Страница 71 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

188 Функция $y = g(x)$ задана формулой. Выполните задания:

1) найдите нули функции; отметьте их на координатной прямой;

2) определите знак функции в каждом из полученных интервалов, заполнив таблицу, аналогичную таблице на с. 70.

а) $g(x) = (x + 5)(x + 1)(x - 1);$

б) $g(x) = x(x - 6)(x - 2).$

а)

Дана функция $g(x) = (x + 5)(x + 1)(x - 1)$.

1) Найдем нули функции; отметим их на координатной прямой.

Нули функции — это значения $x$, при которых $g(x) = 0$. Решим уравнение:

$(x + 5)(x + 1)(x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

• $x + 5 = 0 \Rightarrow x_1 = -5$
• $x + 1 = 0 \Rightarrow x_2 = -1$
• $x - 1 = 0 \Rightarrow x_3 = 1$

Нули функции: $x = -5, x = -1, x = 1$.

Отметим эти точки на координатной прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала знакопостоянства: $(-\infty, -5)$, $(-5, -1)$, $(-1, 1)$ и $(1, +\infty)$.

2) Определим знак функции в каждом из полученных интервалов.

Для этого выберем по одной контрольной точке из каждого интервала и определим знак $g(x)$ в этой точке (метод интервалов).

• Интервал $(-\infty, -5)$: возьмем $x = -6$.
  $g(-6) = (-6 + 5)(-6 + 1)(-6 - 1) = (-1) \cdot (-5) \cdot (-7) = -35$. Знак «минус» (–).
• Интервал $(-5, -1)$: возьмем $x = -2$.
  $g(-2) = (-2 + 5)(-2 + 1)(-2 - 1) = (3) \cdot (-1) \cdot (-3) = 9$. Знак «плюс» (+).
• Интервал $(-1, 1)$: возьмем $x = 0$.
  $g(0) = (0 + 5)(0 + 1)(0 - 1) = (5) \cdot (1) \cdot (-1) = -5$. Знак «минус» (–).
• Интервал $(1, +\infty)$: возьмем $x = 2$.
  $g(2) = (2 + 5)(2 + 1)(2 - 1) = (7) \cdot (3) \cdot (1) = 21$. Знак «плюс» (+).

Заполним таблицу знаков функции:

Ответ: нули функции: $x_1 = -5, x_2 = -1, x_3 = 1$. Функция положительна ($g(x) > 0$) при $x \in (-5, -1) \cup (1, +\infty)$ и отрицательна ($g(x) < 0$) при $x \in (-\infty, -5) \cup (-1, 1)$.

б)

Дана функция $g(x) = x(x - 6)(x - 2)$.

1) Найдем нули функции; отметим их на координатной прямой.

Нули функции — это значения $x$, при которых $g(x) = 0$. Решим уравнение:

$x(x - 6)(x - 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Расположим нули в порядке возрастания:

• $x_1 = 0$
• $x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$
• $x - 6 = 0 \Rightarrow x_3 = 6$

Нули функции: $x = 0, x = 2, x = 6$.

Отметим эти точки на координатной прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала знакопостоянства: $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$, $(2, 6)$ и $(6, +\infty)$.

2) Определим знак функции в каждом из полученных интервалов.

Для этого выберем по одной контрольной точке из каждого интервала и определим знак $g(x)$ в этой точке.

• Интервал $(-\infty, 0)$: возьмем $x = -1$.
  $g(-1) = (-1)(-1 - 6)(-1 - 2) = (-1) \cdot (-7) \cdot (-3) = -21$. Знак «минус» (–).
• Интервал $(0, 2)$: возьмем $x = 1$.
  $g(1) = 1 \cdot (1 - 6)(1 - 2) = 1 \cdot (-5) \cdot (-1) = 5$. Знак «плюс» (+).
• Интервал $(2, 6)$: возьмем $x = 3$.
  $g(3) = 3 \cdot (3 - 6)(3 - 2) = 3 \cdot (-3) \cdot (1) = -9$. Знак «минус» (–).
• Интервал $(6, +\infty)$: возьмем $x = 7$.
  $g(7) = 7 \cdot (7 - 6)(7 - 2) = 7 \cdot (1) \cdot (5) = 35$. Знак «плюс» (+).

Заполним таблицу знаков функции:

Ответ: нули функции: $x_1 = 0, x_2 = 2, x_3 = 6$. Функция положительна ($g(x) > 0$) при $x \in (0, 2) \cup (6, +\infty)$ и отрицательна ($g(x) < 0$) при $x \in (-\infty, 0) \cup (2, 6)$.

