Страница 64 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

153 Вычислите координаты вершины параболы:

а) $y = x^2 - 4x + 2;$

б) $y = 2x^2 - 6x + 2;$

в) $y = -3x^2 + 6x + 5.$

Для нахождения координат вершины параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, используются следующие формулы:

Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a}$

Ордината вершины: $y_0$ находится подстановкой $x_0$ в исходное уравнение параболы: $y_0 = y(x_0)$.

а) $y = x^2 - 4x + 2$

Для данной параболы коэффициенты равны: $a = 1$, $b = -4$, $c = 2$.

1. Вычислим абсциссу вершины $x_0$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.

2. Вычислим ординату вершины $y_0$, подставив $x_0 = 2$ в уравнение:

$y_0 = (2)^2 - 4(2) + 2 = 4 - 8 + 2 = -2$.

Таким образом, координаты вершины параболы: $(2; -2)$.

Ответ: $(2; -2)$.

б) $y = 2x^2 - 6x + 2$

Для данной параболы коэффициенты равны: $a = 2$, $b = -6$, $c = 2$.

1. Вычислим абсциссу вершины $x_0$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1.5$.

2. Вычислим ординату вершины $y_0$, подставив $x_0 = 1.5$ в уравнение:

$y_0 = 2(1.5)^2 - 6(1.5) + 2 = 2(2.25) - 9 + 2 = 4.5 - 9 + 2 = -2.5$.

Таким образом, координаты вершины параболы: $(1.5; -2.5)$.

Ответ: $(1.5; -2.5)$.

в) $y = -3x^2 + 6x + 5$

Для данной параболы коэффициенты равны: $a = -3$, $b = 6$, $c = 5$.

1. Вычислим абсциссу вершины $x_0$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-3)} = -\frac{6}{-6} = 1$.

2. Вычислим ординату вершины $y_0$, подставив $x_0 = 1$ в уравнение:

$y_0 = -3(1)^2 + 6(1) + 5 = -3 + 6 + 5 = 8$.

Таким образом, координаты вершины параболы: $(1; 8)$.

Ответ: $(1; 8)$.

154 Укажите направление ветвей параболы, вычислите координаты вершины и покажите схематически расположение параболы в координатной плоскости.

а) $y = x^2 + 4x - 1$;

б) $y = -2x^2 + 2x - 1$;

в) $y = -x^2 - 14x - 48.$

а) Для параболы $y = x^2 + 4x - 1$:

1. Направление ветвей: коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Координаты вершины: координаты вершины $(x_0, y_0)$ вычисляются по формулам $x_0 = -\frac{b}{2a}$ и $y_0 = y(x_0)$.
Для данной функции $a=1, b=4$.
$x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$
$y_0 = (-2)^2 + 4(-2) - 1 = 4 - 8 - 1 = -5$
Координаты вершины: $(-2, -5)$.

3. Схематическое расположение: Вершина параболы $(-2, -5)$ находится в III координатной четверти. Ветви направлены вверх. Парабола пересекает ось OY в точке $(0, -1)$. Так как вершина находится ниже оси OX, а ветви направлены вверх, парабола пересекает ось OX в двух точках.

Ответ: Ветви направлены вверх, вершина в точке $(-2, -5)$. Схематически парабола имеет вершину в III четверти, а ее ветви направлены вверх.

б) Для параболы $y = -2x^2 + 2x - 1$:

1. Направление ветвей: коэффициент при $x^2$ равен $a = -2$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины: для данной функции $a=-2, b=2$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-2)} = \frac{1}{2}$
$y_0 = -2(\frac{1}{2})^2 + 2(\frac{1}{2}) - 1 = -2(\frac{1}{4}) + 1 - 1 = -\frac{1}{2}$
Координаты вершины: $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$.

3. Схематическое расположение: Вершина параболы $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ находится в IV координатной четверти. Ветви направлены вниз. Так как ордината вершины отрицательна и ветви направлены вниз, вся парабола расположена ниже оси OX и не пересекает ее.

Ответ: Ветви направлены вниз, вершина в точке $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$. Схематически парабола имеет вершину в IV четверти, а ее ветви направлены вниз, график целиком лежит под осью абсцисс.

