2$

$4 = (-a)^2$

$a^2 = 4$

Это уравнение имеет два решения: $a = 2$ и $a = -2$.

Следовательно, существуют две параболы, удовлетворяющие условию:

1. При $a = 2$ формула будет $y = (x - 2)^2$. Это сдвиг исходной параболы на 2 единицы вправо.

2. При $a = -2$ формула будет $y = (x - (-2))^2 = (x + 2)^2$. Это сдвиг исходной параболы на 2 единицы влево.

Ответ: $y = (x - 2)^2$ или $y = (x + 2)^2$.

б) Новая парабола проходит через точку $M$ с координатами $(-4; 4)$. Подставим эти координаты в формулу $y = (x - a)^2$:

$4 = (-4 - a)^2$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных случая:

1. $-4 - a = 2$

$a = -4 - 2$

$a = -6$

В этом случае формула параболы: $y = (x - (-6))^2 = (x + 6)^2$.

2. $-4 - a = -2$

$a = -4 + 2$

$a = -2$

В этом случае формула параболы: $y = (x - (-2))^2 = (x + 2)^2$.

Ответ: $y = (x + 6)^2$ или $y = (x + 2)^2$.