189 1) На рисунке 2.33 изображены промежутки, на которые разбивают координатную прямую нули функции $f(x) = (x + 4)(x - 3)(x - 1)$, и указаны знаки функции в каждом из них. Используя рисунок, найдите множества решений неравенств $ (x + 4)(x - 3)(x - 1) < 0 $ и $ (x + 4)(x - 3)(x - 1) > 0 $.

Рис. 2.33

2) Решите неравенство: а) $x(x + 5) > 0$; б) $(x - 5)(x + 4)(x + 1) > 0$.

1)

В задаче требуется найти множества решений для двух неравенств, используя предоставленный рисунок 2.33. На рисунке показаны знаки функции $f(x) = (x + 4)(x - 3)(x - 1)$ на интервалах, на которые координатную прямую разбивают нули функции: $x = -4$, $x = 1$ и $x = 3$.

Для неравенства $(x + 4)(x - 3)(x - 1) < 0$ ищем промежутки, где функция $f(x)$ отрицательна. Согласно рисунку, это интервалы, отмеченные знаком «−». Такими интервалами являются $(-\infty; -4)$ и $(1; 3)$.

Для неравенства $(x + 4)(x - 3)(x - 1) > 0$ ищем промежутки, где функция $f(x)$ положительна. Согласно рисунку, это интервалы, отмеченные знаком «+». Такими интервалами являются $(-4; 1)$ и $(3; +\infty)$.

Ответ: для $(x + 4)(x - 3)(x - 1) < 0$ решением является $x \in (-\infty; -4) \cup (1; 3)$; для $(x + 4)(x - 3)(x - 1) > 0$ решением является $x \in (-4; 1) \cup (3; +\infty)$.

2) а)

Решим неравенство $x(x + 5) > 0$ методом интервалов. Сначала найдем нули выражения $x(x + 5)$, приравняв его к нулю: $x(x + 5) = 0$. Корнями являются $x_1 = -5$ и $x_2 = 0$.

Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -5)$, $(-5; 0)$ и $(0; +\infty)$. Определим знак выражения на каждом из них, подставляя тестовые значения. На интервале $(-\infty; -5)$ (например, при $x = -6$) выражение положительно: $(-6)(-6+5) = 6 > 0$. На интервале $(-5; 0)$ (например, при $x = -1$) выражение отрицательно: $(-1)(-1+5) = -4 < 0$. На интервале $(0; +\infty)$ (например, при $x = 1$) выражение положительно: $1(1+5) = 6 > 0$.

Поскольку мы решаем неравенство со знаком $ > 0 $, нас интересуют интервалы, где выражение положительно.

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (0; +\infty)$.

2) б)

Решим неравенство $(x - 5)(x + 4)(x + 1) > 0$ методом интервалов. Найдем нули выражения $(x - 5)(x + 4)(x + 1)$, приравняв его к нулю. Корнями являются $x_1 = 5$, $x_2 = -4$ и $x_3 = -1$.

Расположим корни на числовой прямой в порядке возрастания: $-4, -1, 5$. Они разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty; -4)$, $(-4; -1)$, $(-1; 5)$ и $(5; +\infty)$. Определим знак выражения в крайнем правом интервале $(5; +\infty)$. Возьмем $x=6$: $(6-5)(6+4)(6+1) = 1 \cdot 10 \cdot 7 = 70 > 0$. Знак будет «+». Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в соседних интервалах будут чередоваться. Таким образом, знаки на интервалах слева направо: «−», «+», «−», «+».

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля (знак «+»).

Ответ: $x \in (-4; -1) \cup (5; +\infty)$.

190 Решите методом интервалов нестрогое неравенство:

а) $(x - 4)(x - 2) \le 0$;

б) $(x - 1)(x + 1)(x - 5) \le 0$;

в) $(x - 1)(x + 6)(x - 7) \ge 0$.

Подсказка. Обратите внимание на то, что значения $x$, которые обращают произведение в нуль, входят в множество решений неравенства.

а) $(x - 4)(x - 2) \le 0$

Для решения неравенства методом интервалов найдем нули выражения в левой части, приравняв его к нулю: $(x - 4)(x - 2) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x - 4 = 0 \implies x_1 = 4$

$x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$

Отметим найденные корни ($2$ и $4$) на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое ($\le$), точки будут закрашенными, то есть они включаются в множество решений. Эти точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; 2)$, $(2; 4)$ и $(4; +\infty)$.

Определим знак выражения $(x - 4)(x - 2)$ на каждом интервале, подставив в него произвольную точку из этого интервала:

• На интервале $(-\infty; 2)$, возьмем $x = 0$: $(0 - 4)(0 - 2) = 8 > 0$. Знак «+».