в) Для параболы $y = -x^2 - 14x - 48$:

1. Направление ветвей: коэффициент при $x^2$ равен $a = -1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины: для данной функции $a=-1, b=-14$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-14}{2 \cdot (-1)} = -7$
$y_0 = -(-7)^2 - 14(-7) - 48 = -49 + 98 - 48 = 1$
Координаты вершины: $(-7, 1)$.

3. Схематическое расположение: Вершина параболы $(-7, 1)$ находится во II координатной четверти. Ветви направлены вниз. Так как ордината вершины положительна и ветви направлены вниз, парабола пересекает ось OX в двух точках (в точках $x=-6$ и $x=-8$).

Ответ: Ветви направлены вниз, вершина в точке $(-7, 1)$. Схематически парабола имеет вершину во II четверти, а ее ветви направлены вниз, пересекая ось абсцисс.

155 Постройте график функции:

а) $y = 2x^2 - 4x + 5$;

б) $y = x^2 + 4x + 6$;

в) $y = -\frac{1}{2}x^2 - 4x - 9$.

Воспользуйтесь следующим планом:

1) найдите координаты вершины параболы;

2) отметьте вершину в координатной плоскости и проведите ось симметрии параболы;

3) определите направление ветвей;

4) вычислите координаты нескольких точек параболы и отметьте их в координатной плоскости;

5) проведите параболу.

а) $y = 2x^2 - 4x + 5$

Для построения графика данной функции, которая является параболой, воспользуемся предложенным планом.

1. найдите координаты вершины параболы;
   Функция задана в виде $y = ax^2 + bx + c$, где $a = 2$, $b = -4$, $c = 5$.
   Координата $x_v$ вершины находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.
   $x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.
   Координату $y_v$ найдем, подставив $x_v=1$ в уравнение функции:
   $y_v = 2(1)^2 - 4(1) + 5 = 2 - 4 + 5 = 3$.
   Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1, 3)$.
2. отметьте вершину в координатной плоскости и проведите ось симметрии параболы;
   Вершина параболы — точка $(1, 3)$.
   Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через ее вершину. Уравнение оси симметрии: $x = 1$.
3. определите направление ветвей;
   Коэффициент при $x^2$ равен $a = 2$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
4. вычислите координаты нескольких точек параболы и отметьте их в координатной плоскости;
   Найдем точку пересечения с осью OY, для этого подставим $x = 0$:
   $y(0) = 2(0)^2 - 4(0) + 5 = 5$. Точка $(0, 5)$.
   Найдем симметричную ей точку относительно оси симметрии $x=1$. Ее абсцисса будет $x = 2$. Ордината та же, $y=5$. Точка $(2, 5)$.
   Проверим: $y(2) = 2(2)^2 - 4(2) + 5 = 8 - 8 + 5 = 5$.
   Возьмем еще одну точку, например, при $x = -1$:
   $y(-1) = 2(-1)^2 - 4(-1) + 5 = 2 + 4 + 5 = 11$. Точка $(-1, 11)$.
   Симметричная ей точка имеет абсциссу $x = 3$. Точка $(3, 11)$.
   Мы имеем следующие точки для построения: вершина $(1, 3)$ и точки $(0, 5)$, $(2, 5)$, $(-1, 11)$, $(3, 11)$.
5. проведите параболу.
   Отметив найденные точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, получим график функции $y = 2x^2 - 4x + 5$.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(1, 3)$, ветви которой направлены вверх. Ось симметрии — прямая $x = 1$. Парабола проходит через точки $(0, 5)$ и $(2, 5)$.

б) $y = x^2 + 4x + 6$

Для построения графика данной параболы следуем плану.

1. найдите координаты вершины параболы;
   Функция задана в виде $y = ax^2 + bx + c$, где $a = 1$, $b = 4$, $c = 6$.
   Координата $x_v$ вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.
   Координата $y_v$ вершины: $y_v = (-2)^2 + 4(-2) + 6 = 4 - 8 + 6 = 2$.
   Вершина параболы находится в точке $(-2, 2)$.
2. отметьте вершину в координатной плоскости и проведите ось симметрии параболы;
   Вершина параболы — точка $(-2, 2)$.
   Ось симметрии параболы имеет уравнение $x = -2$.
3. определите направление ветвей;
   Коэффициент $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
4. вычислите координаты нескольких точек параболы и отметьте их в координатной плоскости;
   Найдем y-пересечение (при $x = 0$):
   $y(0) = 0^2 + 4(0) + 6 = 6$. Точка $(0, 6)$.
   Симметричная точка относительно оси $x=-2$ имеет абсциссу $x = -4$. Точка $(-4, 6)$.
   Проверим: $y(-4) = (-4)^2 + 4(-4) + 6 = 16 - 16 + 6 = 6$.
   Возьмем еще одну точку, например, при $x = -1$:
   $y(-1) = (-1)^2 + 4(-1) + 6 = 1 - 4 + 6 = 3$. Точка $(-1, 3)$.
   Симметричная ей точка имеет абсциссу $x = -3$. Точка $(-3, 3)$.
   Имеем точки: вершина $(-2, 2)$ и точки $(0, 6)$, $(-4, 6)$, $(-1, 3)$, $(-3, 3)$.
5. проведите параболу.
   Построим график, отметив вычисленные точки и соединив их плавной кривой.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(-2, 2)$, ветви которой направлены вверх. Ось симметрии — прямая $x = -2$. Парабола проходит через точки $(-1, 3)$ и $(-3, 3)$.

в) $y = -\frac{1}{2}x^2 - 4x - 9$

Построим график, выполняя шаги по плану.

1. найдите координаты вершины параболы;
   Для функции $y = ax^2 + bx + c$ имеем коэффициенты $a = -\frac{1}{2}$, $b = -4$, $c = -9$.
   Координата $x_v$ вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = -\frac{-4}{-1} = -4$.
   Координата $y_v$ вершины: $y_v = -\frac{1}{2}(-4)^2 - 4(-4) - 9 = -\frac{1}{2}(16) + 16 - 9 = -8 + 16 - 9 = -1$.
   Вершина параболы находится в точке $(-4, -1)$.
2. отметьте вершину в координатной плоскости и проведите ось симметрии параболы;
   Вершина параболы — точка $(-4, -1)$.
   Ось симметрии параболы — прямая $x = -4$.
3. определите направление ветвей;
   Коэффициент $a = -\frac{1}{2}$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
4. вычислите координаты нескольких точек параболы и отметьте их в координатной плоскости;
   Найдем y-пересечение (при $x = 0$):
   $y(0) = -\frac{1}{2}(0)^2 - 4(0) - 9 = -9$. Точка $(0, -9)$.
   Симметричная точка относительно оси $x=-4$ имеет абсциссу $x = -8$. Точка $(-8, -9)$.
   Проверим: $y(-8) = -\frac{1}{2}(-8)^2 - 4(-8) - 9 = -32 + 32 - 9 = -9$.
   Возьмем еще одну точку, например, при $x = -2$:
   $y(-2) = -\frac{1}{2}(-2)^2 - 4(-2) - 9 = -\frac{1}{2}(4) + 8 - 9 = -2 + 8 - 9 = -3$. Точка $(-2, -3)$.
   Симметричная ей точка имеет абсциссу $x = -6$. Точка $(-6, -3)$.
   Имеем точки: вершина $(-4, -1)$ и точки $(0, -9)$, $(-8, -9)$, $(-2, -3)$, $(-6, -3)$.
5. проведите параболу.
   Построим график, отметив вычисленные точки и соединив их плавной кривой, обращенной ветвями вниз.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(-4, -1)$, ветви которой направлены вниз. Ось симметрии — прямая $x = -4$. Парабола проходит через точки $(-2, -3)$ и $(-6, -3)$.

156 Постройте график функции:

а) $y = x^2 - 4x + 3;$

б) $y = -x^2 + 4x - 3;$

в) $y = 0,5x^2 + x - 4;$

г) $y = -0,5x^2 - x + 4;$

д) $y = x^2 - 6x + 11;$

е) $y = -x^2 + 6x - 11.$

В каждом случае укажите:

1) наибольшее (или наименьшее) значение функции;

2) промежутки возрастания и убывания функции;

3) значения $x$, при которых $y = 0$, $y > 0$, $y < 0$.