• На интервале $(2; 4)$, возьмем $x = 3$: $(3 - 4)(3 - 2) = -1 < 0$. Знак «-».

• На интервале $(4; +\infty)$, возьмем $x = 5$: $(5 - 4)(5 - 2) = 3 > 0$. Знак «+».

Поскольку нам нужно найти, где выражение меньше или равно нулю ($\le 0$), мы выбираем интервал со знаком «-» и включаем его концы, так как в этих точках выражение равно нулю.

Таким образом, решение неравенства: $x \in [2; 4]$.

Ответ: $x \in [2; 4]$.

б) $(x - 1)(x + 1)(x - 5) \le 0$

Найдем нули выражения в левой части, решив уравнение $(x - 1)(x + 1)(x - 5) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$, $x_3 = 5$.

Отметим корни на числовой прямой в порядке возрастания: $-1, 1, 5$. Точки закрашенные, так как неравенство нестрогое ($\le$). Они разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$, $(1; 5)$ и $(5; +\infty)$.

Определим знаки выражения на интервалах. Начнем с крайнего правого интервала:

• На интервале $(5; +\infty)$, возьмем $x=6$: $(6-1)(6+1)(6-5) = 5 \cdot 7 \cdot 1 = 35 > 0$. Знак «+».

Поскольку все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в соседних интервалах будут чередоваться.

• На интервале $(1; 5)$: знак «-».

• На интервале $(-1; 1)$: знак «+».

• На интервале $(-\infty; -1)$: знак «-».

Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю ($\le 0$). Это интервалы со знаком «-», включая их граничные точки.

Решением является объединение промежутков: $(-\infty; -1] \cup [1; 5]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup [1; 5]$.

в) $(x - 1)(x + 6)(x - 7) \ge 0$

Найдем нули выражения в левой части: $(x - 1)(x + 6)(x - 7) = 0$.

Приравнивая каждый множитель к нулю, находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -6$, $x_3 = 7$.

Отметим корни на числовой прямой в порядке возрастания: $-6, 1, 7$. Точки закрашенные, так как неравенство нестрогое ($\ge$). Они разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty; -6)$, $(-6; 1)$, $(1; 7)$ и $(7; +\infty)$.

Определим знаки выражения на интервалах, начав с крайнего правого:

• На интервале $(7; +\infty)$, возьмем $x=10$: $(10-1)(10+6)(10-7) = 9 \cdot 16 \cdot 3 > 0$. Знак «+».

Все корни имеют нечетную кратность, поэтому знаки в соседних интервалах чередуются.

• На интервале $(1; 7)$: знак «-».

• На интервале $(-6; 1)$: знак «+».

• На интервале $(-\infty; -6)$: знак «-».

Согласно знаку неравенства ($\ge$), нам нужны интервалы, где выражение положительно или равно нулю. Это интервалы со знаком «+», включая их граничные точки.

Решением является объединение промежутков: $[-6; 1] \cup [7; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-6; 1] \cup [7; +\infty)$.

191 1) Разберите приём решения неравенства $(2x + 3)(x - 11) < 0$. Преобразуем неравенство в равносильное так, чтобы в первом множителе коэффициент при $x$ был равен $1$. Для этого вынесем за скобки число $2$ и разделим обе части неравенства на $2$, получим $(x + 1,5)(x - 11) < 0$. Доведите решение до конца.

2) Решите неравенство, воспользовавшись аналогичным приёмом:

a) $(x - 1)(2x - 5) < 0$;

б) $(x + 4)(3x - 9) \le 0$;

в) $x(2x - 7)(x + 1) > 0$.

1) Завершим решение неравенства, доведенного до вида $(x + 1,5)(x - 11) < 0$. Для решения данного неравенства воспользуемся методом интервалов.

Сначала найдём нули функции $f(x) = (x + 1,5)(x - 11)$. Для этого решим уравнение $(x + 1,5)(x - 11) = 0$. Корнями уравнения являются $x_1 = -1,5$ и $x_2 = 11$.

Нанесём эти точки на числовую ось. Так как неравенство строгое ($< 0$), точки будут "выколотыми", то есть не будут входить в множество решений. Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -1,5)$, $(-1,5; 11)$ и $(11; +\infty)$.

Определим знак выражения $(x + 1,5)(x - 11)$ на каждом из интервалов. Поскольку старший коэффициент многочлена положителен, в крайнем правом интервале $(11; +\infty)$ выражение будет иметь знак «+». Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки на интервалах будут чередоваться. Таким образом, знаки будут распределены следующим образом: +, -, +.

Нас интересует интервал, где значение выражения меньше нуля, то есть интервал со знаком «-». Это интервал $(-1,5; 11)$.

Ответ: $x \in (-1,5; 11)$.

2)

а) Решим неравенство $(x - 1)(2x - 5) < 0$.

Воспользуемся аналогичным приёмом. Вынесем коэффициент $2$ из второго множителя за скобки: $(x - 1) \cdot 2(x - 2,5) < 0$.

Разделим обе части неравенства на положительное число $2$. Знак неравенства при этом не изменится: $(x - 1)(x - 2,5) < 0$.

Корни соответствующего уравнения $(x - 1)(x - 2,5) = 0$ равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 2,5$. Так как это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх, отрицательные значения она принимает между корнями. Неравенство строгое, поэтому концы интервала в решение не включаются.

Ответ: $x \in (1; 2,5)$.

б) Решим неравенство $(x + 4)(3x - 9) \leq 0$.

Вынесем множитель $3$ из второй скобки: $(x + 4) \cdot 3(x - 3) \leq 0$.

Разделим обе части неравенства на $3$: $(x + 4)(x - 3) \leq 0$.

Корни соответствующего уравнения $(x + 4)(x - 3) = 0$ равны $x_1 = -4$ и $x_2 = 3$. График функции — парабола с ветвями вверх. Значения меньше или равные нулю находятся на отрезке между корнями. Так как неравенство нестрогое ($\leq$), сами корни включаются в решение.

Ответ: $x \in [-4; 3]$.

в) Решим неравенство $x(2x - 7)(x + 1) > 0$.

Вынесем множитель $2$ из второго множителя: $x \cdot 2(x - 3,5)(x + 1) > 0$.

Разделим обе части неравенства на $2$: $x(x - 3,5)(x + 1) > 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Найдём корни уравнения $x(x + 1)(x - 3,5) = 0$. Корни в порядке возрастания: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 3,5$.

Нанесём эти точки на числовую ось. Точки будут выколотыми, так как неравенство строгое ($> 0$). Они разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 3,5)$ и $(3,5; +\infty)$.

Определим знаки выражения на интервалах. В крайнем правом интервале $(3,5; +\infty)$ все множители положительны, значит, и всё произведение имеет знак «+». Так как все корни имеют кратность 1, знаки будут чередоваться: +, -, +, -.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля (то есть со знаком «+»). Это интервалы $(-1; 0)$ и $(3,5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-1; 0) \cup (3,5; +\infty)$.

192 Найдите множество решений неравенства:

а) $-(x + 3)(x + 7) > 0;$

б) $-x(x + 2)(x - 1)(x - 3) > 0;$

в) $-(x + 1)(x - 6) \le 0.$

Подсказка. Умножьте обе части неравенства на $-1$. Не забудьте при этом поменять знак неравенства на противоположный.

а) $-(x + 3)(x + 7) > 0$

Следуя подсказке, умножим обе части неравенства на -1. При этом необходимо поменять знак неравенства с `>` на `<`.

$(x + 3)(x + 7) < 0$

Теперь решим полученное неравенство методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(x + 3)(x + 7) = 0$.

Приравнивая каждый множитель к нулю, получаем корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = -7$.

Нанесем эти точки на числовую прямую. Они разделяют ее на три интервала: $(-\infty, -7)$, $(-7, -3)$ и $(-3, +\infty)$.

Определим знак выражения $(x + 3)(x + 7)$ на каждом интервале. Графиком функции $y = (x + 3)(x + 7)$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Следовательно, функция принимает отрицательные значения между корнями.

Таким образом, на интервале $(-7, -3)$ выражение $(x + 3)(x + 7)$ отрицательно, а на интервалах $(-\infty, -7)$ и $(-3, +\infty)$ — положительно.

Поскольку мы ищем решения неравенства $(x + 3)(x + 7) < 0$, нам подходит интервал, где выражение отрицательно.

Ответ: $x \in (-7, -3)$.

б) $-x(x + 2)(x - 1)(x - 3) > 0$

Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x(x + 2)(x - 1)(x - 3) < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули левой части, приравняв ее к нулю: $x(x + 2)(x - 1)(x - 3) = 0$.

Корнями уравнения являются $x_1 = -2$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$, $x_4 = 3$.

Расположим корни на числовой оси в порядке возрастания: -2, 0, 1, 3. Эти точки разбивают ось на пять интервалов: $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$, $(0, 1)$, $(1, 3)$, $(3, +\infty)$.

Определим знак выражения в крайнем правом интервале $(3, +\infty)$. Возьмем пробную точку, например $x=4$: $4(4+2)(4-1)(4-3) = 4 \cdot 6 \cdot 3 \cdot 1 = 72$. Знак "плюс".