а) $y = x^2 - 4x + 3$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент $a = 1 > 0$, поэтому ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$

$y_в = y(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$

Вершина параболы находится в точке $(2, -1)$. Ось симметрии: $x=2$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью Oy: при $x=0$, $y = 0^2 - 4 \cdot 0 + 3 = 3$. Точка пересечения $(0, 3)$.

С осью Ox (нули функции): при $y=0$, $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 3$. Точки пересечения $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

Для построения графика используем точки: вершина $(2, -1)$, точки пересечения с осями $(0, 3)$, $(1, 0)$, $(3, 0)$ и симметричную точке $(0, 3)$ точку $(4, 3)$.

1) наибольшее (или наименьшее) значение функции

Так как ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение в вершине: $y_{наим} = -1$.

2) промежутки возрастания и убывания функции

Функция убывает на промежутке $(-\infty, 2]$ и возрастает на промежутке $[2, +\infty)$.

3) значения x, при которых y = 0, y > 0, y < 0

$y = 0$ при $x = 1$ и $x = 3$.

$y > 0$ (график выше оси Ox) при $x \in (-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$.

$y < 0$ (график ниже оси Ox) при $x \in (1, 3)$.

Ответ: 1) наименьшее значение $y_{наим}=-1$; 2) возрастает на $[2, +\infty)$, убывает на $(-\infty, 2]$; 3) $y=0$ при $x=1, x=3$; $y>0$ при $x \in (-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$; $y<0$ при $x \in (1, 3)$.

б) $y = -x^2 + 4x - 3$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент $a = -1 < 0$, поэтому ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$

$y_в = y(2) = -(2^2) + 4 \cdot 2 - 3 = -4 + 8 - 3 = 1$

Вершина параболы находится в точке $(2, 1)$. Ось симметрии: $x=2$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью Oy: при $x=0$, $y = -0^2 + 4 \cdot 0 - 3 = -3$. Точка пересечения $(0, -3)$.

С осью Ox (нули функции): при $y=0$, $-x^2 + 4x - 3 = 0$, или $x^2 - 4x + 3 = 0$. Корни $x_1 = 1$, $x_2 = 3$. Точки пересечения $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

Для построения графика используем точки: вершина $(2, 1)$, точки пересечения с осями $(0, -3)$, $(1, 0)$, $(3, 0)$ и симметричную точке $(0, -3)$ точку $(4, -3)$.

1) наибольшее (или наименьшее) значение функции

Так как ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее значение в вершине: $y_{наиб} = 1$.

2) промежутки возрастания и убывания функции

Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 2]$ и убывает на промежутке $[2, +\infty)$.

3) значения x, при которых y = 0, y > 0, y < 0

$y = 0$ при $x = 1$ и $x = 3$.

$y > 0$ (график выше оси Ox) при $x \in (1, 3)$.

$y < 0$ (график ниже оси Ox) при $x \in (-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$.

Ответ: 1) наибольшее значение $y_{наиб}=1$; 2) возрастает на $(-\infty, 2]$, убывает на $[2, +\infty)$; 3) $y=0$ при $x=1, x=3$; $y>0$ при $x \in (1, 3)$; $y<0$ при $x \in (-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$.

в) $y = 0,5x^2 + x - 4$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент $a = 0,5 > 0$, поэтому ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot 0,5} = -1$

$y_в = y(-1) = 0,5(-1)^2 + (-1) - 4 = 0,5 - 1 - 4 = -4,5$

Вершина параболы находится в точке $(-1, -4,5)$. Ось симметрии: $x=-1$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью Oy: при $x=0$, $y = -4$. Точка пересечения $(0, -4)$.

С осью Ox (нули функции): при $y=0$, $0,5x^2 + x - 4 = 0$. Умножим на 2: $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -4$, $x_2 = 2$. Точки пересечения $(-4, 0)$ и $(2, 0)$.

Для построения графика используем точки: вершина $(-1, -4,5)$ и точки пересечения с осями $(0, -4)$, $(-4, 0)$, $(2, 0)$.