Поскольку все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в соседних интервалах будут чередоваться. Двигаясь справа налево, получаем следующую последовательность знаков на интервалах: плюс, минус, плюс, минус, плюс.

Нас интересуют интервалы, где выражение $x(x + 2)(x - 1)(x - 3)$ меньше нуля, то есть те, где стоит знак "минус".

Это интервалы $(-2, 0)$ и $(1, 3)$.

Ответ: $x \in (-2, 0) \cup (1, 3)$.

в) $-(x + 1)(x - 6) \le 0$

Умножим обе части неравенства на -1. Знак неравенства $\le$ меняется на $\ge$.

$(x + 1)(x - 6) \ge 0$

Найдем корни уравнения $(x + 1)(x - 6) = 0$. Это $x_1 = -1$ и $x_2 = 6$.

Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), эти точки являются частью решения. Отметим их на числовой оси (включая концы интервалов).

Точки -1 и 6 разбивают ось на три области: $(-\infty, -1]$, $[-1, 6]$ и $[6, +\infty)$.

Графиком функции $y = (x + 1)(x - 6)$ является парабола с ветвями вверх. Она принимает неотрицательные значения (больше или равно нулю) на лучах левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, выражение $(x + 1)(x - 6)$ неотрицательно на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[6, +\infty)$.

Решением неравенства являются все значения $x$, для которых выражение больше или равно нулю.

Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [6, +\infty)$.

193 Решите неравенство:

a) $x(x + 1)(x - 4)(2 - x) < 0$

б) $(x + 5)(3 - x)(5 - x) > 0$

Подсказка. Преобразуйте неравенство так, чтобы коэффициент при $x$ в каждом множителе был равен 1.

а) $x(x + 1)(x - 4)(2 - x) < 0$

Для решения данного неравенства методом интервалов воспользуемся подсказкой и преобразуем его так, чтобы коэффициент при переменной $x$ в каждом множителе был равен 1. В множителе $(2 - x)$ коэффициент при $x$ равен -1. Вынесем -1 за скобки:

$(2 - x) = -(x - 2)$

Теперь подставим это выражение обратно в исходное неравенство:

$x(x + 1)(x - 4)(-(x - 2)) < 0$

$-x(x + 1)(x - 2)(x - 4) < 0$

Чтобы избавиться от знака минуса в левой части, умножим обе части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x(x + 1)(x - 2)(x - 4) > 0$

Теперь решим полученное неравенство методом интервалов. Сначала найдем корни левой части, приравняв ее к нулю:

$x(x + 1)(x - 2)(x - 4) = 0$

Корнями уравнения являются значения $x$, при которых хотя бы один из множителей равен нулю: $x_1 = 0$, $x_2 = -1$, $x_3 = 2$, $x_4 = 4$.

Отметим эти корни на числовой оси в порядке возрастания: -1, 0, 2, 4. Так как неравенство строгое (знак >), все точки будут выколотыми. Эти точки разбивают числовую ось на пять интервалов:

$(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 2)$, $(2; 4)$, $(4; +\infty)$.

Определим знак выражения $x(x + 1)(x - 2)(x - 4)$ в каждом из интервалов. Для этого можно взять любую пробную точку из каждого интервала, либо определить знак в крайнем правом интервале и далее чередовать знаки, так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1).

Возьмем $x = 5$ из интервала $(4; +\infty)$. Все множители $5$, $(5+1)$, $(5-2)$, $(5-4)$ положительны, значит, их произведение положительно. Ставим знак "+" в этом интервале. Далее знаки чередуются:

+ -1 - 0 + 2 - 4 +

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля, то есть те, где стоит знак "+".

Это интервалы $(-\infty; -1)$, $(0; 2)$ и $(4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (0; 2) \cup (4; +\infty)$

б) $(x + 5)(3 - x)(5 - x) > 0$

Аналогично предыдущему пункту, преобразуем множители, в которых коэффициент при $x$ не равен 1. Это множители $(3 - x)$ и $(5 - x)$.

$(3 - x) = -(x - 3)$

$(5 - x) = -(x - 5)$

Подставим эти выражения в неравенство:

$(x + 5)(-(x - 3))(-(x - 5)) > 0$

В левой части мы имеем произведение двух отрицательных множителей $(-1) \cdot (-1) = 1$. Поэтому знак неравенства не изменится:

$(x + 5)(x - 3)(x - 5) > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни, приравняв левую часть к нулю:

$(x + 5)(x - 3)(x - 5) = 0$

Корни: $x_1 = -5$, $x_2 = 3$, $x_3 = 5$.