1) наибольшее (или наименьшее) значение функции

Так как ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение в вершине: $y_{наим} = -4,5$.

2) промежутки возрастания и убывания функции

Функция убывает на промежутке $(-\infty, -1]$ и возрастает на промежутке $[-1, +\infty)$.

3) значения x, при которых y = 0, y > 0, y < 0

$y = 0$ при $x = -4$ и $x = 2$.

$y > 0$ при $x \in (-\infty, -4) \cup (2, +\infty)$.

$y < 0$ при $x \in (-4, 2)$.

Ответ: 1) наименьшее значение $y_{наим}=-4,5$; 2) возрастает на $[-1, +\infty)$, убывает на $(-\infty, -1]$; 3) $y=0$ при $x=-4, x=2$; $y>0$ при $x \in (-\infty, -4) \cup (2, +\infty)$; $y<0$ при $x \in (-4, 2)$.

г) $y = -0,5x^2 - x + 4$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент $a = -0,5 < 0$, поэтому ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot (-0,5)} = -1$

$y_в = y(-1) = -0,5(-1)^2 - (-1) + 4 = -0,5 + 1 + 4 = 4,5$

Вершина параболы находится в точке $(-1, 4,5)$. Ось симметрии: $x=-1$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью Oy: при $x=0$, $y = 4$. Точка пересечения $(0, 4)$.

С осью Ox (нули функции): при $y=0$, $-0,5x^2 - x + 4 = 0$. Умножим на -2: $x^2 + 2x - 8 = 0$. Корни $x_1 = -4$, $x_2 = 2$. Точки пересечения $(-4, 0)$ и $(2, 0)$.

Для построения графика используем точки: вершина $(-1, 4,5)$ и точки пересечения с осями $(0, 4)$, $(-4, 0)$, $(2, 0)$.

1) наибольшее (или наименьшее) значение функции

Так как ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее значение в вершине: $y_{наиб} = 4,5$.

2) промежутки возрастания и убывания функции

Функция возрастает на промежутке $(-\infty, -1]$ и убывает на промежутке $[-1, +\infty)$.

3) значения x, при которых y = 0, y > 0, y < 0

$y = 0$ при $x = -4$ и $x = 2$.

$y > 0$ при $x \in (-4, 2)$.

$y < 0$ при $x \in (-\infty, -4) \cup (2, +\infty)$.

Ответ: 1) наибольшее значение $y_{наиб}=4,5$; 2) возрастает на $(-\infty, -1]$, убывает на $[-1, +\infty)$; 3) $y=0$ при $x=-4, x=2$; $y>0$ при $x \in (-4, 2)$; $y<0$ при $x \in (-\infty, -4) \cup (2, +\infty)$.

д) $y = x^2 - 6x + 11$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент $a = 1 > 0$, поэтому ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$

$y_в = y(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 11 = 9 - 18 + 11 = 2$

Вершина параболы находится в точке $(3, 2)$. Ось симметрии: $x=3$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью Oy: при $x=0$, $y = 11$. Точка пересечения $(0, 11)$.

С осью Ox (нули функции): при $y=0$, $x^2 - 6x + 11 = 0$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 36 - 44 = -8$. Так как $D < 0$, действительных корней нет, парабола не пересекает ось Ox.

Для построения графика используем вершину $(3, 2)$, точку $(0, 11)$ и симметричную ей точку $(6, 11)$.

1) наибольшее (или наименьшее) значение функции

Так как ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение в вершине: $y_{наим} = 2$.

2) промежутки возрастания и убывания функции

Функция убывает на промежутке $(-\infty, 3]$ и возрастает на промежутке $[3, +\infty)$.

3) значения x, при которых y = 0, y > 0, y < 0

$y = 0$: нет таких значений $x$.

$y > 0$: так как вершина находится в точке $(3, 2)$ и ветви направлены вверх, вся парабола лежит выше оси Ox. Таким образом, $y > 0$ при всех действительных $x$, то есть $x \in (-\infty, +\infty)$.

$y < 0$: нет таких значений $x$.

Ответ: 1) наименьшее значение $y_{наим}=2$; 2) возрастает на $[3, +\infty)$, убывает на $(-\infty, 3]$; 3) $y=0$ - нет решений; $y>0$ при $x \in (-\infty, +\infty)$; $y<0$ - нет решений.