Отметим выколотые точки -5, 3, 5 на числовой оси. Они разделят ось на четыре интервала:

$(-\infty; -5)$, $(-5; 3)$, $(3; 5)$, $(5; +\infty)$.

Определим знаки в интервалах. В крайнем правом интервале $(5; +\infty)$ (например, при $x=6$) все множители положительны, поэтому их произведение положительно. Ставим знак "+". Так как все корни имеют кратность 1, знаки будут чередоваться.

- -5 + 3 - 5 +

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля, то есть те, где стоит знак "+".

Это интервалы $(-5; 3)$ и $(5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-5; 3) \cup (5; +\infty)$

194 При каких значениях x имеет смысл выражение:

а) $\sqrt{(x - 3)(x + 2)}$;

б) $\sqrt{x(5 - x)(3 + x)}$;

в) $\sqrt{(x + 8)(x + 4)(x - 1)}$?

а) Выражение $\sqrt{(x-3)(x+2)}$ имеет смысл (определено), когда подкоренное выражение является неотрицательным числом, то есть больше или равно нулю. Это приводит к следующему неравенству:

$(x-3)(x+2) \ge 0$

Для решения этого квадратичного неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(x-3)(x+2) = 0$.

Корни уравнения: $x-3=0 \Rightarrow x_1 = 3$ и $x+2=0 \Rightarrow x_2 = -2$.

Эти корни разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 3)$ и $(3; +\infty)$. Определим знак произведения $(x-3)(x+2)$ в каждом из этих интервалов, выбрав по одной пробной точке.

• В интервале $(-\infty; -2)$ возьмем $x = -3$: $(-3-3)(-3+2) = (-6)(-1) = 6$. Значение положительно (+).
• В интервале $(-2; 3)$ возьмем $x = 0$: $(0-3)(0+2) = (-3)(2) = -6$. Значение отрицательно (–).
• В интервале $(3; +\infty)$ возьмем $x = 4$: $(4-3)(4+2) = (1)(6) = 6$. Значение положительно (+).

Неравенство имеет вид $\ge 0$, поэтому нас интересуют интервалы, где выражение положительно или равно нулю. Это интервалы $(-\infty; -2]$ и $[3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [3, +\infty)$.

б) Выражение $\sqrt{x(5-x)(3+x)}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно:

$x(5-x)(3+x) \ge 0$

Решим данное неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения $x(5-x)(3+x) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = 0$, $5-x=0 \Rightarrow x_2 = 5$ и $3+x=0 \Rightarrow x_3 = -3$.

Расположим корни на числовой оси в порядке возрастания: -3, 0, 5. Они разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 0)$, $(0; 5)$ и $(5; +\infty)$. Определим знак выражения $x(5-x)(3+x)$ в каждом интервале.

• В интервале $(5; +\infty)$ возьмем $x = 6$: $6(5-6)(3+6) = 6(-1)(9) = -54$. Значение отрицательно (–).
• В интервале $(0; 5)$ возьмем $x = 1$: $1(5-1)(3+1) = 1(4)(4) = 16$. Значение положительно (+).
• В интервале $(-3; 0)$ возьмем $x = -1$: $-1(5-(-1))(3+(-1)) = (-1)(6)(2) = -12$. Значение отрицательно (–).
• В интервале $(-\infty; -3)$ возьмем $x = -4$: $-4(5-(-4))(3+(-4)) = (-4)(9)(-1) = 36$. Значение положительно (+).

Так как неравенство имеет вид $\ge 0$, мы выбираем интервалы, где выражение положительно или равно нулю. Это интервалы $(-\infty; -3]$ и $[0; 5]$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [0, 5]$.

в) Выражение $\sqrt{(x+8)(x+4)(x-1)}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно:

$(x+8)(x+4)(x-1) \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения $(x+8)(x+4)(x-1) = 0$.

Корни уравнения: $x+8=0 \Rightarrow x_1 = -8$, $x+4=0 \Rightarrow x_2 = -4$ и $x-1=0 \Rightarrow x_3 = 1$.

Расположим корни на числовой оси в порядке возрастания: -8, -4, 1. Они разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty; -8)$, $(-8; -4)$, $(-4; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак выражения $(x+8)(x+4)(x-1)$ в каждом интервале.

• В интервале $(1; +\infty)$ возьмем $x = 2$: $(2+8)(2+4)(2-1) = (10)(6)(1) = 60$. Значение положительно (+).
• В интервале $(-4; 1)$ возьмем $x = 0$: $(0+8)(0+4)(0-1) = (8)(4)(-1) = -32$. Значение отрицательно (–).
• В интервале $(-8; -4)$ возьмем $x = -5$: $(-5+8)(-5+4)(-5-1) = (3)(-1)(-6) = 18$. Значение положительно (+).
• В интервале $(-\infty; -8)$ возьмем $x = -10$: $(-10+8)(-10+4)(-10-1) = (-2)(-6)(-11) = -132$. Значение отрицательно (–).