е) $y = -x^2 + 6x - 11$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент $a = -1 < 0$, поэтому ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3$

$y_в = y(3) = -(3^2) + 6 \cdot 3 - 11 = -9 + 18 - 11 = -2$

Вершина параболы находится в точке $(3, -2)$. Ось симметрии: $x=3$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью Oy: при $x=0$, $y = -11$. Точка пересечения $(0, -11)$.

С осью Ox (нули функции): при $y=0$, $-x^2 + 6x - 11 = 0$, или $x^2 - 6x + 11 = 0$. Дискриминант $D = -8 < 0$, действительных корней нет, парабола не пересекает ось Ox.

Для построения графика используем вершину $(3, -2)$, точку $(0, -11)$ и симметричную ей точку $(6, -11)$.

1) наибольшее (или наименьшее) значение функции

Так как ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее значение в вершине: $y_{наиб} = -2$.

2) промежутки возрастания и убывания функции

Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 3]$ и убывает на промежутке $[3, +\infty)$.

3) значения x, при которых y = 0, y > 0, y < 0

$y = 0$: нет таких значений $x$.

$y > 0$: нет таких значений $x$.

$y < 0$: так как вершина находится в точке $(3, -2)$ и ветви направлены вниз, вся парабола лежит ниже оси Ox. Таким образом, $y < 0$ при всех действительных $x$, то есть $x \in (-\infty, +\infty)$.

Ответ: 1) наибольшее значение $y_{наиб}=-2$; 2) возрастает на $(-\infty, 3]$, убывает на $[3, +\infty)$; 3) $y=0$ - нет решений; $y>0$ - нет решений; $y<0$ при $x \in (-\infty, +\infty)$.

157 Постройте график функции:

a) $y = 2x^2 - 4x - 1;$

б) $y = x^2 + 2x - 4;$

в) $y = -x^2 + 6x - 7.$

В каждом случае укажите нули функции, наименьшее (или наибольшее) значение функции.

а) $y = 2x^2 - 4x - 1$
Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, её график — парабола.
Коэффициент $a = 2$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, функция имеет наименьшее значение.

1. Построение графика:
Найдём координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$:
$x_в = -b / (2a) = -(-4) / (2 \cdot 2) = 4 / 4 = 1$.
$y_в = 2(1)^2 - 4(1) - 1 = 2 - 4 - 1 = -3$.
Вершина параболы находится в точке $(1, -3)$. Ось симметрии графика — прямая $x = 1$.
Найдём точку пересечения с осью $Oy$. Для этого подставим $x=0$:
$y(0) = 2(0)^2 - 4(0) - 1 = -1$. Точка пересечения — $(0, -1)$.
Найдём симметричную ей точку относительно оси $x=1$. Это будет точка $(2, -1)$.
Найдём ещё пару точек для точности. Возьмём $x=3$:
$y(3) = 2(3)^2 - 4(3) - 1 = 18 - 12 - 1 = 5$. Точка $(3, 5)$.
Симметричная ей точка — $(-1, 5)$.
Для построения графика отмечаем вершину $(1, -3)$ и точки $(0, -1)$, $(2, -1)$, $(3, 5)$, $(-1, 5)$, после чего соединяем их плавной линией.

2. Нули функции:
Нули функции — это значения $x$, при которых $y=0$. Решим уравнение $2x^2 - 4x - 1 = 0$.
Найдём дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 16 + 8 = 24$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = (-b \pm \sqrt{D}) / (2a) = (4 \pm \sqrt{24}) / (2 \cdot 2) = (4 \pm 2\sqrt{6}) / 4 = 1 \pm \sqrt{6}/2$.

3. Наименьшее значение функции:
Поскольку ветви параболы направлены вверх, наименьшее значение функция принимает в своей вершине.
$y_{наим} = y_в = -3$.

Ответ: нули функции $x = 1 - \sqrt{6}/2$ и $x = 1 + \sqrt{6}/2$; наименьшее значение функции равно $-3$.