Поскольку неравенство имеет вид $\ge 0$, мы выбираем интервалы, где выражение положительно или равно нулю. Это интервалы $[-8; -4]$ и $[1; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-8, -4] \cup [1, +\infty)$.

195 Найдите множество решений неравенства:

а) $(x^2 - 5x + 4)(x - 2) < 0;$

б) $(x^2 - 9)(x - 25) > 0;$

в) $(x^2 - 7x + 12)(1 - x) > 0.$

а) $(x^2 - 5x + 4)(x - 2) < 0$

Для решения этого неравенства сначала разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - 5x + 4$. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$.

Используем теорему Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 5$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 4$. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Таким образом, квадратный трехчлен можно разложить на множители: $x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4)$.

Подставим это разложение в исходное неравенство:

$(x - 1)(x - 4)(x - 2) < 0$.

Теперь решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем нули выражения в левой части, приравняв каждый множитель к нулю:

$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

$x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$

$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$

Отметим эти точки на числовой оси в порядке возрастания: 1, 2, 4. Так как неравенство строгое ($<0$), точки будут выколотыми.

Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty, 1)$, $(1, 2)$, $(2, 4)$ и $(4, +\infty)$.

Определим знак выражения $(x - 1)(x - 4)(x - 2)$ в каждом интервале. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например $x=5$:

$(5 - 1)(5 - 4)(5 - 2) = 4 \cdot 1 \cdot 3 = 12$, что больше 0. Значит, в интервале $(4, +\infty)$ выражение положительно.

Поскольку все корни имеют нечетную степень (1), знаки в интервалах чередуются. Двигаясь справа налево, получаем: $+ \rightarrow - \rightarrow + \rightarrow -$.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля (отрицательно). Это интервалы $(-\infty, 1)$ и $(2, 4)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (2, 4)$.

б) $(x^2 - 9)(x - 25) > 0$

Сначала разложим на множители выражение $x^2 - 9$, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.

Подставим это в неравенство:

$(x - 3)(x + 3)(x - 25) > 0$.

Применим метод интервалов. Найдем нули выражения в левой части:

$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$

$x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$

$x - 25 = 0 \Rightarrow x = 25$

Отметим точки -3, 3, 25 на числовой оси. Неравенство строгое ($>0$), поэтому точки выколотые.

Они разбивают ось на интервалы: $(-\infty, -3)$, $(-3, 3)$, $(3, 25)$ и $(25, +\infty)$.

Определим знак выражения в крайнем правом интервале, взяв, например, $x=30$:

$(30 - 3)(30 + 3)(30 - 25) = 27 \cdot 33 \cdot 5$, что больше 0. В интервале $(25, +\infty)$ ставим знак "+".

Так как все корни имеют нечетную кратность, знаки в интервалах чередуются: $- \rightarrow + \rightarrow - \rightarrow +$.

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (положительно). Это интервалы $(-3, 3)$ и $(25, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-3, 3) \cup (25, +\infty)$.

в) $(x^2 - 7x + 12)(1 - x) > 0$

Разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - 7x + 12$. Найдем корни уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$.

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 7$ и $x_1 \cdot x_2 = 12$. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$.

Следовательно, $x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)$.

Неравенство принимает вид: $(x - 3)(x - 4)(1 - x) > 0$.

Для удобства работы с методом интервалов приведем множитель $(1 - x)$ к стандартному виду $(x-a)$. Для этого вынесем -1 за скобки: $1 - x = -(x - 1)$.

Неравенство становится: $(x - 3)(x - 4)(-(x - 1)) > 0$.

$-(x - 1)(x - 3)(x - 4) > 0$.

Умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$(x - 1)(x - 3)(x - 4) < 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Нули выражения: $x=1, x=3, x=4$.

Отметим выколотые точки 1, 3, 4 на числовой оси. Они образуют интервалы: $(-\infty, 1)$, $(1, 3)$, $(3, 4)$ и $(4, +\infty)$.

Определим знак в крайнем правом интервале, взяв $x=5$:

$(5 - 1)(5 - 3)(5 - 4) = 4 \cdot 2 \cdot 1 = 8 > 0$.

Знаки в интервалах чередуются: $+ \rightarrow - \rightarrow + \rightarrow -$.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (отрицательно). Это интервалы $(-\infty, 1)$ и $(3, 4)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (3, 4)$.