б) $y = x^2 + 2x - 4$
Графиком функции является парабола. Коэффициент $a = 1 > 0$, значит, ветви параболы направлены вверх. Функция имеет наименьшее значение.

1. Построение графика:
Найдём координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$:
$x_в = -b / (2a) = -2 / (2 \cdot 1) = -1$.
$y_в = (-1)^2 + 2(-1) - 4 = 1 - 2 - 4 = -5$.
Вершина параболы находится в точке $(-1, -5)$. Ось симметрии — $x = -1$.
Найдём точку пересечения с осью $Oy$ при $x=0$:
$y(0) = 0^2 + 2(0) - 4 = -4$. Точка $(0, -4)$.
Симметричная ей точка относительно оси $x=-1$ — это $(-2, -4)$.
Найдём ещё пару точек. Возьмём $x=1$:
$y(1) = 1^2 + 2(1) - 4 = 1 + 2 - 4 = -1$. Точка $(1, -1)$.
Симметричная ей точка — $(-3, -1)$.
Для построения графика отмечаем вершину $(-1, -5)$ и точки $(0, -4)$, $(-2, -4)$, $(1, -1)$, $(-3, -1)$ и соединяем их плавной кривой.

2. Нули функции:
Решим уравнение $x^2 + 2x - 4 = 0$.
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20$.
$x_{1,2} = (-b \pm \sqrt{D}) / (2a) = (-2 \pm \sqrt{20}) / 2 = (-2 \pm 2\sqrt{5}) / 2 = -1 \pm \sqrt{5}$.

3. Наименьшее значение функции:
Наименьшее значение достигается в вершине параболы.
$y_{наим} = y_в = -5$.

Ответ: нули функции $x = -1 - \sqrt{5}$ и $x = -1 + \sqrt{5}$; наименьшее значение функции равно $-5$.

в) $y = -x^2 + 6x - 7$
Графиком функции является парабола. Коэффициент $a = -1 < 0$, значит, ветви параболы направлены вниз. Функция имеет наибольшее значение.

1. Построение графика:
Найдём координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$:
$x_в = -b / (2a) = -6 / (2 \cdot (-1)) = 3$.
$y_в = -(3)^2 + 6(3) - 7 = -9 + 18 - 7 = 2$.
Вершина параболы находится в точке $(3, 2)$. Ось симметрии — $x = 3$.
Найдём точку пересечения с осью $Oy$ при $x=0$:
$y(0) = -(0)^2 + 6(0) - 7 = -7$. Точка $(0, -7)$.
Найдём пару точек, симметричных относительно оси $x=3$. Возьмём $x=2$:
$y(2) = -(2)^2 + 6(2) - 7 = -4 + 12 - 7 = 1$. Точка $(2, 1)$.
Симметричная ей точка — $(4, 1)$.
Для построения графика отмечаем вершину $(3, 2)$ и точки $(2, 1)$, $(4, 1)$, $(0, -7)$ и соединяем их плавной кривой.

2. Нули функции:
Решим уравнение $-x^2 + 6x - 7 = 0$ (умножим на $-1$ для удобства: $x^2 - 6x + 7 = 0$).
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 36 - 28 = 8$.
$x_{1,2} = (-b \pm \sqrt{D}) / (2a) = (6 \pm \sqrt{8}) / 2 = (6 \pm 2\sqrt{2}) / 2 = 3 \pm \sqrt{2}$.

3. Наибольшее значение функции:
Поскольку ветви параболы направлены вниз, наибольшее значение функция принимает в своей вершине.
$y_{наиб} = y_в = 2$.

Ответ: нули функции $x = 3 - \sqrt{2}$ и $x = 3 + \sqrt{2}$; наибольшее значение функции равно $2$.

158 Постройте график функции:

а) $y = x^2 + 6x + 5;$ в) $y = \frac{1}{2}x^2 - 2x;$ д) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 3x - 4;$

б) $y = -x^2 + 2x - 5;$ г) $y = -2x^2 + 8;$ е) $y = x^2 + 4x + 4.$

В каждом случае укажите:

1) промежутки возрастания и убывания функции;

2) значения $x$, при которых $y = 0$, $y > 0$, $y < 0$;

3) наибольшее (или наименьшее) значение функции;

4) область значений функции.