196. Решите каждое из неравенств:

a) $(x^2 + 1)(x - 6)(x + 3) < 0$ и $x^2(x - 6)(x + 3) < 0$;

б) $(2x^2 + 3)(x + 0,5)(x - 3) \ge 0$ и $2x^2(x + 0,5)(x - 3) \ge 0$.

Подсказка. a) При любых значениях $x$ двучлен $x^2 + 1$ принимает положительные значения, поэтому первое неравенство равносильно неравенству $(x - 6)(x + 3) < 0$. А вот второе неравенство не равносильно неравенству $(x - 6)(x + 3) < 0$. Объясните, почему.

a)

Решим первое неравенство: $(x^2 + 1)(x - 6)(x + 3) < 0$.
Поскольку множитель $(x^2 + 1)$ всегда строго положителен (так как для любого действительного $x$ выполняется $x^2 \ge 0$, а значит $x^2+1 \ge 1$), мы можем разделить обе части неравенства на него, не меняя знака. Получим равносильное неравенство:
$(x - 6)(x + 3) < 0$.
Корни соответствующего уравнения $(x - 6)(x + 3) = 0$ — это $x_1 = 6$ и $x_2 = -3$. Графиком функции $y=(x - 6)(x + 3)$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Она принимает отрицательные значения на интервале между корнями.
Следовательно, решением является интервал $(-3; 6)$.
Ответ: $x \in (-3; 6)$.

Решим второе неравенство: $x^2(x - 6)(x + 3) < 0$.
Множитель $x^2$ неотрицателен ($x^2 \ge 0$). Если $x=0$, левая часть неравенства обращается в ноль, и мы получаем неверное утверждение $0 < 0$. Следовательно, $x=0$ не является решением.
Если $x \neq 0$, то $x^2 > 0$, и мы можем разделить обе части неравенства на $x^2$, сохранив знак. Получим неравенство $(x - 6)(x + 3) < 0$, решением которого, как мы уже знаем, является интервал $(-3; 6)$.
Учитывая, что $x \neq 0$, мы должны исключить точку $x=0$ из этого интервала. Таким образом, получаем объединение двух интервалов.
Ответ: $x \in (-3; 0) \cup (0; 6)$.

Объяснение из подсказки:
Неравенства $(x^2 + 1)(x - 6)(x + 3) < 0$ и $(x - 6)(x + 3) < 0$ являются равносильными, так как их множества решений совпадают. Это справедливо, потому что множитель $(x^2 + 1)$ строго положителен при любом $x$, и деление на него является равносильным преобразованием.
Неравенства $x^2(x - 6)(x + 3) < 0$ и $(x - 6)(x + 3) < 0$ не являются равносильными, поскольку их множества решений не совпадают. В частности, $x=0$ является решением второго неравенства (так как $-3 < 0 < 6$), но не является решением первого (так как при $x=0$ оно превращается в неверное $0 < 0$). Это происходит потому, что множитель $x^2$ не является строго положительным, а обращается в ноль при $x=0$.

б)

Решим первое неравенство: $(2x^2 + 3)(x + 0,5)(x - 3) \ge 0$.
Множитель $(2x^2 + 3)$ всегда строго положителен (так как $2x^2 \ge 0 \implies 2x^2+3 \ge 3$), поэтому неравенство равносильно следующему:
$(x + 0,5)(x - 3) \ge 0$.
Корни уравнения $(x + 0,5)(x - 3) = 0$ — это $x_1 = -0,5$ и $x_2 = 3$. Графиком является парабола с ветвями вверх, которая принимает неотрицательные значения при $x \le -0,5$ и при $x \ge 3$.
Ответ: $x \in (-\infty; -0,5] \cup [3; \infty)$.

Решим второе неравенство: $2x^2(x + 0,5)(x - 3) \ge 0$.
Решим это неравенство методом интервалов. Нули левой части: $x_1 = -0,5$, $x_2 = 0$ (корень кратности 2) и $x_3 = 3$.
Нанесем эти точки на числовую ось и определим знаки выражения в полученных интервалах. При переходе через корень четной кратности $x=0$ знак выражения не меняется.
- Интервал $(3; \infty)$: знак "+".
- Интервал $(0; 3)$: знак "-".
- Интервал $(-0,5; 0)$: знак "-".
- Интервал $(-\infty; -0,5)$: знак "+".
Нам нужны значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю. Это соответствует интервалам со знаком «+», а также точкам, в которых выражение равно нулю ($x = -0,5, x = 0, x = 3$).
Объединяя эти условия, получаем решение.
Ответ: $x \in (-\infty; -0,5] \cup \{0\} \cup [3; \infty)$.